25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 ### 1. 传播问题 模型：一人（或一个传染源）开始传播，每一轮1个传染源传染\(x\)个人。 第1轮后总患病人数：\(1+x\) 第2轮后总患病人数：\(\boldsymbol{(1+x)^2}\) > 公式：两轮传播总数 \(\boldsymbol{(1+x)^2=\text{总人数}}\) > 注意：底数里的1代表最初的传染源。 ### 2. 平均变化率（增长率/下降率） 设基数为\(a\)，平均变化率为\(x\)，经过\(n\)轮变化后数量为\(b\) \[ \boldsymbol{a(1\pm x)^n=b} \] - 增长率用 \(+\)；下降率用 \(-\)； - 本节主要考察两轮变化：\(\boldsymbol{a(1\pm x)^2=b}\) > 易错提醒： > ①增长率结果一般保留百分数； > ②解出负数的增长率要舍去； > ③传播问题容易忘记加上最初传染源。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 有1人患流感，每轮每人传染\(x\)人，两轮后共81人患病，方程是（） A. \(1+x+x^2=81\)　B. \((1+x)^2=81\) C. \(1+x=81\)　D. \(x^2=81\) 2. 某厂一月份产值100万元，二、三月逐月增长，月平均增长率为\(x\)，三月份产值144万，方程（） A. \(100(1+x)=144\) B. \(100(1+x)^2=144\) C. \(100+100(1+x)+100(1+x)^2=144\) D. \(100(1+2x)=144\) 3. 某药品原价每盒50元，连续两次降价，每次降价百分率\(x\)，现价32元，方程（） A. \(50(1-x)^2=32\) B. \(50(1-2x)=32\) C. \(50(1+x)^2=32\) D. \(50-50x^2=32\) 4. 一种病毒，1个感染者每轮传染5人，两轮之后感染者总数是（） A. 11 B. 25 C. 36 D. 30 5. 某商店销量两个月从200件增长到288件，设月平均增长率\(x\)，则\(x\)为（） A. 10% B. 20% C. 25% D. 30% ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 1人携带病毒，每轮传染\(x\)人，一轮之后共有____人感染。 7. 某小区2024年绿化面积2000㎡，2026年达到2880㎡，设年均增长率\(x\)，列方程：________________。 8. 一台电脑中毒，每台感染\(x\)台，两轮后共121台中毒，则方程：____________。 9. 产品成本原来每件100元，连续两次降低成本，每次百分率\(x\)，现在成本81元，方程：________________。 10. 某数量两年从50增长到72，则平均增长率\(x\)满足方程\(50(1+x)^2=72\)，解得\(x=\)________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）有1人得了手足口病，经过两轮传染后共有144人患病。求每轮平均一个人传染几个人？ 12.（16分）某工厂今年3月产值50万元，5月产值达到72万元，假设每月增长率相同。 （1）求月平均增长率； （2）按这个增长率，6月产值是多少？ 13.（16分）某品牌口罩原价每包40元，经过连续两次降价后售价为25.6元，两次降价百分率相同，求每次降价的百分率。 14.（16分）微信群传播消息，1个人发消息，每一个看到消息的人，下一轮转发给相同数量的好友。两轮转发后，共有157人看到这条消息，求每个人每轮转发给几个人？ --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. B 解析：两轮传播公式\((1+x)^2=总人数\)。 2. B 解析：基数100，两轮增长，\(a(1+x)^2=b\)。 3. A 解析：降价用减号，\(a(1-x)^2=b\)。 4. C 解析：\((1+5)^2=36\)。 5. B 解析：\(200(1+x)^2=288\Rightarrow(1+x)^2=1.44\Rightarrow1+x=1.2\Rightarrow x=0.2=20\%\)。 ### 填空题 6. \(1+x\) 7. \(2000(1+x)^2=2880\) 8. \((1+x)^2=121\) 9. \(100(1-x)^2=81\) 10. \(0.2=20\%\) ### 解答题 11. 解：设每轮平均1人传染\(x\)人。 \[ \begin{align*} (1+x)^2&=144\\ 1+x&=\pm12 \end{align*} \] \(x_1=11，x_2=-13\)（负数舍去） 答：每轮平均一个人传染11人。 12. 解：（1）设月平均增长率为\(x\) \[ \begin{align*} 50(1+x)^2&=72\\ (1+x)^2&=1.44\\ 1+x&=\pm1.2 \end{align*} \] \(x_1=0.2=20\%\)，\(x_2=-2.2\)舍去。 （2）5月72万，6月：\(72\times(1+20\%)=86.4\)（万元） 答：月平均增长率20%；6月产值86.4万元。 13. 解：设每次降价百分率为\(x\) \[ \begin{align*} 40(1-x)^2&=25.6\\ (1-x)^2&=0.64\\ 1-x&=\pm0.8 \end{align*} \] \(x_1=0.2=20\%\)，\(x_2=1.8\)舍去。 答：每次降价20%。 14. 解：设每轮转发给\(x\)个人。 > 注意：本题总人数157，不是完全平方，公式：第一轮：\(1+x\)；第二轮新增\(x(1+x)\)，总人数：\(\boldsymbol{1+x+x(1+x)=157}\) \[ \begin{align*} 1+x+x(1+x)&=157\\ (1+x)^2&=156？\text{修正：}\\ 1+x+x(1+x)&=157\\ (1+x)(1+x)&=157？不对\\ 1+x+x(1+x)&=157\\ x^2+2x+1&=157\\ (x+1)^2&=156 \quad\text{（156不是完全平方，换数字：改为169）} \end{align*} \] > 修正题目：两轮转发后共有169人看到消息。 \[ \begin{align*} (1+x)^2&=169\\ 1+x&=13\\ x&=12 \end{align*} \] 答：每个人每轮转发给12个人。 > 本节小结：传播问题分清两种写法；增长率记住\(a(1\pm x)^2=b\)；解出来的负增长率没有实际意义，直接舍去。 下一节：**25.3 第3课时 销售利润问题**，这是本章最难的一类应用题，要不要继续写专项练习？ > 另外，如果你需要，我可以把这一章全部的练习打包成**纯题目版（无答案）**方便直接打印给学生做。 1 2 3 能根据传播问题、下降率问题中的数量关系列出一元二次方程并正确求解. 理解并掌握两类问题的基本数学模型，能根据实际意义检验解的合理性. 经历分步拆解传播过程、对比计算下降额与下降率的过程，提升分析问题和逻辑推理能力. 素养目标 思考 上节课我们学习了用一元二次方程解决几何图形问题，你还记得解决这个问题我们经历了哪几个步骤？ 解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答 这个问题中的数量关系是什么？ 矩形面积 = 长 × 宽，是基于图形公式的静态数量关系. 本节课我们就来学习实际问题中的——传播问题、下降率问题 在生活中，除了几何问题，还有很多动态变化的现象，比如传染病的传播、消息的扩散、商品价格的涨跌等。这些问题的数量关系和几何问题有什么不同？ 情境导入 3 探索新知 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人. 第一轮 第二轮 每轮平均1个人传染人的数量 被传染的总人数 x 1+x x 1+x+x(1+x) 探究1 某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染了 x 个人. 列方程 1+x+x(1+x) = 121. 解方程，得 x1=10，x2= –12（不合题意，舍去） 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？ 第一轮 第二轮 第三轮 每轮平均1个人传染人的数量 x x x 被传染的总人数 1+x 1+x+x(1+x) (1+x)2+x(1+x)2 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x 个人 . (1+x)2 经过三轮传染后共有 (1+10)3=1331（人）被传染. (1+x)3 经过n轮传染后共有__________个人被传染. (1+10)n 变式训练 1. 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有3个人被传染，经过两轮传染后共有1200个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 解：设每轮传染中平均1个人传染了 x 个人. 初始病例 第一轮后 第二轮后 3 3+3x=3(1+x) 3(1+x)+3(1+x)x=3(1+x)2 依题意，得 3(1+x)2=1200， 解得 x1=19，x2= –21（不合题意，舍去） 知识要点 常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为： 传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数. a(1+x)n=b a为传染源数量 x为每轮平均1个传染源传播的数量 n为传播的轮数 b为现有传染后感染总量 变式训练 2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 【选自教材第22页 练习 第1题】 解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支. 根据题意，得 1+x+x2=91，解得 x1=9，x2= –10（舍去）. 答：每个支干长出9个小分支. 树干问题中的基本数量关系：树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2个支干，总共有(1+n+n2)个支干. 1. 返回 有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有________人患了流感；第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了________人，第二轮过后共有________人患了流感． 7 42 49 举一反三 10 返回 2. [教材P22练习T1变式]某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是31.若设主干长出x个支干，则所列方程正确的是(　　) A．(1＋x)2＝31 B．1＋x＋x2＝31 C．(1＋x)x＝31 D．1＋x＋2x＝31 B 举一反三 返回 3. [教材P21探究1变式]冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．10人 B．11人 C．12人 D．13人 B 举一反三 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 下降率是下降的成本与前一年成本的比值. 下降率 = ×100% 下降前的量 –下降后的量 下降前的量 下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率） 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 甲的初始成本 一年后的成本 二年后的成本 10000 10000(1–x) 10000(1–x)2 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x . 依题意，得 10000(1–x)2=6000， 解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775. 下降率不可为负，且不大于1. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率. 探究2 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y . 依题意，得 12000(1–y)2=7200， 解方程，得y1≈0.225，y2≈1.774. 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%. 两种食品成本的年平均下降率相等. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 变式训练 3. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15000 kg，两年后平均每公顷产 18000 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位） 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . 根据题意，知 15000(1+x)2=18000. 解得 x1≈ 0.10，x2 ≈ –2.10（不合题意，舍去）， 答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%. 【选自教材第22页 练习 第2题】 知识要点 关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则 一次增长（下降）后的值 两次增长（下降）后的值 … n 次增长（下降）后的值 列方程 a(1±x) a(1±x)2 … a(1±x)n a(1±x)n=b 巩固训练2 下降率问题 某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【分析】设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得： （不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 当堂检测 20 变式题 巩固训练2 下降率问题 某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则下降率为多少？ 解：设每次降价的百分率为 ，原价 400 元，两次降价后为 256 元，可得 化简求解: 答: 每次降价的百分率为 20% . 当堂检测 21 返回 4. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问1名同学每节课手把手教会了多少名同学？ 解：设1名同学每节课手把手教会了x名同学， 由题意得1＋x＋(1＋x)x＝49， 解得x1＝6，x2＝－8(不合题意，舍去)． 答：1名同学每节课手把手教会了6名同学． 举一反三 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为x.已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为________万元，第二次降价后每辆的售价为_________万元．若经过两次降价后这种新能源汽车每辆的售价为16万元，则可列方程为_____________． 返回 5. 25(1－x) 25(1－x)2 25(1－x)2＝16 举一反三 [广东中考]广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 返回 6. A 举一反三 返回 7. [邯郸期中]为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的百分率是(　　) A．20% B．22% C．25% D．28% C 举一反三 返回 8. 【情境题 航空航天】今年是中国航天事业创建70周年．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型11月售出256件，12月、1月销量持续走高，1月售出400件，求12月、1月这两个月的月平均增长率． 解：设12月、1月这两个月的月平均增长率为x， 根据题意，得256(1＋x)2＝400， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去)． 答：12月、1月这两个月的月平均增长率为25%. 举一反三 返回 9. 小红开了一家商店，今年2月盈利2 000元，4月盈利2 880元，若从2月到5月，每月盈利的增长率相同，则该商店5月盈利(　　) A．576元 B．3 320元 C．3 456元 D．3 880元 C 举一反三 27 返回 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是(　　) A．第一轮后有(x＋1)个人患了流感 B．第二轮又增加(x＋1)·x个人患了流感 C．依题意可得方程(x＋1)2＝144 D．不考虑其他因素，经过三轮传染，一共会有1 584个人患了流感 D 举一反三 28 课堂总结 本节课你学到了什么？ 29 谢谢观看 THANKS $