山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一上学期1月诊断性测试数学试题

泰安一中青年路校区高一上学期1月份诊断性测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数. 现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，，） A. 4分钟 B. 5分钟 C. 6分钟 D. 7分钟 8. 已知R上的奇函数满足，且当时，．若函数在区间上有9个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 11. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知扇形的半径为，则扇形的面积为______. 13. 已知，，则 ，的最小值是 ． 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (13分) 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为. （1）求的值； （2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值. 16. (15分) 函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 17. (15分) 已知函数. (1)用定义证明函数在上为减函数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围. 18. (17分) 已知函数，是的图象与直线的两个相邻交点，且． （1）求的值及函数在上的最小值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. (17分) 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． (1)试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； (2)若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围； (3)试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 泰安一中青年路校区高一上学期1月份诊断性测试 数学试题参考答案 一、单选题： 1. C 2. A 3. C 4. A 5. D 6. B 7. C 8. B 7.【详解】根据题意可知，，， 因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，， 所以，解得，则， 所以要使得该茶降至，即，则有， 得， 故， 所以大约需要等待6分钟. 8.【详解】因为，所以， 又因为为R上的奇函数，所以， 所以，所以，所以是周期为的周期函数. 在上的零点个数函数图象在上的交点个数， 且是最小正周期为的周期函数， 而, 在同一平面直角坐标系中作出的图象， 如图所示：因为，且， 由图象可知： 当时，的图象共有个交点，且第个交点的横坐标为， 又因为，， 所以，所以第个交点的横坐标为，所以的取值范围是. 二、多选题： 9．BC 10. ACD 11. BCD 11.【详解】作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，A错误； 对于B：由图可知，解得，B正确； 对于C：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，C正确； 对于D：对于函数函数，令，则， 可得， 当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根，当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，D正确. 三、填空题： 12． 13. 1 2 14. 13.【详解】因为，所以 ， 所以，于是有． 又 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是2． 14.【详解】由题意知，得， 即，设，则在上单调递增， 则由可得，所以，故. 四、解答题： 15．【小问1】在单位圆上，且在第二象限，横坐标为，可求得纵坐标为， 所以， 3 则 6 【小问2】由题知，则，，则 ， 10 故 . 13 16.【小问1】因为在上单调递减， 2 所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为, 6 所以. 7 【小问2】 由，得，解得， 所以， 10 因为， 12 所以，解得. 故实数的取值范围. 15 17. 【详解】（1）任取，且， 则 ，因为，所以，所以，则， 所以函数在上为减函数； （2）由（1）得在上为减函数，又，则， 当时，有，解得； 当时，，解得，不成立， 综上所述，实数的取值范围为； （3）由（1）得在上为减函数，则在上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 则由零点存在性定理可得，，， 解得，故实数的取值范围为 18．【详解】【小问1】函数 ， 4 则， 因为,是函数的图象与直线的两个相邻交点，且， 所以函数的最小正周期为，则， 5 可得． 由，得，当， 所以，，故函数在上的最小值为． 9 【小问2】设，因为，所以． 10 因为不等式恒成立， 设， 所以在上恒成立． 13 则，即， 解得，故的取值范围为． 17 19. 【详解】（1）∵，∴，则是“伪奇函数”． （2）令， 则， 即在有解， 而，则，∴， 则， 又∵在时恒成立， ∴，则，即， ∴实数m的取值范围为. （3）当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 而， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， ①当，即时， 在一定有解，满足题意； ②当，即或时， 在有解等价于， 解得. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $