4.4等腰三角形 同步练习2025-2026学年青岛版数学八年级上册

4.4　等腰三角形(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的判定定理 1.在△ABC中,若AB=AC=5,∠B=60°,则BC的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的个数为( ) A.1　 B.2　 C.3　 D.4 3.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状 4.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,CE∥DA,∠ECB=60°,求证:△BCE是等边三角形. 5.如图,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的点,点D在线段AB的垂直平分线上,∠ABC=87°,∠ACB=33°,∠CAE=27°. 求证:△ABD是等边三角形. 知识点2　直角三角形的性质 6.如图,一棵树在一次强台风中,从离地面6 m处折断,倒下的部分与地面成30°角,如图所示,这棵树在折断前的高度是( ) A.10 m B.15 m C.18 m D.20 m 7.如图,在△ABC中,∠B=15°,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,若BE=6 cm,则AC的长是( ) A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,若AB=8,求BD的长. 【B层 能力进阶】 9.如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= cm.  10.如图,灯塔C在海岛A的北偏东75°方向,某天上午8点,一艘船从海岛A出发,以15海里/时的速度由西向东方向航行,10时整到达B处,此时,测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离; (2)已知在以灯塔C为中心,周围16海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请你说明理由. 11.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE相交于点F,CE∥AB. (1)判断△DEF的形状,并说明理由. (2)若AD=10,CE=8,求CF的长. 【C层 创新挑战（选做）】 12.如图,∠ABC=∠ADC=90°,AC与BD相交于点E,∠ABD=∠ADB. (1)求证:AC垂直平分BD; (2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于F,如果AB=AF; ①求证:△BCD是等边三角形; ②如果G,H分别是线段AC、线段CD上的动点,当GH+AH为最小值时,请确定点H的位置,并思考此时GH与CH有怎样的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4　等腰三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等腰三角形的判定定理 1.在△ABC中,∠B=∠C,AB=6 cm,则AC的长为(C) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,OD垂直平分AB,若∠OBC=∠OCB,OC=4,则点A,O之间的距离为(A) A.4 B.8 C.2 D.6 3.(2024·泰安泰山区期中)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=10,则DC的长是　10　.  知识点2　等边三角形的判定定理 4.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是(D) A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D,E在BC上,AD=BD,AE=CE.则△ADE是(B) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 6.已知:如图,CD平分∠ACB,AE∥DC,AE交BC的延长线于点E,且∠ACE=60°.求证:△ACE是等边三角形. 【证明】因为∠ACE=60°, 所以∠ACB=180°-∠ACE=120°, 因为CD平分∠ACB, 所以∠ACD=∠BCD=∠ACB=60°, 因为AE∥DC, 所以∠CAE=∠ACD=60°,∠E=∠BCD=60°,所以∠CAE=∠E=∠ACE=60°, 所以△ACE是等边三角形. 【B层 能力进阶】 7.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(B) A.a=3,b=3,c=4 B.a∶b∶c=2∶3∶4 C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2 8.如图是一款圣诞帽,该帽子的下方是正六边形ABCDEF,延长BA,EF交于点G,则帽子的顶部△GAF的形状是(B) A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定 9.如图,用圆规以直角顶点O为圆心,以适当半径画一条弧交直角两边于A,B两点,若再以A为圆心,以OA为半径画弧,与弧AB交于点C,则△AOC的形状为　等边三角形　.  10.如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AC于点E,BF平分∠ABC交DE于点F,若EC=3EF=6,则BD=　4　.  11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F. (1)求证:∠C=∠BAD; (2)求证:AC=EF. 【证明】(1)因为AB=AE,D为BE的中点, 所以AD⊥BE(等腰三角形三线合一), 因为∠BAC=∠BDA=90°, 所以∠B+∠C=∠B+∠BAD, 所以∠C=∠BAD; (2)因为AF∥BC,所以∠EAF=∠AEB, 因为AB=AE, 所以∠ABE=∠AEB,所以∠EAF=∠ABC, 又因为∠BAC=∠AEF=90°, 所以△ABC≌△EAF(ASA),所以AC=EF. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(几何直观、推理能力)(2024·聊城市东昌府区质检)(1)如图1,已知,在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有　　　　个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是　　　　　　　,△AEF的周长是　　　　.  (2)如图2,若将(1)中“△ABC中,AB=AC”改为“AB≠AC”其余条件不变,则EF与BE,CF之间有什么数量关系?证明你的结论. (3)已知,如图3,D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角 ∠ACG,过点D作DE∥BC分别交AB,AC于E,F两点,则EF与BE,CF之间的数量关系是　　　　.  【解析】(1)因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB, 因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, 所以∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD, 所以∠DBC=∠DCB, 所以DB=DC, 因为EF∥BC, 所以∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD, 所以∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD, 所以BE=DE,CF=DF,AE=AF, 所以等腰三角形有△ABC,△AEF,△DEB,△DFC,△BDC,共5个, 所以BE+CF=DE+DF=EF, 即BE+CF=EF, △AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20. 答案:5　BE+CF=EF　20 (2)BE+CF=EF,理由如下: 因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, 所以∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD, 因为EF∥BC, 所以∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD, 所以∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD, 所以BE=DE,CF=DF, 所以BE+CF=DE+DF=EF, 即BE+CF=EF. (3)因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACG, 所以∠EBD=∠CBD,∠ACD=∠DCG, 因为EF∥BC, 所以∠EDB=∠CBD,∠EDC=∠DCG, 所以∠EBD=∠EDB,∠EDC=∠ACD, 所以BE=DE,CF=DF, 又因为ED-DF=EF, 所以BE-CF=EF. 答案:BE-CF=EF 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4　等腰三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等腰三角形的判定定理 1.在△ABC中,∠B=∠C,AB=6 cm,则AC的长为( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,OD垂直平分AB,若∠OBC=∠OCB,OC=4,则点A,O之间的距离为( ) A.4 B.8 C.2 D.6 3.(2024·泰安泰山区期中)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,∠B=∠ADB.若AB=10,则DC的长是 .  知识点2　等边三角形的判定定理 4.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是( ) A.不等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D,E在BC上,AD=BD,AE=CE.则△ADE是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不等边三角形 6.已知:如图,CD平分∠ACB,AE∥DC,AE交BC的延长线于点E,且∠ACE=60°.求证:△ACE是等边三角形. 【B层 能力进阶】 7.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.a=3,b=3,c=4 B.a∶b∶c=2∶3∶4 C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2 8.如图是一款圣诞帽,该帽子的下方是正六边形ABCDEF,延长BA,EF交于点G,则帽子的顶部△GAF的形状是( ) A.只有两边相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定 9.如图,用圆规以直角顶点O为圆心,以适当半径画一条弧交直角两边于A,B两点,若再以A为圆心,以OA为半径画弧,与弧AB交于点C,则△AOC的形状为 .  10.如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AC于点E,BF平分∠ABC交DE于点F,若EC=3EF=6,则BD= .  11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F. (1)求证:∠C=∠BAD; (2)求证:AC=EF. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(几何直观、推理能力)(2024·聊城市东昌府区质检)(1)如图1,已知,在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是 ,△AEF的周长是 .  (2)如图2,若将(1)中“△ABC中,AB=AC”改为“AB≠AC”其余条件不变,则EF与BE,CF之间有什么数量关系?证明你的结论. (3)已知,如图3,D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角 ∠ACG,过点D作DE∥BC分别交AB,AC于E,F两点,则EF与BE,CF之间的数量关系是 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4　等腰三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边对等角 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.39° B.40° C.49° D.51° 2.如图,将等边△APQ的边PQ向两边延长,使PB=QC=PQ,则∠BAC的度数为( ) A.120° B.110° C.100° D.90° 3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是 .  4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 .  5.如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数. 知识点2　三线合一 6.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( ) A.18° B.20° C.30° D.15° 7.如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,点B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是 .  8.如图,在等边△ABC中,D是边AC上的一点,点E在边BC的延长线上,若BD=ED,CD=CE,求证:D为AC的中点. 【B层 能力进阶】 9.(2024·临沂临沭质检)已知△ABC中,AB=AC,高BD,CE相交于点O,连接AO,则图中全等三角形的对数为( ) A.3　 B.4　 C.5　 D.6 10.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,E为AB上一点,且BC=BD,AD=DE=BE,那么∠A的度数为( ) A.36° B.45° C.60° D.75° 11.(多选)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,则顶角的度数可能为(BC) A.35° B.55° C.125° D.135° 12.如图,在△ABC中,AB=BC,分别延长CA,CB至点D,E.连接DE,DB,在AC上取点F,使得EF=BD,∠DBA=∠FEC,过点F作FG⊥CE,垂足为点G.若CG=,则BE= .  【C层 创新挑战（选做）】 13.(几何直观、推理能力、应用意识) (2024·德州庆云期中)综合探究:探索等腰三角形中相等的线段. 问题情境: 数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?同学们就这个问题展开探究. 问题初探: (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.经过合作,该小组的同学得出的结论是DE=DF,并且展示了他们的证法,如下: 证明:如图1, 因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠DEB=∠DFC=90°, 因为AB=AC, 所以∠B=∠C(依据1), 因为D是BC的中点, 所以BD=CD, 在△BDE和△CDF中, 所以△BDE≌△CDF(依据2), 所以DE=DF. 请写出依据1和依据2的内容: 依据1: .  依据2: .  问题再探: (2)未来小组的同学经过探究又有新的发现,如果在等腰三角形ABC中,作腰AB上的高CG.如图2,则CG与DE有确定的数量关系,请猜想这个数量关系,并且给出证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4　等腰三角形(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的判定定理 1.在△ABC中,若AB=AC=5,∠B=60°,则BC的值为(C) A.3 B.4 C.5 D.6 2.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形,其中是等边三角形的个数为(D) A.1　 B.2　 C.3　 D.4 3.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是(B) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状 4.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,CE∥DA,∠ECB=60°,求证:△BCE是等边三角形. 【证明】因为CE∥DA,所以∠A=∠BEC, 又因为∠A=∠B,所以∠B=∠BEC, 因为∠ECB=60°,所以∠B=∠BEC=60°, 所以△BCE是等边三角形. 5.如图,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的点,点D在线段AB的垂直平分线上,∠ABC=87°,∠ACB=33°,∠CAE=27°. 求证:△ABD是等边三角形. 【证明】因为∠ACB=33°,∠CAE=27°, 所以∠AEB=∠ACB+∠CAE=60°, 在△ABE中,∠ABC=87°, 所以∠BAE=180°-(∠ABC+∠AEB)=180°-(87°+60°)=33°, 所以∠BAC=∠BAE+∠CAE=33°+27°=60°, 因为点D在线段AB的垂直平分线上, 所以DA=DB, 所以△ABD是等边三角形. 知识点2　直角三角形的性质 6.如图,一棵树在一次强台风中,从离地面6 m处折断,倒下的部分与地面成30°角,如图所示,这棵树在折断前的高度是(C) A.10 m B.15 m C.18 m D.20 m 7.如图,在△ABC中,∠B=15°,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,若BE=6 cm,则AC的长是(D) A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,若AB=8,求BD的长. 【解析】因为∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8, 所以BC=AB=4,∠B=60°, 因为CD⊥AB, 所以∠CDB=90°, 所以∠BCD=30°, 所以BD=BC=2. 【B层 能力进阶】 9.如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE=　3　cm.  10.如图,灯塔C在海岛A的北偏东75°方向,某天上午8点,一艘船从海岛A出发,以15海里/时的速度由西向东方向航行,10时整到达B处,此时,测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. (1)求B处到灯塔C的距离; (2)已知在以灯塔C为中心,周围16海里的范围内均有暗礁,若该船继续由西向东航行,是否有触礁的危险?请你说明理由. 【解析】(1)根据题意得∠BAC=90°-75°=15°,∠CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(海里), 所以∠C=30°-15°=15°, 所以∠BAC=∠C, 所以BC=AB=30海里, 答:B处到灯塔C的距离为30海里; (2)过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 因为∠CBD=30°,BC=30海里, 所以CD=BC=15(海里), 因为15<16, 所以该船继续由西向东航行会有触礁的危险. 11.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE相交于点F,CE∥AB. (1)判断△DEF的形状,并说明理由. (2)若AD=10,CE=8,求CF的长. 【解析】(1)△DEF是等边三角形,理由如下: 因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD是等边三角形, 所以∠ABD=∠ADB=60°, 因为CE∥AB, 所以∠CED=∠A=60°,∠DFE=∠ABD=60°, 所以∠CED=∠ADB=∠DFE=60°, 所以△DEF是等边三角形; (2)如图,连接AC交BD于点O, 因为AB=AD,CB=CD, 所以AC是BD的垂直平分线, 即AC⊥BD. 因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以∠BAC=∠DAC=30°. 因为CE∥AB, 所以∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°, 所以AE=CE=8, 所以DE=AD-AE=10-8=2. 因为△DEF是等边三角形, 所以EF=DE=2, 所以CF=CE-EF=8-2=6. 【C层 创新挑战（选做）】 12.如图,∠ABC=∠ADC=90°,AC与BD相交于点E,∠ABD=∠ADB. (1)求证:AC垂直平分BD; (2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于F,如果AB=AF; ①求证:△BCD是等边三角形; ②如果G,H分别是线段AC、线段CD上的动点,当GH+AH为最小值时,请确定点H的位置,并思考此时GH与CH有怎样的数量关系. 【解析】(1)因为∠ABD=∠ADB,∠ABC=∠ADC=90°, 所以AB=AD,∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB, 所以A在BD的垂直平分线上,∠CBD=∠CDB, 所以CB=CD, 所以C在BD的垂直平分线上, 所以AC垂直平分BD; (2)①设∠F=α,因为AB=AF, 所以∠ABF=∠F=α, 因为∠BAC是△ABF的外角, 所以∠BAC=∠F+∠ABF=2α, 由(1)可知AC⊥BD,CB=CD, 所以∠BCE=∠DCE, 因为BF∥CD, 所以∠F=∠DCE, 所以∠F=∠BCE=α, 因为∠ABC=90°, 所以∠BCE+∠BAC=90°,即α+2α=90°, 则α=30°, 所以∠DCB=2∠BCE=60°, 因为BC=CD, 所以△BCD是等边三角形; ②GH+AH为最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH,理由:延长AD至A',使DA'=AD, 因为CD⊥AD,所以A与A'关于CD成轴对称, 过A'作A'G⊥AC于G交CD于H, 连接AH,所以AH=A'H, 所以AH+GH=A'H+GH=A'G,此时GH+AH的值为最小, 由①知:∠DCE=30°,即∠GCH=30°, 因为A'G⊥AC,即GH⊥CG, 所以在Rt△GCH中,∠GCH=30°,所以CH=2GH, 所以GH+AH为最小值时,GH与CH的数量关系是CH=2GH. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4　等腰三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边对等角 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为(A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.39° B.40° C.49° D.51° 2.如图,将等边△APQ的边PQ向两边延长,使PB=QC=PQ,则∠BAC的度数为(A) A.120° B.110° C.100° D.90° 3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是　40°或100°　.  4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为　60°　.  5.如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数. 【解析】因为∠ABC=80°,BD=BC, 所以∠BDC=∠BCD=50°. 因为∠A=40°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, 所以∠ACB=60°, 因为CE=BC,所以∠EBC=60°. 所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°. 知识点2　三线合一 6.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(D) A.18° B.20° C.30° D.15° 7.如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,点B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是　等腰三角形的三线合一　.  8.如图,在等边△ABC中,D是边AC上的一点,点E在边BC的延长线上,若BD=ED,CD=CE,求证:D为AC的中点. 【证明】因为△ABC是等边三角形, 所以∠ACB=∠ABC=60°, 因为CD=CE,所以∠CED=∠CDE, 因为∠ACB=∠CED+∠CDE, 所以∠CED=∠CDE=∠ACB=×60°=30°, 因为BD=ED,所以∠CBD=∠CED=30°, 所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-30°=30°,所以∠ABD=∠CBD, 所以BD平分∠ABC, 因为△ABC是等边三角形, 所以BD是△ABC的AC边上的中线, 所以D为AC的中点. 【B层 能力进阶】 9.(2024·临沂临沭质检)已知△ABC中,AB=AC,高BD,CE相交于点O,连接AO,则图中全等三角形的对数为(C) A.3　 B.4　 C.5　 D.6 10.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,E为AB上一点,且BC=BD,AD=DE=BE,那么∠A的度数为(B) A.36° B.45° C.60° D.75° 11.(多选)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°,则顶角的度数可能为(BC) A.35° B.55° C.125° D.135° 12.如图,在△ABC中,AB=BC,分别延长CA,CB至点D,E.连接DE,DB,在AC上取点F,使得EF=BD,∠DBA=∠FEC,过点F作FG⊥CE,垂足为点G.若CG=,则BE= 　.  【C层 创新挑战（选做）】 13.(几何直观、推理能力、应用意识) (2024·德州庆云期中)综合探究:探索等腰三角形中相等的线段. 问题情境: 数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?同学们就这个问题展开探究. 问题初探: (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.经过合作,该小组的同学得出的结论是DE=DF,并且展示了他们的证法,如下: 证明:如图1, 因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠DEB=∠DFC=90°, 因为AB=AC, 所以∠B=∠C(依据1), 因为D是BC的中点, 所以BD=CD, 在△BDE和△CDF中, 所以△BDE≌△CDF(依据2), 所以DE=DF. 请写出依据1和依据2的内容: 依据1:　　　　　　.  依据2:　　　　　　.  问题再探: (2)未来小组的同学经过探究又有新的发现,如果在等腰三角形ABC中,作腰AB上的高CG.如图2,则CG与DE有确定的数量关系,请猜想这个数量关系,并且给出证明. 【解析】(1)因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠DEB=∠DFC=90°, 因为AB=AC, 所以∠B=∠C(等边对等角), 因为D是BC的中点, 所以BD=CD, 在△BDE和△CDF中, 所以△BDE≌△CDF(AAS), 所以DE=DF; 答案:等边对等角　AAS (2)猜想:CG=2DE, 证明:如图,连接AD, 因为AB=AC,D是BC的中点, 所以AD是∠BAC的平分线, 因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以DE=DF, 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,且AB=AC, 所以×AB·CG=×AB·DE+×AC·DF=×AB·2DE, 所以CG=2DE. 学科网（北京）股份有限公司 $$