3.3幂函数讲义（含反比例函数、对勾函数）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦幂函数（含反比例函数、对勾函数）核心知识点，从幂函数定义入手，通过表格系统对比五个典型幂函数的定义域、值域、奇偶性等性质，延伸至反比例函数、对勾函数的图像与性质，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过表格直观呈现函数性质培养数学眼光，题型分类含方法提炼与例题，如幂函数定义辨析题训练数学思维的推理能力，对勾函数最值问题强化数学语言的模型意识。课中助力教师系统授课，课后学生可针对性练习巩固知识。

§3.3幂函数（含反比例函数、对勾函数) 目录 题型1：幂函数的定义的应用… 4 题型2：幂函数的图像与性质 .6 题型3：幂函数性质的综合应用 .10 题型4：反比例函数的综合应用.… 17j 题型5：对勾函数的综合应用： .20 1 1.幂函数的概念 一般地，函数y=“叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 提醒幂函数y=x“中，x“前面的系数为1，底数为x(不是ax等)。 2.幂函数的图像与性质 (1)五个幂函数的图象与性质 解 尔 y=x y=x2 y=x3 1 y=x2 y=x-l 式 图 象 定 R [0,+oo) {x|x≠0} 义 域 值 [0,+o) R R [0,+oo) {y川y≠0} 域 奇 既不是奇函数 偶 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 也不是偶函数 性 在（-,0] 上单调递 在（∞，0) 上单调递 单 在R上单调 R上单在[0，+o)上单 调 递增 减， 在(0，+o)上单调递调递增 减，在(0，+0)上单调递 性 调递增 增 减 定 (1,1) 点 (2)幂函数的性质 2 ①所有的幂函数在(0，+切)上都有定义，并且图象都过点1,1) ②幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限： ③如果a>0,那么幂函数的图象过原点，并且在区间0，+o)上单调递增， ④如果u<0,那么幂函数的图象在区间(0，+o)上单调递减，在第一象限内，当x趋向于0 时，图象在y轴右侧无限接近y轴，当x趋向于+0时，图象在x轴上方无限接近x轴： ⑤在(0）上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴，简记“指大图低；在(1，+0)上，指数 越大，幂函数图像越远离x轴。 (3)上凸函数、下凸函数的定义 ①设函数f(:在[a,上有定义，若对[a,]上任意不同的两点， 都成立，则称f(~)在[a,]上是上凸的函数，即上凸函数。 ②设函数f(在[a,上有定义，若对[a,]上任意不同的两点x, 1 2 成立，则称()在[a,b]上是下凸的函数，即下凸函数。 3.反比例函数的图像与性质 解析式 f6-&>0) f)-k<0) 图像 {x|x≠0} 定义域 {y川y≠0} 值域 3 奇偶性 奇函数 在0,0)和(0，+∞）上单调递减， 在-∞，0)，(0，+)上单调递增， 单调性 没有单调递增区间 没有单调递减区间 4.对勾函数的图像与性质 解析 f(x)=x+(a>0) f(x)=x+a(a<0) 式 y y=x 2.a 图像 -la -2a 定义 {x|x≠0} 域 值域 (-o,-2WaU[2a,+o） R 奇偶 奇函数 性 在(ov同和a,+)上单调递增， 单调 在(-o,0),(0,+w)上单调递增 性 在[a,0)和0，va]单调递诚 提醒 形如 a,b>0 v=ax+b 的函数，都被称为“对构函数”. 题型1：幂函数的定义的应用 方法提炼 幂函数的形式为’=“，系数必须为1，底数为，a是任意常数。如y=2x,y=(2, y=x2+2…都不是幂函数。 4 【例1.1.】有下列函数： @y3x2 y=x2+1 ② ③ys、1 1 :④y= ⑤y=x3:⑥y=2 其中是幂函数的有 (只填序号)· 【答案】④⑤ 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断。 【详解】①中，x的系数为3，故不是幂函数： ②中，少=x2+ 不是的形式，故不是幂函数： ③中，=()，系数是故不是幂函数 ④中，y= r=r ,是幂函数： 2 ⑤中，y=x3,是幂函数： ⑥中， y=2 是指数函数，故不是幂函数。 故答案为：④⑤ 【例12】已知幂函数=f)的图象过点5，v).则f() 【答案】f(x)=x2 【难度】0.92 【知识点】求幂函数的解析式 【详解钉圆为蓝数=刊为系西数，所以设) 函数y=f()过点55)，所以5”=5=5， 所以f)= 【例1.3.】已知幂函数 (=(m-x”,则f2)-) A.8 B.2 C.4 D.5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【详解1由幂函数的定义，知m-1=1,解得m=2,所以四=父，则(2)=8 【例1.4】若幂函数f(=(a2+a-11)x 的定义域为R,则实数a= 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【详解】解：由题意得a2+a-11=1,解得a=3或-4， 当a4 f(x)=x4 时， 此时定义域不为R,故舍去： 3时，f)=x 当0= 满足题意。 2 【例1.5.】已知幂函数f(x)的图象过点 4,则函数y=f(4x-3)的定义域是() A.(-0,+o） -0,4 D 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、求幂函数的解析式 6 8 【分析】根据幂函数f(x)的图象过点(4 求出f(x)的解析式，从而得到f(4x-3) 的解析式，求得函数少=/(4x-3) 的定义域 【详解】f(x)是幂函数，·设f(x)=x",将”4 代入解析式， 1 8=￥，即2=22=2，解得m=-2 故(x1 y=f4x-3)-45. √x, 所以4-3>0，所以x> 4 3 所以函数y=/(4-3)的定义域是(4+“ 故选：D. 题型2：幂函数的图像与性质 【例21】函数()(2x-3-2的图象过定点 【答案】(2，-) 【难度】0.95 【知识点】幂函数图象过定点问题 【详解】由2x-3=1,解得x=2,代入函数()=(2x-3-2,可得 f(2)=1°-2=1-2=-1 所以函数图象恒过定点(2，) 7 【例22.】如果幂函数y=(m-3m+3)小x-m- 的图象不过原点，则m的取值范围为() A.-1≤m≤2 B.m=-1或m=2 C.m=1 D.m=1或m=2 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案 【详解】由幂函数的形式为'=知m-3m+3=1 因为其图象不过原点，所以指数m-m-2≤0. m2-3m+3=1(m-1)(m-2)=0 由m2-m-2≤0得(m+1)(m-2)≤0， m=1或m=2 所以-1≤m≤2故m=1或m=2 【例3】已知幂函数y=x 的图象与x轴无交点，则m的取值范围是() A.-2<m<3 B.-2≤m≤3 B.C.-3<m<2 D.-3≤m≤2 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】应用幂函数性质列式计算求解 【详解】因为幂函数y=x6 的图象与x轴无交点， 所以m2-m-6≤0， 所以(m-3m+2)s0 ，即得2≤ms3 8 【24】已知暴函数=四的图象经过点2,2小 则()图象的大致形状为 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的 单调性、求幂函数的解析式 【详解1设f)=×,由不)，符(2)-克 解得g2,所=-是， f()的定义域为≠0，是偶函数，在0，+四)上单调递减， 所以四图象的大致形状与选项A中的图象一致。 y=x y=x 【例2.5.】若幂函数 在第一象限内的图象如图所示，则() 9 y=x” A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m<2 C.-1<m<0<n<2 D.-1<n<0<m<1 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得 【详解】当a>0时，y=在0，+切)上单调递增。 且0<a<1时，当x增大时，图象越来越平缓，所以0<m<1: 当a<0时，y=在0，+切)上单调递减。 不妨令x=2,根据题图可得2<2”，所以-1<n<0: 综上可得-1<n<0<m<1. 【例2.6】若幂函数y=(3m-4m+2x 的大致图象如图所示，则m=() A.3 B C.2 D.1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义，得到3m2-4m+2=1:求得m=3或m=1,再根据幂函数的 10 性质，即可求得实数m的值： 【详解】根据幂函数定义可知，3m2-4m+2=1,解得m=3或m=1 当m= 3时，y=x3,当m=1时，y=x, 由图可知m=1不合题意，所以m=3 故选：A. 【例2.7】己知。为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数y=x和一次函数y=x一a的图像 关系可能是() 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数的图像和性质、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断 【详解】对于A:由幂函数的性质可以判断出a<0,而由一次函数经过一、三象限可以判 断出a>0.矛盾故A错误： 对于B:由幂函数的性质可以判断出a>0,而由一次函数经过二、四象限可以判断出a<0, 矛盾故B错误： 对于C:由幂函数的性质可以判断出a<O,而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出 11 a<0,且。<0，矛盾故C错误 对于D:由幂函数的性质可以判断出α>0，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出 a>0,-<0,可以同时成立，故D正确 故选：D 题型3：幂函数性质的综合应用 (4,16 【例3.1.】（多选）已知幂函数 f() 的图象经过点 ,则下列说法正确的是() A.函数 f(x) 的定义域为R B.函数f() (0,+0) 的值域为 C.函数 f(x) 为偶函数 D.若函数 7石.>0,5>0，圆5 2 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象的判断及应用、求幂函数的值域、 求幂函数的解析式 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断ABC；解法一：取特殊值计算可判断 D,解法二：作图，根据函数图象可判断D 的解标式为()=严 f(x 【详解】设幂函数 因为幂函数 f(x) 的图象经过点(416) 所以4=16，解得a=2,即f()= 12 对于A,函数)= 的定义域为R,故A正确： 对于B,函数()= 的值域为0+ ,故B错误： 对于C,因为/()=(=r=/(因，所以函数（国 为偶函数，故C正确： 对TD,解法一.8()=，取=名=2 则)号6.0：e 2 2 8, g5+5<8G)+g) 此时(2 2 解法二：作出函数 (x)=x2(x>0) 的图象如下： g(xi) g(xi)+g(x2) 2 X+x2 g\2 g(x2) X2 X1+x2 由图象可知，函数8（为凹函数。 +< 所以822 g(x)+g(x2) 2 ,当且仅当x=x2时等号成立，故D错误. 故选：AC 【例3.2.】若(a+1)<(3-2a), 则实数a的取值范围是 一：若(a+1)>(3-2a),则实 数a的取值范围是 【答案】 别 【难度】0.75 13 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案 【详解】因为函数y=x2是定义在0，+∞)上的增函数，则由 a+1≥0 a+1<6-2a)户，可得a+1<3-2a解得-1sa< 3-2a20 -1, 故实数a的取值范围是L 由(a+)>(3-2a), a+1≥0 3-2a≥0 可得 a+1>3-2a:解得<as3 3 2 23 故实数a的取值范围是(3'2 (2-3a)x+5,x≥1 【例3.3.】已知函数 f()= xa-3+3,0<x<1在(0，+oo)上单调递减，则实数a的取值范围为 【答案)L3) 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由幂函数的单调性求参数 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式 计算求解 【详解】依题意， f()=(2-3a)r+5在L,+切)上单调递减， 在 f)=3+3在0,1)上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 14 2 2-3a<0 a> a-3<0 →{a<3,解得 1-3+3≥(2-3a)×1+5 a≥1 1≤a<3 所以实数“的取值范围为 1,3) 【例3.4.】（多选)下列比较大小中正确的是() A.2.25<2.35 B.2<3 c.12>1.3月 D.（-0.63)3<(-0.64) 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误， 【详解】对于A,令f(x)=x，由幂函数性质可知a>0时，在第一象限内函数单调递增， 因为0<2.2<23，所以f(2.2)<f2.3) 故A正确： 对于B,令()=x2 由幂函数性质可知“<0时，在第一象限内函数单调递减， 且为商数所（付引(》周 ,围. 因为23 故B正确： 对于C,令f(x)=x2，由幂函数性质可知a<0时，在第一象限内函数单调递减， 因为13>12>0所以f2)>f13 ,故C正确： 对于D,令()= ,由幂函数性质可知Q>0时，在第一象限内函数单调递增， 且/四为奇函数，所以/(0.63)=-f0.63)f(-064)=-f0.64), 15 因为0<063<064，所Uf063)k/064),所以f-0.63)>-064,故D错误 故选：ABC 【例35】已知紧面数)r“ke是偶面数，且在0+四)上单调递增， (1)求函数() 的解析式： (2)解不等式f(3x+2)>f1-2x) 【答案】四/)=r咸f)- aa-3u(写+树 【难度】0.76 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值、根据函数的单调性解 不等式、求幂函数的解析式、由函数奇偶性解不等式 【分析】(1)根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定k的值，即得函数的解析式： (2)利用(1)的函数的奇偶性与单调性将不等式化为3x+21-2x|,两边取平方后求 解一元二次不等式即得 【详解】(1)因为(x)=x4。 “是幂函数，且在(0，+0)上单调递增， 则3k-k2+4>0且k∈Z,由3k-k2+4>0解得-1<k<4, 又keZ,所以k=0,1,2或3. 又（是偶函数，则认-及+4是偶数。 将k=01,2或3分别代入，可得3k-2+4=4或6， 故()=或f)=6 或 (2由山)，偶函数儿在0，+0)上单调递增。 16 则由f3x+2)>f0-2x)可得f(3x+2)>f01-2xD,故有3x+21-2x, 两边取平方，整理得5r+16+3>0:解得x<-3或x>} 5, 所以恩不等式的解失是(，3（子o) 【例36】已知幂函数f)=(m-m-小r在0，+w)上单调递增，g-2f+1 ④求函数()的解折式 (②如果函数()在区同[云-2如，+)上是增函数，求“的取值范国。 3)求关于x的不等式8()2>a+1-x 解集（其中a∈R) 【答案】1)()=x2 a-o,0u[2,+w） ③)当a<一2时，不等式的解集 (a)U 1 当4=一2时，不等式的解集为 】 当、1 “2时，不等式的解集为 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调 性求参数值 【分析】(1)由幂函数的定义求解即可： (2)由（山）知8)=2x2+1 ,再结合二次函数的性质即可求解： 3)因武分解可得(x-a)2x+1)>0,再分a>). 分、。<种情识讨论。分 别求出不等式的解集， 17 【详解】(1)由题意可得m-m-1=1,解得m=2或m=-1, 又因为)(m-m-)小r在Q四)上单调造增，所以m>0。 所以”=2，所以f() (2)由(4)知8()=2f()+1=2x2+1 又因为函数8(9在区同[口-24，+切)上是增函数 所以a-2a≥0，解得a≤0或a≥2，即0的取值范围为 -o,0小U[2,+∞) 2x2+(1-2a)x-a>0(x-a)2x+1)>0 (3)不等式转化为 ,则 1 1 1 当Q>2时，解得<一2或x>a,即不等式的解集为 x<- ,-2(a+) 1 1 当a=一2时，解得2，即不等式的解集为 r>- 当02时，解得<a或2，即不武的整汤 (.) 1 综上所述：当<一2时，不等式的解集为 .不等日 当>时。不等式的据聚为云》a+树 1 【例37】己知器通数f()=(r-m-1r为奇西数 ①m的值为 ②记1=a,2](a>0),S={川y=f.xe,若1nS=,则a的取值范围是 18 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、根据函数是幂函数求参数值、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据幂函数的定义和函数的奇偶性求m的值：再根据幂函数的单调性，求集合S, 根据I∩S=⑦，可求a的取值范围， 【详解】因为函数)(r-m-)r是释函数。 所以m-m-1=1,即 2-m-2=(m-20m+)=0,解得m=2或m=-1: 当m=2时， f(x)=x2 为偶函数： 当m=-时。 f(x)=x 为奇函数 所以m=-1为所求。 因为/)=r在a,2aa>0)上单调递减。 又1-2lo>0,s=创=1因xe.则5-≤s a>0 a>0 1 因为1nS=g所以。<0或2a 2a,解得a>1或0<a<2 即a的取值范围是 故答案为：-1； .U() 【例3.8.】已知函数f(x)=x2-2x 求f(四在，1%]上的值域： 19 ②解不等式5 22 0.81 (3)若关于x的方程f()=m在L16上有解，求m的取值范围。 【答案110 610 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解不含参数的一元二次不等式、根据幂函数值 域求参数或范围 【分析】(1)换元后，利用二次函数的单调性即可得解： (2)令x4=t,则原不等式化为2t2-9+4<0,求出t的范围再求x的范围： (3)换元后求出（四的值域即为m的范围 【详解】(1)令x=6,x∈l,16则t∈l,2],所以(x)=x2-2x=t-21,1≤t≤2， =-2”在区间2川上单调递增，所以1≤()s0 所拟f(在16上的值域为，0 2令-则)<5号-2化为-2受2，化衡得2-+40 <t<41 1 1 <x4<4 <x<256 256 解得2 ，即2 ,解得16 所以原不等式的解集为16 0.81 6)因为6所以0.四2x=2 20 3 令y=-21=《--L,y在[0，单调递减，y在2单调递增，所以1=1时y取得最小 值-1， 3 3 又1=0时，y=0,1=2时，y=一4，所以1=0时y取得最大值0： 所以1≤f(x)s0 所以m的取值范围是，0 题型4：反比例函数的综合应用 【例41】（多选）已知函数f)=m x+2在区间(-2，+∞)上单调递减，则实数a的可能取值为 () 1 A.0 B.2 C.-1 D.1 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的 函数值域 【分析】先将f)分离常数得f(x)=a+1-20 x+2,结合f(x)在区间(-2，+∞)上单调递减， 则有1-2a>0,进而可解得a的取值范围， 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数了问可化为了)=口+ x+2 因为f(m)在区间(-2，+∞)上单调递减，所以1-2a>0:即a<2 2 1 故选项中只有AC满足a< 2 故选：AC 【例2】西数)华在L2]上的最大值和最小性分别是 4 【答案】3,1 21 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性、复杂（根式 型、分式型等)函数的值域 【分析】对分式函数分离常数，判断区间上单调性，再代入区间端点求得最值， 【详解】f(x) 2x-2x+2-2=2-2 x+1x+1 x+1 因为少=2 +1在山，2]上单调递增， 所以/(x)=2-2 Γx+1在[1,2]上单调递增， 所以f=f0=l,f)=f包)=手 【例43】（多选）已知函数f)4+刊 x-2,则(). A.)的值域是少≠4 B.f(四的定义域为x≠2 f(2026)+f(-2022)=8 D.f(2023)+f(-2019)=8 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断或证明函数 的对称性、函数对称性的应用 【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到(x)的对称中心，即可判 断C、D正误 【详解】由0)=4-2)+9=4+9 x-2 +x-2,则定义域为xx≠2，值域为y1y≠4： 所以2,4是f田的对称中心，测则f(2026)+f(-202)=f(2023)+/(-2019)=8 综上，A、C、D正确，B错误. 故选：ACD 【例44】（多选）已知函数了x)=2x- x-1,则() 22 2对称 A.)的图象关于点 B.f(冈的图象关于直线=-+3对 称 (的值域为 -0,2)U(2,+o) D.()在定义域上单调递减 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断或证明函数的对称性、定义法判 断或证明函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】先通过分离常数将函数表达式转化为平移后的反比例函数形式，然后借助反比例 函数的性质依次判断各选项即可： 【详解1因为f()=2x-2x-)+1=2+1 x-1x-1 x-1 对于A:因为少=x的对称中心为(0,0)，将其向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到f(:)=2+ x-,所以对称中心变为L,2),故A正确： 对于B:任取f(x)上一点（化，），其关于直线y=-x+3的对称点为(3-，3-x), f(3-y)=2+ =2+1=2+ =3-x 而 6-2-y2-2x-马 因此其对称点(3-y,3-)也在f(:上，所以fx)的图象关于y=-x+3对称，故B正确； 对于C:因为(0U0,+m,所以2+(-，2U2+四， 1 即J() 的值域为 ←o,2U(2,+切).故C正确： 对于D:四的定义域为，U1四），它仅在区同←，和化+四)上分别单调递减， 七=0<1<x2=2 不能说在整个定义域上单调递减，例如：取 有f(0)=1<f(2)=3,不符合单调递减定义，故D错误 23 题型5：对勾函数的综合应用 【例5.1】已知函数f(:)=x+ x re2求的值域 2xe2.利，求（的最小值 8-7,-]求的值线。 【案1以时 36 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、对勾 函数求最值、基本不等式求和的最小值 【详新1)西数)在L2止单调道藏。所以s50.即】/)8， 侣 (2)函数(y在[2]上单调递减，在[V万，4上单调适增。 所以/（的最小值为小）2万 3)函数在儿冈在-7，-引上单调递增。 24 所列小s付s(,国s≤台，肯做推城 16 8, x2 2 【例5.2.】函数》=1+x在区间2 上的值域为() a剖 03 D Bj 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】运用换元法，令1=x+l,[3】,再结合对勾函数的性质，即可得解 【解11-41u吃，则1-少-《少=42习. t 令0=1+1∈3引，由对勾函数的性质可知， f0在吃]上单调递减，在L,3]上单调递增， f0=1+在=1处取得最小值f0=2: 又因为分多 f3)=10,105 3’32 因此0=4+在1e53引上的值城为2，， 故y=t }21e的值城为0争， x2 阳函数1+r在区同23 上的为 故选：C 【例53】函数国=+兰在x[L,2]上的最大值与最小值之和为7，则实数a= 25 8-2√7 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】分a≤0,0<a≤1,1<a<4,a≥4四种情况讨论，结合条件，利用f)=x+兰 的单调性，即可求解 【详解】若a≤0，易知f=x+在区间L,2]上单调递增。 由题知1+a2+号-7，解得4=骨0，不合腿点， 若0<后≤1，即0<a≤1时，=x+在区间[L,2]上单调递增， 由题知1+a2+号-7，解得口骨1，不合题食 若1<后<2，即1<a<4时，f()=x+兰在区间[L,、回]上单调递减，在区间[a,2]上单调 递增， 又f0=1+a,f不a)=26,f-=2+号， 当l+a≥2+ ,即2≤a<4时， 由题有 +a+2a=7,解得0=8-27，又2<7<3，则2<a=8-27<4,所以 又 ,则 a=8-2V7 满足题意， 当1+a<2+号，即1<a<2时。由腿有2+号+2a=-7,解得a=18g-4N4 又<4，则0=18-44>2 不合题意， 若a≥2，即a≥4时，f(~=x+ 在区间[山，2]上单调递减， 由题知1+a2+号7，解得0弩c4,不合想点， 26 综上所述，实数=8-2V7 [x2-2x+2,x20 V= 【例5.4.】已知函数 +3a,x<0的值线为R则实数。的取值范国为 x+ 【答案】 (-o,0)U[1,+0) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、复杂（根式型、分式 型等)函数的值域 x2-2x+2,x20 y= 【分析】由函数 x+是+3ax<0的值线为R’分a=0,a>0.a<0三种情况结合对勾 函数性质求解即可 【i详解】当x之0时，f)=r-2x+2=-+1,此时f)∈+） 当a=0且x<0时，f(x)=x, 此时f)∈(-，0)，且-o,0)UL,+o)≠R ，所以不满足： 当a>0且x<0时，f)=x+0+3a 由对勾函数单调性可知f0在←2，-@)上单调递增，在-a,0上单调递减， 所以f(=fa)=3a-2a,此时fw)e(←o3a-2a, f(x) 若要满足 的值域为R,只需要30-2a≥ ·解得0≥1 当a<0且x<0时，因为y=xy x均在(-0,0)上单调递增， 所以)=+是+30在（←，0）上单调递增，且x→0时，网→，x→-时。 f(x)→-0 f(x)∈(-0，+0) f(x) R 所以此时 ,此时显然能满足 的值域为； 27 综上可知，“的取值范围是 (-o,0U1,+0） (-∞，0U[1,+∞) 故答案为： 【例55】已知函数f()=x-2x+2,xeR的图像关于点(1,0)成中心对称。 x-C (1)求C的值； y=f(x) (2)求函数 的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性： 「531 X∈ (3)若对任意L4'2都有f(9x-a)+f(x)≤0成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 0,2) 单调递增区间为 递减区间为 ,0和（2，+） 6l13,14 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、由函数对称性求函数值或参数、求函数的单调区间 【分析】(1)根据函数的对称性直接求解即可： (2)根据对勾函数的单调性，结合反比例函数的单调性、函数的对称性进行求解即可； (3)根据函数的对称性和单调性进行求解即可， 一（详解】少因为函数了F2+2,xER的图像关于点L0成中心对称， 所0p2203e,2 1+x-1 1-x-1 f(1+x)+f(1-x)= +y-20+20--20-92r4=0 所以'=f因)的图像关于点.0)成中心对称，c=1 28 [0,x=1 内阳 -41t1, x-1 1 当x>1时，y= 令1=小0，=+ 函数y=t+在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增， 1 所以函数y= 一十x-1在(，2)上单调递减，在(2，+w）)上单调递增， 又因为y= -i+r-1>0. 1 1 y= 所以函数 -+r-1在(，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 1 又因为函数-f因关于点.0)对称， 1 所以当：<时西数一1在0)上单调递增，在(0上单调造减。 y=- x<1 又因为/(0=0 所以函数”=儿因)的单调递增区间为 .2),递减区间为 ,0)和2，+w） (3)商数"=f因关于点0)对称， 所以/()+f2-x)=0 所以由f9r-a+/(s0→f9x-a)s-f6)=f2-) 设8()=心+)=，则g)为奇函数。且单调造增区间为(1)，递诚区间为 （,-和+） 29 a ，当时， x<0g()<0x>0g(x)>0 原不等t化%：a-小5g0-.[引 g(9x-a-1)sg1-x)<0. 所以1-x 1≤9x-a-11-对任意的x[4'2]恒成立 9x-a-l.可利a班+=90-小+8， 对于1-x 百x-)+8≥14，当且仅当-号时等号度立：放a514 「537 X 对于9x-a-1≤1-x,可得10x-2≤a对任意的L4'2]恒成立，则a≥13： 综上所述：实数a的取值范围为l3≤a≤14. 30 §3.3 幂函数（含反比例函数、对勾函数） 目录 题型1：幂函数的定义的应用 4 题型2：幂函数的图像与性质 5 题型3：幂函数性质的综合应用 6 题型4：反比例函数的综合应用 7 题型5：对勾函数的综合应用 8 1. 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 提醒 幂函数中，前面的系数为1，底数为（不是等）。 2. 幂函数的图像与性质 (1) 五个幂函数的图象与性质 解析式 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数也不是偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在 上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在 上单调递减，在上单调递减 定点 (2) 幂函数的性质 ①所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； ②幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； ③如果，那么幂函数的图象过原点，并且在区间上单调递增； ④如果，那么幂函数的图象在区间上单调递减，在第一象限内，当趋向于0时，图象在轴右侧无限接近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限接近轴； ⑤在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 (3) 上凸函数、下凸函数的定义 ①设函数在上有定义,若对上任意不同的两点, 都成立,则称在上是上凸的函数,即上凸函数。 ②设函数在上有定义,若对上任意不同的两点，成立,则称在上是下凸的函数,即下凸函数。 3. 反比例函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在和上单调递减， 没有单调递增区间 在上单调递增， 没有单调递减区间 4. 对勾函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在和上单调递增； 在和单调递减 在上单调递增 提醒 形如的函数，都被称为“对勾函数”. 题型1：幂函数的定义的应用 方法提炼 幂函数的形式为，系数必须为1，底数为，是任意常数。如，，都不是幂函数。 【例1.1.】 有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有______（只填序号）. 【例1.2.】 已知幂函数的图象过点，则__________． 【例1.3.】 已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【例1.4.】 若幂函数的定义域为，则实数______． 【例1.5.】 已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型2：幂函数的图像与性质 【例2.1.】 函数的图象过定点______. 【例2.2.】 如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【例2.3.】 已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． B． C． D． 【例2.4.】 已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（   ） A．   B．   C．   D．   题型3：幂函数性质的综合应用 【例3.1.】 （多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【例3.2.】 若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【例3.3.】 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【例3.4.】 （多选）下列比较大小中正确的是（      ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【例3.6.】 已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【例3.7.】 已知幂函数为奇函数． ①的值为_______； ②记，，若，则的取值范围是_______． 【例3.8.】 已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 题型4：反比例函数的综合应用 【例4.1.】 （多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【例4.2.】 函数在上的最大值和最小值分别是________. 【例4.3.】 （多选）已知函数，则（    ）． A．的值域是 B．的定义域为 C． D． 【例4.4.】 （多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在定义域上单调递减 题型5：对勾函数的综合应用 【例5.1.】 已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【例5.2.】 函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【例5.4.】 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【例5.5.】 已知函数，的图像关于点成中心对称． (1)求的值； (2)求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $