精品解析：陕西西安市灞桥区西安市国际港务区铁一陆港学校2026-2027学年度第一学期八年级第一次学情自测数学试题

【初2028届】2026-2027学年度第一学期第一次学科成长足迹梳理 数学 （总分：100分+20分 时间：100分钟） 第一部分 必备能力（100分） 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，1， C. ，， D. 8，15，17 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（　　） A. ﹣2 B. 8 C. 2或8 D. ﹣2或8 9. 下列说法正确的是（ ） A. 无理数一定是无限不循环小数 B. 无限小数都是无理数 C. 带根号的数一定是无理数 D. 实数分为正实数和负实数 10. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 16的平方根是___________． 12. 比较大小：____． 13. 点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为_____． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 15. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：___________． 16. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ______． 三、解答题（共7道小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 18. 已知，如图，直线与直线相交于点B，点D是直线上一点，在直线上作点E，使点E到B、D两点的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为___________； （3）求的面积． 20. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 21. 已知的立方根是2，b是的整数部分，的小数部分为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）求的值． 22. 已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为，轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 23. 阅读并解答问题： ； ； ； …… 上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题： （1）将的分母有理化； （2）已知，，求的值； （3）计算． 第二部分 能力提升 四、能力提升题（共4道小题，前3题每小题4分，第4题8分，共20分） 24. 若，则___________． 25. 如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A. B. C. D. 26. 如图，四边形是长方形，，．点在上运动，点在上，，连接、，则的最小值为___________． 27. 探究下列问题： （1）如图，已知中，D是上的点，，则___________． （2）如图，四边形中，，，，，求的面积． （3）如图，长方形中，，，点E是上的点，，点F在上，且，是的中点，N是上的动点，E、G两点关于对称，的面积是否存在最大值？若存在，请求出当面积最大时的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【初2028届】2026-2027学年度第一学期第一次学科成长足迹梳理 数学 （总分：100分+20分 时间：100分钟） 第一部分 必备能力（100分） 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是分数，不符合题意； C、是有限小数，不符合题意； D、是整数，不符合题意． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，1， C. ，， D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数需为正整数，可先排除非正整数选项，再验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A选项的数均为分数，B、C选项含无理数，均不是正整数，不是勾股数； D选项中8,15,17均为正整数，且，是勾股数． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项， 与不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意； B选项，，计算错误，不符合题意； C选项，，计算错误，不符合题意； D选项，，计算正确，符合题意． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，通过比较平方数的大小确定的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 的值在3和4之间． 5. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为（﹣3，2），−3＜0， 2＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特点，解决本题的关键是准确掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的特点． 6. 如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； 由作图方法可得， ∵点B表示的数为2，且点A在点B的左侧， ∴． 7. 如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用网格计算出的面积，再根据勾股定理求出边长，根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：， ， 边上的高的长度为：， 故选A． 【点睛】本题考查利用网格计算三角形的面积，勾股定理，解题的关键是计算出的面积． 8. 在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（　　） A. ﹣2 B. 8 C. 2或8 D. ﹣2或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，可得，由此求解即可． 【详解】解：∵点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5， ∴， ∴或， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 无理数一定是无限不循环小数 B. 无限小数都是无理数 C. 带根号的数一定是无理数 D. 实数分为正实数和负实数 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴A选项说法正确； ∵无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴B选项说法错误； ∵举例，是有理数， ∴C选项说法错误； ∵实数分为正实数、0、负实数， ∴D选项说法错误 10. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 16的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ 的平方根是． 12. 比较大小：____． 【答案】##小于 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握比较大小的运算法则进行解题．根据二次根式比较大小的运算法则，即可得到答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； 13. 点P在第四象限，且点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5，那么点P的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了点到坐标轴的距离，每个象限点的坐标特征，第四象限点的坐标的符号特征，根据点到坐标轴的距离确定坐标值． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是5， ∴，， 因为点P在第四象限， 所以，， 因此，． 故点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 15. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置得出，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，则， ∴ ． 16. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是， 故答案为：． 三、解答题（共7道小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或． 18. 已知，如图，直线与直线相交于点B，点D是直线上一点，在直线上作点E，使点E到B、D两点的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交直线于点E即可. 【详解】略 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为___________； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）的面积为5 【解析】 【分析】（1）先根据给定的坐标在平面直角坐标系中准确描绘出点，再连接成三角形； （2）依据点关于y轴对称的坐标变换规律求出点D坐标； （3）先通过两点间距离公式求出三角形三边长度，再用勾股定理逆定理判断三角形形状，最后根据直角三角形面积公式计算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点坐标关于y轴对称的变换规律是横坐标互为相反数，纵坐标相同．因为点，那么点D与点C关于y轴对称时，点D的横坐标为，纵坐标不变仍为2，所以点D的坐标为． 【小问3详解】 首先根据两点之间的距离公式来求三角形三边的长度： 的长度为， 的长度为， 的长度为． 根据勾股定理的逆定理，若，，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形．通过计算发现，因此是直角三角形，且． 根据直角三角形的面积公式计算面积： ． 20. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 已知的立方根是2，b是的整数部分，的小数部分为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）求的值． 【答案】（1），， （2）的值为 【解析】 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根，无理数的估算求解即可； （2）先求出的值，再将a、b、的值代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是2， ∴， ， 解得； ，，且， ，即， ∴的整数部分为4，即； ，，且， ，即． ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 将a，b，代入原式得， ． 22. 已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在y轴上； （2）点Q的坐标为，轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【答案】（1）（0，12） （2） （3）（－12，－12）或（－4，4） 【解析】 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0建立关于a的方程进行求解即可； （2）根据点Q的坐标为，直线轴，即可得到点P的纵坐标为5，由此求解即可； （3）由点到x轴，y轴的距离相等，得到，由此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为（0，12）； 【小问2详解】 解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴点P的纵坐标为5， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：点到x轴，y轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，， ∴点P的坐标为（－12，－12）， 当当时，，， ∴点P的坐标为（－4，4）， 综上所述，点P的坐标为（－12，－12）或（－4，4）． 【点睛】本题主要考查了y轴上点的坐标特征，坐标与图形，点到坐标轴的距离，熟知相关知识是解题的关键． 23. 阅读并解答问题： ； ； ； …… 上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题： （1）将的分母有理化； （2）已知，，求的值； （3）计算． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照资料中分母有理化的方法即可求解； （2）仿照资料中分母有理化的方法分别计算出的值，再的值即可； （3）仿照资料中分母有理化的方法将代数式化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：，， ∴． 【小问3详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，分母有理化的计算方法，掌握二次根式性质，分母有理化的计算方法是解题的关键． 第二部分 能力提升 四、能力提升题（共4道小题，前3题每小题4分，第4题8分，共20分） 24. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数均为，分别求出，，的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，，且 ∴每个非负数都为， 可得方程组： 解得，，， ∴． 25. 如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 26. 如图，四边形是长方形，，．点在上运动，点在上，，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设，则，，然后得到，设，，，则，由将军饮马模型知，． 【详解】解：设，则，，其中， 设，，， 则， 设关于轴的对称点为，建立如图所示的平面直角坐标系： ． 27. 探究下列问题： （1）如图，已知中，D是上的点，，则___________． （2）如图，四边形中，，，，，求的面积． （3）如图，长方形中，，，点E是上的点，，点F在上，且，是的中点，N是上的动点，E、G两点关于对称，的面积是否存在最大值？若存在，请求出当面积最大时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）18 （3）的面积存在最大值，当的面积最大时，的长度为 【解析】 【分析】（1）先得出，，再根据三角形的内角和定理求解即可； （2）得出的面积与的面积相等，由此即可得； （3）连接，先得出，进而得出，再得出当时，的面积最大，进而得出，，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴到的距离与点到的距离相等， ∴（同底等高）． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵在长方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵两点关于对称， ∴，， 同（1）可知，，即， ∴， 同（2）可知，， 又∵是的中点， ∴， ∴， 设，， 在中，，即， ∵（当且仅当时，等号成立）， ∴， ∴（当且仅当时，等号成立）， 即当时，的面积最大， ∴此时， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积存在最大值，当面积最大时，的长度为． 【点睛】本题的难点在于将的面积转化为的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $