精品解析：江苏省通州高级中学2026-2027学年高一上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年（上）高一年级第一次阶段性测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合A中的一元二次方程得到集合A的元素，再根据并集的定义计算即可. 【详解】由，因式分解得，解得或，因此. 因为，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可． 【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，． 故选：C． 3. 已知，则有（ ） A. 最大值1 B. 最小值1 C. 最大值3 D. 最小值3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式即可解出答案. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当“”即时，等号成立. 所以当时，有最小值为3. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】，， ，， ， . 故选：D. 5. 命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 6. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 7. 已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】分三类分别假设三个关系中仅有一个成立，结合集合元素的互异性与排列性质验证，最后代入计算目标式值. 【详解】已知，即为1,2,3的无重复排列，且三个关系有且只有一个正确，分类讨论如下： 若仅①正确，即，②③均错误： 由②错误得，由③错误得，此时仅能取2、3， 结合，无符合条件的取值，排除该情况； 若仅②正确，即，①③均错误： 由①错误得，此时，与集合元素互异性矛盾，排除该情况； 若仅③正确，即，①②均错误： 由①错误得，由②错误得，剩余未分配元素为1、2， 结合得，，符合条件. 代入计算得. 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理将所求代数式转化为关于的表达式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】∵ 关于的不等式的解集为， ∴ 二次项系数，且、是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，（）， 所以，令，由得，则， 代入上式得： ，根据基本不等式，对任意， 有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为实数，若集合，，且，则的值可以是（ ） A. 6 B. 2 C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，可知，又因为空集是任何集合的子集，所以分和两种情况，从而求出参数. 【详解】由题可知：， 因为，所以， 当时，，满足，故成立， 当时，， 因为，所以或， 解得：或， 综上可知：或或. 10. 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】A选项：因为二次函数（，，为常数）的图象经过点，，所以关于的一元二次方程的两根为和，由根与系数的关系得，，即，由图可知，二次函数的图象开口向上，所以，则，，故选项A正确； B选项：由图可知，当时，，即，故选项B错误； C选项：由得，，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，故选项C正确； D选项：由得，，因为，所以，即，解得，则不等式的解集为，故选项D错误. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则的值为________． 【答案】 6 【解析】 【详解】由，则. 13. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，求出，，再利用不等式性质求出的取值范围. 【详解】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以， 即. 14. 已知实数、满足．则的最小值为________；的最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由已知等式得出，再结合基本不等式可求出、的最小值. 【详解】因为实数、满足，所以，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，命题，. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由写出集合，根据补集的运算求出，求出集合，根据交集运算求出. （2）由“”是“”成立的必要不充分条件得到集合是集合的真子集，根据真子集的定义列出的不等式（组），计算求解. 【小问1详解】 当时，集合，则或， 又由不等式解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，集合，当时，， 因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集， 则且等号不能同时成立，解得， 所以正实数m的取值范围是. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米，元 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 18. 已知二次函数． （1）已知，且，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （2）若，，求解关于的不等式； （3）若，，，且函数的两个零点均为整数，求实数的值． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法求解即可； （3）设函数的两个零点分别为、，由韦达定理得出，可知能被整除，故，然后逐一检验即可. 【小问1详解】 当，时，， 因为函数有两个不同的零点，则，解得或， 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 若，，则， 则所求不等式即为. ①当时，，解原不等式得； ②当时，，解原不等式得或； ③当时，原不等式即为，解得； ④当时，，解原不等式得或. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 若，，，则， 因为函数的两个零点均为整数，设这两个零点分别为、， 由韦达定理可得，， 由题意可知，所以， 又因为，则能被整除，故， 若，由可得，，符合题意； 若，由可得，，不符合题意； 若，由可得，，符合题意. 综上所述，或. 19. 已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”. （1）若集合是“二元和谐集”，求m的值； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1） （2）证明如下： 集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得（舍）或， 即，所以中至少有一个大于2. （3）存在，1个，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，，故只有，满足要求， 所以，得， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【解析】 【分析】（1）根据n元和谐集的定义，令，求解即可. （2）通过构造一元二次方程利用判别式法证明即可. （3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，即可. 【小问1详解】 （1）若集合是“二元和谐集”，则， 解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）高一年级第一次阶段性测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则有（ ） A. 最大值1 B. 最小值1 C. 最大值3 D. 最小值3 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题：“”是命题：“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 8. 若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为实数，若集合，，且，则的值可以是（ ） A. 6 B. 2 C. D. 0 10. 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则的值为________． 13. 已知，，则的取值范围是________． 14. 已知实数、满足．则的最小值为________；的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，命题，. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. 已知二次函数． （1）已知，且，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （2）若，，求解关于的不等式； （3）若，，，且函数的两个零点均为整数，求实数的值． 19. 已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”. （1）若集合是“二元和谐集”，求m的值； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $