25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与平均变化率问题，通过传染病防护视频导入，结合合作探究、动手画传染示意图、表格梳理数量关系等支架，引导学生从实际情境抽象方程，构建知识脉络。 其亮点在于以现实问题（如传染病传播、成本变化）为载体，通过合作探究与表格分析，培养数学眼光（观察实际数量关系）、思维（推理列方程及解的检验）、语言（总结(1+x)^n与a(1±x)^n=b模型）。实例丰富如两轮传染问题及成本下降率计算，助力学生提升应用能力，教师可依托结构化流程高效教学。

人教版九年级（上） 25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题 第25章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 人教版九年级（上） 1 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(重点) 2.通过学生自主探究，会根据传播问题、平均变化率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(难点) 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 素养目标 点击视频播放→ 观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？ 复习导入 某种传染病的送染速度很快，如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人? 【合作探究1】 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 动手操作：请画出传染示意图 (设传染 x 轮). 传染原 一轮 二轮 A 1 2 x ... 1 2 x ... 1 2 x ... 1 2 x ... A 1 2 x ... 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 根据示意图，填写下列表格并作答. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1 + x = (1+x)1 1+x+x(1+x) = (1+x)2 x1 = ，x2 = 解方程，得 答：因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 10 −12 (不合题意,舍去). 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. (1 + x)2 = 121. 列方程 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 【思考】(1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 (1 + x)1 (1 + x)2 (1 + x)3 分析 3 轮传染后的人数是:(1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). (2) n 轮传染后有多少人患流感? (1 + x) + … + x(1 + x)n = (1 + x)n人 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 x1 = 11， x2 = −12 (不合题意，舍去). 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 133，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 133， 即 x2 + x −132 = 0. 解得 答：每个支干长出 11 个小分支. 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？ 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染. 2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律. 【交流讨论】 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 【练一练】1. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌. 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 60 60x 60(1 + x) 60(1 + x) 60(1 + x)x 解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则 60(1 + x)2 = 24000. ∴ x1 = 19，x2 = −21(舍去). ∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌. (2) 三轮后有益菌总数为 60×(1+19)3 = 480000 (个). 60(1 + x)2x 60(1 + x)2 60(1 + x)3 60(1 + x)2 探究点1：一元二次方程解决传播问题 新知探究 【合作探究2】 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？ 甲：(10 000 - 6000)÷2＝2000 (元)； 乙：(12 000 - 7200)÷2＝2400 (元). 问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？ 下降率 = 下降前的量−下降后的量 下降前的量 ×100% 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 请自己动手写出分析过程并尝试解答. 下降 下降 现在成本 一年前成本 两年前成本 成本价 成本价(1-下降率) 一年前成本(1-下降率) 甲 乙 10000 12000 设甲下降率 x，设乙下降率 y. 10000(1 - x) 12000(1 - y) 10000(1 - x)(1 - x) 12000(1 - y)(1 - y) 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年后甲种食品成本为 10 000(1－x)元，两年后甲种食品成本为 10 000(1－x²) 元，于是有 10 000(1－x²)＝6 000 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 12 000(1 − y) 元，两年后乙种食品成本为 12 000(1 − y)2 元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. y1≈0.225， y2≈1.775. 12 000(1 − y)2＝7 200 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 问题3 经过计算，你能得出什么结论呢? 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________. 不一定较大 降前及降后的价格 一般下降率不可为负，且不大于 1. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 例2 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 某年 一年后 二年后 1585 增长 x 增长 x 1585(1+ x) 1585(1+ x)(1+ x) 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 解：设某市的平均每年增长率为 x. 由题意，得 1585(1 + x)2 = 2180 解得 x1≈0.172 ，x2≈-2.172 (不符合题意，舍). 答：某市的平均每年增长率约为 17.2%. 总结：增长率不可为负，但可以超过 1. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 总结 平均变化率： 平均增长(或降低)百分率为 x 增长(或降低) n 次前的量是 a 增长(或降低) n 次后的量是 b 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 【练一练】2. 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x. 根据题意，得 答：这个增长率为 50%. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%. 探究点2：一元二次方程解决平均变化率问题 新知探究 传播、平均变化率问题 传播问题：(1＋x)n 平均变化率问题：a(1±x)n＝b 课堂小结 1. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有 36 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是(　C　) 甲：第 1 轮后有 (x＋1) 个人患了流感； 乙：第 2 轮又增加 x(x＋1) 个人患流感； 丙：依题意可列方程为 1＋x＋x2＝36. A. 甲错，丙对 B. 甲对，乙错 C. 甲对，丙错 D. 乙和丙都对 C 当堂反馈 书写通关 解：设 ⁠ ⁠， 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠ ⁠. 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x 200(1＋x)2＝392　 x1＝0.4，x2＝－2.4　 －2.4　 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40％ 2. 随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的 200 万元增长到今年的 392 万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率. 当堂反馈 3. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低. 2024年这种药剂价格为 200 元，2026 年该药剂价格为 98 元. (1)求 2024 年到 2026 年这种药剂价格的年平均下降率； 解：(1)设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下 降率为 x， 根据题意得 200(1－x)2＝98，解得 x1＝0.3＝30％， x2＝1.7(不符合题意，舍去). 故这种药剂价格的年平均下降率为30％. 当堂反馈 (2)若该制药厂计划2027年对此药剂按此下降率继续 降价，预计2027年该药剂的价格为多少元？为68.6元. 解：(2)98×(1－30％)＝68.6(元)， 即预计2027年该药剂的价格为68.6元. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 EV录屏3.9.3软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $