第三讲 幂的运算讲义 2026-2027学年华东师大版八年级上册数学专题复习

第三讲 幂的运算 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 2.幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 整理如下： 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 (m、n是正整数)； a可以多项式 幂的乘方 (m、n是正整数) 积的乘方 (n是正整数) 同底数幂的除法 (m、n是正整数，m >n) 方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 题型一：幂的混合运算 例1． 计算：． 【详解】解： ． 例2． 计算：． 【分析】先计算积的乘方，同底数幂的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 变式练习 1．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (4) ； (6)． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ． 2．计算： (1) (2) (1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 3．计算： (1) (2) (1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，单项式乘以单项式和单项式除以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1) (2) (1)； (2) 【分析】（1）根据同底数幂相乘、积的乘方计算各项，再合并同类项即可； （2）根据零指数幂、负整指数幂和乘方计算各项，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)a3·a·（－a） (2) (3)8×4n÷2n－1 (4) (1)(2)(3)(4) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法的运算法则计算即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法运算法则计算即可； （3）逆用幂的乘方将原式化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法和除法运算法则计算即可； （4）依次化简乘方、负指数幂、零指数幂，再计算即可． 【详解】（1）解： 原式= = （2）解： 原式= = （3）解： 原式= = = （4）解： 原式= = 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、负指数幂和零指数幂．熟练掌握各项运算法则时本题的关键． 题型二：利用幂的运算及逆用比较大小 例1．阅读下面材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且即 解：且即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较和的大小； (2)比较和的大小． (1) (2) 【分析】（1）观察与，两个幂底数、指数都不同，先把转化为以2为底的幂，化为同底数幂，再比较指数大小判断幂的大小． （2）观察，和，三个幂底数、指数都不同，找到指数20、15、10的最大公因数5，将三个幂都转化为指数是5的幂，化为同指数幂，再比较底数大小判断幂的大小． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，，，， ， ． 变式练习 1．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． (1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义比较即可． （2）先把与化成同指数，不同底数的两个幂比较即可． （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． （2）解：，，因，故． （3）解：，故． 2． 设，，为了比较与的大小，小明想到了如下方法：，即25个16相乘的积；，即25个27相乘的积，显然，现在设，，请你用小明的方法比较与的大小． x<y 【分析】根据x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110，判断出x、y的大小关系即可． 【详解】解：x=430=（43）10=6410，y=340=（34）10=8110， ∵64<81， ∴6410<8110， ∴x<y． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方的逆用，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（am）n=amn（m，n是正整数）． 3．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． (1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 题型三：利用幂的运算及逆用简便运算 例1． 用简便方法计算：（结果用科学记数法表示） 【分析】根据题意先将原式化为指数相同的数的乘积，然后进行计算即可求解． 【详解】解： ． 例2．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1) 计算：①； ②； (2) 若，请求出n的值． (1)①；② (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键． （1）①直接逆用积的乘方法则计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （2）先利用幂的乘方法则变形，再利用同底数幂的乘法法则计算，进而可求出n的值． 【详解】（1）①； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 变式练习 1．下图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的解题方法解答问题． 计算：． 解：． 计算： (1) ． (2)． (1) (2) 【分析】本题侧重考查积的乘方，掌握其乘法法则是解题关键． （1）利用积的乘方的逆运算即可得答案； （2）将指数化为相同，利用积的乘方的逆运算即可得答案． 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 2．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2) 【拓展】若，求n的值． (1)①1，② (2)3 【分析】（1）①利用积的乘方法则的逆运算解答即可；②将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将等式左边化为以2为底的幂的形式，然后根据同底数幂相等的性质列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2）解：∵ ∴， ∴， 解得． 3．计算： (1) (2) (1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方逆用，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用积的乘方法则进行计算即可； （2）先根据幂的乘方运算法则进行化简，然后逆用积的乘方运算法则进行计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式= 4．计算： (1)； (2) (3) ； (4)． (1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用、同底数幂的乘法与逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方的逆用计算即可得； （2）根据积的乘方的逆用计算即可得； （3）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得； （4）先计算积的乘方的逆用，再计算同底数幂的乘法，然后计算积的乘方与幂的乘方即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 ． 题型四：利用幂的运算及逆用求式子的值 例1． 已知，，求和的值． ； 【详解】解：∵，， ∴；． 变式练习 1． 已知：，，求、的值． ， 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方，对式子进行变形得到，，代入计算即可得解，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，． 2． 已知，，求的值． 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴====576． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则． 3． 已知xm=5，xn=7，求x2m+n的值． 【详解】试题分析：逆用同底数幂的乘法法则计算即可. 试题解析： ∵xm=5，xn=7， ∴x2m+n=xm•xm•xn=5×5×7=175． 点睛：本题考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，解决本题的关键是会正确运用同底数幂的乘法法则． 4． 已知=2, =4,求以及的值. 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及结合幂的乘方运算法则化简求出答案． 【详解】解：∵xa=2，xb=4， ∴x3a+b=（xa）3×xb =23×4=32； xa-3b=xa÷（xb）3 =2÷64 =． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则，熟悉掌握是关键. 题型五：先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算 例1．按要求解答下列问题： (1)已知，求的值 (2)已知，则的值 (3)若，求的值 (1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ，解得． 变式练习 1．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； (1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法的逆运算，将所求式子变形后代入已知条件计算即可； （2）先将等式左边所有项化为底数为的幂，再根据同底数幂乘法法则计算，利用底数相等时幂相等则指数相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得． 2．计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． (1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 3．（1）已知，，求 ①的值； ②的值 （2） 已知，求x的值． （1）6；；（2）9 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 4．（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值． （1）；（2）8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法和幂的乘方逆运算计算； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算． 【详解】解：（1），， ； （2）， ， ， ， ． 5．已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，求的值； (3)若，求的值． (1) (2) (3) 【分析】（1）利用，即可作答； （2）将等式两边都化为以2为底数的幂，问题即可得解； （3）等式左边逆用积的乘方，将其化为底数为15的幂，问题即可得解． 【详解】（1）解：，即； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ∴， 解得：． 6．（1）已知8·22m-1·23m=217，求m的值 （2）已知ax+2·a5+2x=a16，求3x-1的值 （3）已知a3·am·a2m+1等于a25，求m的值 （1）m=3；（2）8；（3）m=7. 【分析】（1）首先将其变形为同底数幂相乘的形式，接下来利用同底数幂的乘法法则进行解答即可； （2）与（3），直接利用同底数幂的乘法法则将原式变形即可进行解答. 【详解】1）8·22m-1·23m====, 所以5m+2=17 解得m=3； （2）∵==, ∴3x+7=16  解得x=3， ∴3x-1=33-1=8； （3）∵==, ∴3m+4=25  解得m=7. 故答案为（1）m=3；（2）8；（3）m=7. 【点睛】本题考查同底数幂的乘法. ，解体的关键是掌握同底数幂的乘法法则. 例2．将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． (1) (2) (3)14 (4) 【分析】（1）逆用同底数幂的除法即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． （3）由已知等式得到，将所求代数式变形，代入计算即可； （4）将72变形，根据幂的乘方逆运算变形计算即可 【详解】（1）解：∵ ，， ； （2）解：， ， ． （3）解：∵， ∴ ∴ （4）解：∵，，， ∴ ， ∴ 变式练习 1．已知，，． (1)求的值； (2)求字母，，之间的数量关系． (1)4 (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，准确计算是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算，把转化成，再根据幂的乘方计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，得到，即可得解． 【详解】（1），， ． （2），，， ， ， ． 2．已知：，，． (1)求的值； (2) 、、之间的数量关系为 ． (1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除法， （1）根据同底数幂的除法进行解答即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方可得，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴． 故答案为：． 3．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ (1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解； （2）根据同底数幂乘法的逆运算求解； （3）观察（1）（2）结论可直接得出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解：由（1）（2）知， ． 4．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母、、之间的数量关系为________． (1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法， （1）根据幂的乘方直接解答即可； （2）根据同底数幂的除法进行解答即可； （3）根据同底数幂的除法求出，再和（2）的结论进行对比即可得出结论； 熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴字母a、b、c之间的数量关系为：． 故答案为：． 5．按要求完成以下问题： (1)若，写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，写出、、之间的数量关系，并说明理由． (1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则可得，即可求解； （2）根据幂的乘方、积的乘方逆用得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下． ， ． ． ． （2）解：，理由如下： ， ， ． ， ． ． 例3．若，，为正整数则．利用这个结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． (1) (2) (3) 【分析】本题此题考查整式的乘法公式，同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，同底数幂的乘除，利用结论进行求解即可； （2）利用积的乘方逆运算解答； （3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ， ， ； （3），， ∴，， ∴， ∴． 变式练习 1．若都是正整数)，则，利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值； （3）若，用含的代数式表示． （1）；（2）；（3）． 【分析】(1)将看成，然后再使用同底数幂相乘，指数不变，底数相加即可得到答案； (2)将和分别看成和，然后再使用同底数幂的乘、除运算法则即可得到答案； (3)对第一个等式移项得到，再将第二个等式中的看成是，再利用幂的乘法运算法则即可得到答案. 【详解】解：(1)∵ , 故答案为：2. (2) ∴ . 故答案为：4. (3) ． 故答案为：. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘、除法运算法则、幂的乘方的逆运算等知识，熟练的掌握公式及其它的逆向变形是解决此类问题的关键. 2．若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． (1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含的代数式表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将式子变形得，再对应相等即可求解； （2）将变形为，继而得到，即可求解； （3）根据题干可得，再化简得，将代入即可求解． 【详解】（1）， ， 解得． （2）， ， ， ， ． （3）， ． ， ． 3．在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． ．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先将转化为以为底的幂，再根据幂运算中“若（且，、是正整数），则”的结论列方程求解． （2）利用同底数幂的运算法则，将和变形，提取公因式后求解． （3）把转化为，再结合用含的式子表示，进而代入的表达式进行转化． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即． 根据（且，、是正整数），则， ∴， 解得． （2）解：∵，． ∴． ∵， ∴，，，， ∴． （3）解：∵， ， ∴． 又∵， ∴把代入，得． 【点睛】本题主要考查了幂的运算相关知识，包括幂的乘方、同底数幂的运算以及代数式的变形，熟练掌握幂的运算法则和代数式的转化方法是解题的关键． 4．若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． (1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．【中档】若且，m、n是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，用含x的代数式表示y，则 ． (1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：，即可得出，再根据已知，由此可得：，得出，解方程即可得出x的值； （2）将变形为：，即，即可得出，即可得出答案； （3）由，可得，把代入y即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：已知， ∵ ， ∴， 故答案为：． 题型六：利用幂的运算及逆用求解新定义型问题 例1．对于两个正数，，其中，如果，那么可将指数记作， 即．例如：，则． (1)填空：_______；_______； (2)，，且，求的值； (3)，，求的值． (1)3；1 (2)125 (3)2026 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义，结合同底数幂的乘法法则进行计算即可； （3）根据新定义得到，，进而得到，得到，代入，推出，整体代入法求出代数式的值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴；； （2）解：由题意，， ∵， ∴； （3）解：由题意，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 变式练习 1．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． (1)4；64； (2)60； (3)①；②． 【分析】（1）根据规定即可求得答案； （2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案； （3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案； ②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空：________，________； (2)已知，则________． (3)已知，，求的值； (4)[说理]记，，．试说明：； (1)3，2 (2) (3)4 (4)解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算法则及平方根求解； （3）先根据规定的运算法则求出a，b，进而可求； （4）根据规定的运算可得，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：， ， 解得； （3）解：，， ，， 则，， ， ； （4）略 例2．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2) ___________． (3)计算：． (1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据对数的定义得，结合底数的取值范围即可求得结果；、 （2）解法一：根据题目中提供的对数的性质进行计算即可； 解法二：设，利用对数的定义、幂的性质即可求得x的值； （3）逆用对数的性质：，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ∴， ∴或（负数舍去）， 故； （2）解：解法一：； 解法二：设，则， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点． 变式练习 1．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，． (1)解方程：． (2)______． (3)计算：． (1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． （3）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）， 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握其运算法则解题的关键． 2． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． (1)1；4 (2)29 (3) 不正确，理由如下： 设，， 则，（，，，）， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）利用阅读材料中的方法计算各项即可得到结果； （2）根据新运算的定义将已知转化为，然后解方程即可得出答案； （3）设，，根据同底数幂的乘法的运算性质和新运算的定义整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题立意比较新颖，根据题中条件计算并且推算出对数运算的法则，考查了学生的举一反三的能力和对新知识的掌握，属于基础题．结合已有知识读懂新运算的定义是解决此题的关键． 3．我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果（，，），则叫做以为底的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以 请同学们利用上面的对数运算的方法，完成下列各题： （1）填空：__________，__________； （2）如果，求的值． （1）1，2；（2）10． 【分析】（1）根据定义分别计算61＝6，62＝36，即可得到答案； （2）根据定义列得方程，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）∵61＝6，62＝36， ∴log66＝1，log636＝2， 故答案为：1，2； （2）∵log2（m﹣2）＝3， ∴23＝m﹣2， 解得：m＝10． 【点睛】此题考查新定义运算，正确理解新定义的计算方法，能根据新定义进行列式或是列方法解题是关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第三讲 幂的运算 1.同底数幂的乘法 (1)同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. d".d=dm+n(m,n是正整数) (2)推广：dm·dl=dt+p(m,n,p都是正整数) 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，(b)3与 (ab2)4,(x-y)2与(x-y)3等；②a可以是单项式，也可以是多项式：③按照运算 性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加 2.幂的乘方与积的乘方 (1)幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。 (dm)n=dm(m,n是正整数) 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数：②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘 方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别 (2)积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (b)n=d(n是正整数) 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用：②运用时数字因数的乘方应根 据乘方的意义，计算出最后的结果， 3.同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减 dm÷a=dm(a≠0，m,n是正整数，m>n) ①底数a≠0，因为0不能做除数： ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0： ③应用同底数幂除法的法则时，底数α可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是 什么，指数是什么， 整理如下： 知识要点 主要内容 友情提示 同底数幂相乘 am·a”=am+n (m、n是正整 a可以多项式 数)： 幂的乘方 (a")”=am (m、n是正整数) (a")"=(a")m=amn 积的乘方 (ab)”=a"b” (n是正整数) (a")”=(ab)” 同底数幂的除法 am ? 三am-n am÷a”≠am*n (m、n是正整数，m>nm) 方法归纳 注意各运算的意义，合理选用公式 注意：零指数幂的意义“任何不等于0的数的0次幂都等于1”和负指数幂的意义“任何不 等于0的数的负次幂等于它正次幂的倒数” 题型一：幂的混合运算 a3…a+(-2a2)2+a8÷a2 例1.计算： 2.计算：（d+2c-(←a(-a-(a) 变式练习 1.计算： a-d÷d: 2(刘°÷(x刘（←x3 3)27x÷3x: a-12mn）÷4nr 2 4(6ryz2÷4xy; l6（-6a2bc)÷(-2ab2} 2.计算： aaa+(2cy-(-a÷(a}22(a'-2.a°+(-2ay÷a2 3.计算： )(x3(-x)x 22xy°(-7y）÷21xy 4.计算： a)a.d-a+d+2a)月 aa+2027-{⑤+- 5.计算： (1)cd（-a) 2÷y 3 (3)8×4÷2-1 a-m+2-（)+(r-314 题型二：利用幂的运算及逆用比较大小 例1.阅读下面材料： 材料一：比较2°和82 材料二：比较32和 的大小. 4的大小. 解： 解：8=(2)=26 :4"=(2"=2”且 且8>6.28>2，即 28>82 3>2,.32>22,即 322>4" 小结：底数相同的情 小结：指数相同的情 况下，通过比较指数 况下，通过比较底数 的大小，来确定两个 的大小，来确定两个 幂的大小 幂的大小 解决下列问题： (1)比较20和40的大小； (2)比较32”，4和5°的大小. 变式练习 1.阅读：已知正整数a,b,c,若对于同底数，不同指数的两个幂ad和a(a≠1)，当 b>c时，则有 >“:若对于同指数，不同底数的两个幂“和C,当>C时，则有 °>a a>c ·根据上述材料，回答下列问题.[注：(2)，(3)写出比较的具体过程] 720 42056 134 (1)比较大小： (填>”) (2)比较42与3的大小. 3)比较35×5与3×55的大小. 2.设m=2,n=35,为了比较m与n的大小，小明想到了如下方法： m=2-(2°-16，即25个16相聚的积，”=3”=（户=27，即25个27相的积， 5 显然m<”,现在设=4”，y=3 ,请你用小明的方法比较与的大小. 3.阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较32和4"的大小. 解：·4"=(2)”=22 且3>2 32>22，即32>4 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较2和82的大小 解：：8=-(2)=2，且8>6， .28>26,即28>82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较4”52的大小（填“>”或者“<”）： (2)已知a=2,b=3,比较a、b的大小； (3)比较32×5°与3°×5”的大小. 6 题型三：利用幂的运算及逆用简便运算 例1.用简便方法计算： (结果用科学记数法表示) 例2.下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题. 东东的作业 45×(-0.255 计算： 解：原式=（←4x0.2=(←)=-1 (1)计算：①82023×(-0.125)223： (2)若3×9”×81”=35，请求出n的值. 7 变式练习 1.下图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的解题方法解答问题. 计算：（4)x0.25 解：（47×0.25=(4x0.25=(1y=-1 计算： (1)82025×(-0.125)2025」 彩 2.材料阅读题， 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算：（4)？×0.257 解：（4)'×0.25’=(4×0,25 =(（-1 =-1 (1)【计算】 ×2 8 6 oou‘o}回 @ :SZ0×g(t) 点1b （货elg-k2风 （0Ixz-) 点1‘e “㔉明u￥‘=9b乙某【汹啡】（亿） 题型四：利用幂的运算及逆用求式子的值 例1.己知a"=4,a”=2,求a"和a2m的值. 变式练习 1.已知：x=3,x=2,求x3m+2m、xm2"的值. 2.己知a”=3,a°=4，求a2mt3"的值. 3.已知xm=5,x”=7,求X2m+"的值. 10 4已”女4状产以及”的 题型五：先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算 例1.按要求解答下列问题： m=2,5”=4 25m+n (1)已知 ,求 的值 "=2,a”=3 (2)已知 q2m-3n ,则“的值 (3)若32.92a1÷27=81,求a的值 变式练习 1.根据已知求值： (1)已知a"=4,d=6,求am+"的值： 2)已知32×9×81=32，求m的值； 11 2.计算： (1)已知a"=3,a”=4,求代数式a+"的值： (2)已知2×41×8=26，求x的值. 3.(1)已知a"=2,a”=3,求 ①am+"的值； ②a3m-2m的值 (2)已知3×9×27=32，求x的值. 4.(1)己知a"=3,a”=2,求am-2"的值. (2)已知2×4×16=22，求x的值. 12 5.已知：若a”=a”(a>0且a≠1)，则m=n,利用这个结论解答下列问题： (1)若3”=27，则m=_: (2)若8”×2°=4m,求n的值： (3)若32×52x=15x+3,求x的值. 6.(1)已知8-22m1.23m=27,求m的值 (2)已知a2a52x=a6,求3x-1的值 (3)已知a3ama2m1等于a5,求m的值 例2.将幂的运算逆向思维可得a”=a÷d,a“=(a,ab=(ab)八，在解题过程中， 根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获 13 解. (1)若2”=3,2”=5，求2m-"的值： 2)若2×4×8*=22，求x的值： (3)若x+2y-4=0,求4y×2-2的值： (4)若3°=2,3=72,3=3，直接写出a,b,c之间的数量关系. 变式练习 1.已知3°=2,3=5,3=20」 (1)求9°的值： (2)求字母a,b,c之间的数量关系. 14 2.已知：5°=2,5=6,5=48 (1)求52a-的值： (2)a、b、c之间的数量关系为 3.已知m=4,m°=16，m=8. (1)求m2的值. (2)求m的值. (3)直接写出a,b,c之间的数量关系： 4.已知50=2,5=6,5=48. (1)求5的值： (2)求5-2的值： (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 15 5.按要求完成以下问题： (1)若2÷2=2×2，写出a、b、c之间的数量关系，并说明理由： (2)已 3=a,7=6,21=C,写出4、6、C之间的数量关系，并说明理由. a=(a>0,a≠)，m,n为正整数则m=n.利用这个结论解决下面的问题： 例3.若 (1)如果2÷816=2°，求x的值： (2)如果5+3+51=3250，求x的值： 3)若x=5m-3y=4-25m ,用含x的代数式表示y. 16 变式练习 am=a"(a>0,a≠1，mn 1.若 都是正整数，则m=”,利用上面结论解决下面的问恩： (1)如果2.2=32，求x的值； (2)如果2÷816=2，求x的值： (3)若术=5-2，y=3-25 ,用含”的代数式表示’. 2.若a”=a”(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n,利用上面结论解决下面的问题： (1)如果8=2，求x的值： (2)如果2x+2+21=24,求x的值： 17 3)若x=5”-3y=4-25 用含”的式子表示 3.在幂的运算中规定：若a=a'(a>0且a≠1，x、y是正整数)，则x=y.利用上面 结论解答下列问题： (1)若125*=5，求x的值： (2)若31-3-24，求x的值： (3)若m=2+3,n=4+2,用含的代数式表示n. 4.若a"=a”(a>0且a≠1，m、n是正整数)，则m=n.利用上面结论解决下面的问 题： (1)若2×8×16=26，求x的值. 18 (2)若x=7”+2.y=49-4 用含无的代数式表示。 5。【中档】者“=0(a>0)且a≠，、n是正整数，则m=,利用上面结论解决下面 的问题： (1)如果2÷8？6=2，求x的值； (2)若3-3“=162，求x的值： 3)若x=5,=4-25",用含x的代数式表示y,则y=」 题型六：利用幂的运算及逆用求解新定义型问题 例1。对于两个正数”.6，其中a1,如果心=b,那么可将指数C记作 L(a,b) 即a,)=c.例如：3=81，则(3,8)=4 L(2,8)=L(5,5)= (1)填空： 2(5,m,(5,列=”，且m+n=3,求的值： a2(2,20)=a.L(5,20)=b ,求a+2b-ab+2026的值. 19 变式练习 1.如哭=y,那么我们规定：小”.例如：因为4=16，所以416=2 216:若2川=6，则y=一： 2已，2]a,(任b,4列c,若a+b=c,求y的值 若51=a,(a,15]=6,令1=2 a+b 250 ①求27的值： ②求t的值. 2.如果-y,那么我们规定x列=”.例如：因为32=9，所3,9)=2 (a儿理解根据上述规定，填空：(2,8) （-5,25)= (2)已知 x,16)=2 则= 已知4)=2,68)=3，求么回的值： ，求 4说理定412)=a,(45)=h,(460）=C.试说明：a+b=c。 20 nd=N(a>0na≠) 例2.对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果 且 ,那 ,例如：子=9，则e,9=2. x=log N 么数x叫做以a为底N的对数，记作： ,其中 a=10 的对数叫做常用对数，此时 ”可记为.当>0，且a1,M>0N0 logioN IgN 时， log (M ?N)=log M+log N l0g.4=2 (1)解方程： 10g48= (2) (3)计算：1g2+1g5-2021 变式练习 1.对激运算是高中常用的一种重要运统，它的定义为：如果=Na>0,且“≠)，那么 数叫做以“为底的对数，记作： x=log N ，例如： 32=910g9=2 ,则 ’其中0=10 21 logioN 的对数叫做常用对数，此时 可记为 gW.当a>0,且a1,M>0,N>0时 时， log (M.N)=log M+log N log,4=2 (1)解方程： l0g28= (2) (3)计算：lg2+lg5-2021 2.阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种 新的运算，即对数运算 定义：如果“=N<a>0,a,N>0,则b叫做以a为底N的对数，记作k loga N=b 例如：因为5=125，所以 l0g125=3 =3:因为=121，所以 0g1121=2 1og66= 10g381= (1)填空： 2)如果1og(m-2)=3,求m的值. 3)对于“对数”运算，小明同学认为有“log。M=log。Mlog。N(a>0,a≠1，M>0, N>0)”,他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由， 并加以改正. 22 3.我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算.定义： 如果=W(a>0,a1,V>0),则°叫做以“为底V的对数，记作g。N=b, ,例如： 因为5=125.所以2e,23=3,因为P=121.所以 l0g11121=2 请同学们利用上面的对数运算的方法，完成下列各题： 10g66= 1og636= (1)填空： (2)如果g,(m-2)=3 求m的值. 23