精品解析：云南昆明市第八中学2026-2027学年上学期八年级9月学情自测数学试卷

初二年级9月学情监测 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共15小题．每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. 15，10，7 B. 4，5，10 C. 3，8，5 D. 14，5，6 3. 如图，是的中线．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”证明和全等的是（　　） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 9. 如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A. 14 B. 12 C. 9 D. 7 11. 如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 14. 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 四边形更稳定 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 15. 如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题．每小题2分，共8分． 16. 如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 17. 如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 18. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 19. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 21. 如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 22. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 23. 如图，点E在上，与交于点F，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 25. 如图，与相交于点O， ， （1）求证： （2）求证：垂直平分． 26. 问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： （1）判断的形状并证明： （2）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 27. 综合实践 （1）问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． （2）【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级9月学情监测 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答，答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共15小题．每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. 15，10，7 B. 4，5，10 C. 3，8，5 D. 14，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】比较每组线段中较短两条的长度和与最长线段的长度，判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴长为15，10，7的线段能组成三角形，A符合题意， ∵，，， ∴B、C、D选项中的线段均不能组成三角形． 3. 如图，是的中线．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 4. 如图，在中，，是边上的高，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 6. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 7. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 8. 如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”证明和全等的是（　　） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的条件是解题的关键． 根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，但不能用“”证明乙三角形与全等； 故选：． 9. 如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，且，于点．若，则的值为（　　） A. 14 B. 12 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，得到，最后利用求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 11. 如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 12. 如图，内一点P，、分别是P关于、的对称点，交于M，交于N，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称的性质得到，结合周长的计算即可求解． 【详解】解：∵、分别是P关于、的对称点， ∴， ∵的周长， ∴的周长 ． 13. 如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 14. 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 四边形更稳定 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 15. 如图，，，，，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件证明，利用全等三角形的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故D正确，不符合题意； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵是直角三角形，而不一定是直角三角形，无法证明，故C错误，符合题意． 二、填空题：本题共4小题．每小题2分，共8分． 16. 如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点，根据已知可得，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 依题意， ∴ ∴ 17. 如图，、相交于点O，，请你再补充一个条件，使得，你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理：，，，，，即可解答． 【详解】根据题意可得，， 根据全等三角形的判定定理， 可补充的条件为，则； 可补充的条件为，则．（答案不唯一） 18. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图流程可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，结合等量代换可知，的周长即为与之和． 【详解】解：由尺规作图可知，是的垂直平分线， ∵点在上， ∴， ∴的周长为． 19. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ． 21. 如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 22. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2） 甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 略 23. 如图，点E在上，与交于点F，，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角加同一个角仍相等得到，利用“”证两三角形全等； （2）由（1）知，得到对应角相等，再利用三角形内角和为，有两组角相等，剩下的角一定相等求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 24. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 【答案】（1）证明：在和中， ， ． （2）证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，与相交于点O， ， （1）求证： （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：，， 在△ 与△ 中， ， ， （2） 证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： （1）判断的形状并证明： （2）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 【答案】（1）为等腰直角三角形； 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，再得出，即可得出结论； （2）证明，得出，，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 27. 综合实践 （1）问题1：如图1，在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得到的线段，，之间的数量关系是___________________________________． （2）【探究思考】问题2：如图2，若将问题1的条件改为：四边形中，，．，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． （3）【拓展延伸】问题3：如图3，在问题2的条件下，若点在的延长线上，点在的延长线上，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2）结论仍然成立，理由如下： 延长到点．使，连接，如图2， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）问题1的结论不成立，理由如下： 在上取一点G，使，连接，如图3，     ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点,使．连接，先证明，再证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）同（1）方法，延长到点，使，连接，先证明，再证明得到，进而可得结论； （3）在上取一点G，使，连接，同理先证明，再证明，得到，进而可得结论． 【小问1详解】 解：延长到点．使，连接，如图1， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $