1.1 因式分解 讲义 2026-2027学年鲁教版(五四制）八年级数学上册

1.1　因式分解 知识点归纳 知识点一　因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 注意： （1）因式分解的对象是多项式，等式的左边是一个多项式，右边必须是几个整式的积的形式； （2）因式分解与整式乘法是方向相反的变形：整式乘法是把几个整式的积化为一个多项式，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积； （3）由整式乘法与因式分解的互逆关系，可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确． 知识点二　因式分解与整式乘法的关系 例如：整式乘法：；因式分解：． 二者是互为相反方向的变形，因式分解是整式乘法的逆变形． 【例1】 检验下列因式分解是否正确，并说明理由． （1）；（2）；（3）． 解：（1）因为，所以因式分解正确． （2）因为，所以因式分解正确． （3）因为，所以因式分解错误． 【总结】检验因式分解是否正确，只需把等号右边的因式相乘（即做整式乘法），看结果是否与等号左边的多项式相同；因式分解与整式乘法互为逆变形，据此可实现二者的相互转化． 知识点精练 1.(2026•山东烟台期中)下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是(　　) A. B. C. D. 2.学完因式分解后,李老师在黑板上写了4个等式: ①15x2y=3x·5xy;②(x+y)(x-y)=x2-y2;③x2-2x+1=(x-1)2;④x2-3x+1=x,其中是因式分解的有(　　) A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个 3.(2023山东烟台招远期中)对于①x-3xy=x(1-3y), ②(x+3)(x-1)=x2+2x-3从左到右的变形,表述正确的是(　　) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是乘法运算,②是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法运算 4.(2025•山东威海期末)下列因式分解错误的是(　　) A. B. C. D. 5.(2026•山东青岛期中)下列说法中正确的是(　　) A.因式分解与整式乘法是互为相反方向的变形 B.因式分解的结果一定是几个整式的和 C.单项式也能进行因式分解 D.是因式分解 6.(2025•山东德州期中)如果，那么把多项式因式分解的结果是(　　) A. B. C. D. 7.(2025•山东潍坊期中)在括号内填上适当的整式，使等式成立，则括号内应填(　　) A. B. C. D. 8.(2025•山东济南期末)若多项式可以因式分解为，则p的值为(　　) A. B. C. D. 9.(2025•山西太原期中)下列四个多项式中，不能进行因式分解的是(　　) A. B. C. D. 10.(2026•山东烟台期末)观察下列各式：①；②；③；…按此规律，若n为大于3的正整数，则第n个等式为(　　) A. B. C. D. 11.(2026•山东威海期中)在横线上填上适当的整式：______． 12.(2025•山东青岛期末)因为，由整式乘法与因式分解的互逆关系，可得=______． 13.(2025•山东泰安期中)若多项式可以因式分解为，则p的值为______． 14.(2025•山东东营期中)已知多项式A可以因式分解为，则A=______． 15.(2025•山东日照期中)下列变形：①；②；③；④．其中属于因式分解的是______（填序号）． 16.(2025•山东临沂期中)请写出一个多项式，使它的因式分解结果恰好为，则这个多项式可以是______． 17.(2025•山东聊城期中)用整式乘法检验下列因式分解是否正确，并把错误的改正过来： （1）； （2）； （3）． 18.(2025•山东济宁期中)指出下列各式从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？并说明理由： （1）； （2）； （3）； （4）． 19.(2025•山东菏泽期中)先计算：（1）；（2）． 再利用整式乘法与因式分解的互逆关系，直接写出下列多项式的因式分解结果：（3）；（4）． 20. (2026•山东青岛期末)是否存在常数m，使得多项式可以因式分解为（n为整式）的形式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 21.分解因式与整式乘法是相反的变形,如: (x-1)2=x2-2x+1是整式乘法运算,相反变形后,x2-2x+1=(x-1)2是多项式的因式分解. (1)计算并观察下列各式: (x-1)(x+1)=　　　　,  (x-1)(x2+x+1)=　　　　,  (x-1)(x3+x2+x+1)=　　　　;  (2)从上面的算式及计算结果中,你发现了什么?请根据你发现的规律直接填空: (x-1)(　　　　　　　　　　)=x6-1;  (3)利用你发现的规律计算: (x-1)(xm+xm-1+xm-2+xm-3+…+x+1)=　　　　;  (4)请结合上面的规律分解因式:x8-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案： 1.B　解析：A是整式乘法；B把多项式化成了两个整式的积的形式，是因式分解；C的右边不是几个整式的积的形式；D是整式乘法且变形错误．故选B. 2.B　解析：①中等号左边不是多项式;②是整式的乘法;④中等号右边的不是整式;③是因式分解.故选B. 3.D　解析：①x-3xy=x(1-3y),从左到右的变形是因式分解;②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形是整式的乘法.故选D. 4.C　解析：，故C错误；A、B、D的变形都正确．故选C. 5.A　解析：因式分解的结果是几个整式的积，不是和，故B错误；单项式不能进行因式分解，故C错误；是整式乘法，故D错误．故选A. 6.A　解析：整式乘法与因式分解互为逆变形，由可知．故选A. 7.A　解析：因为，所以括号内应填．故选A. 8.A　解析：因为，所以p的值为．故选A. 9.C　解析：，，，都能进行因式分解；而不能化成几个整式的积的形式，不能进行因式分解．故选C. 10.A　解析：每个等式的左边都是减去一个正整数的平方，右边是两个整式的积，这两个整式分别是x与这个正整数的和及它们的差，所以第n个等式为．故选A. 11.　解析：因为，所以横线上应填． 12.　解析：因式分解与整式乘法互为逆变形，把等式反过来写即可． 13.5　解析：因为，所以p的值为5． 14.　解析：A=． 15.①③④　解析：①③④的右边都是几个整式的积的形式，属于因式分解；②是整式乘法． 16.如　解析：因为，所以这个多项式可以是（答案不唯一）． 17.解：（1），因式分解正确；（2），因式分解正确；（3），因式分解错误，应为． 18.解：（1）（3）是整式乘法，它们把几个整式的积化成了一个多项式；（2）（4）是因式分解，它们把多项式化成了几个整式的积的形式． 19.解：（1）；（2）；（3）；（4）． 20.解：存在．因为，所以，所以或．当时，；当时，．所以m的值为8或-8． 21.解：(1)x2-1;x3-1;x4-1. (2)x5+x4+x3+x2+x+1. (3)xm+1-1. (4)x8-1=(x-1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1). 学科网（北京）股份有限公司 $