广东广州市实验外语学校2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学9月月考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】， 的虚部是故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由得，解得. ∴，所以. 3．设向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 所以是的充要条件. 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，且，故为的中位线， 所以，同理可得， 因为四边形是边长为的正方形，故， 所以是边长为的等边三角形， 设，由正四棱锥的结构可知：平面，且， 故正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 5. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】单次摸球中奖的概率， 由于每次摸球后放回，三次摸球为独立重复试验， 所以摸球三次仅中奖两次的概率为： .  6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】设， 因在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，. ， 为使在上单调递减，则； 注意到均在上单调递减，则在上单调递减； . 综上可得：. 故选：D 7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） 【答案】B 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为，故B正确. 8. 已知，，则的最小值为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【详解】因为， 设，，， 由，， 得点，在以为圆心，10为半径的圆上， 点，在以为圆心，1为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则的最小值为：． 故选：． 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【答案】AD 【详解】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ， 又由双曲线渐近线为，得 ​，即， 代入，得， 因此双曲线的方程为，故A正确； 离心率，故B不正确； 到直线的距离： ，故C错误； 由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得， 可得交点纵坐标， 即的面积为： ，故D正确. 10．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABC 【详解】因为， 所以， 两式相减，可得，即，其中， 令，可得，适合上式， 所以数列的通项公式为，所以B正确； 当时，可得，所以A正确； 又由， 所以，所以C正确； 由，当时，的最小值为，D不正确. 11. 如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面BOD截该正方体所得截面的面积为 B. 点Q的轨迹长度为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面截该正方体所得截面为，面积为，得A错误；分别取的中点，由平面平面，得点的轨迹长度为，B正确；由平面平面可知，点到平面的距离为定值，取点在点的位置，利用等积法求得点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，根据，当点为线段的中点时，取得最小值，取得最大值，最大值为，得C错误；根据点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取得最大值，得三棱锥体积的最大值为2，D正确． 【详解】对于A，如图，延长，与交于点，连接， 所以平面截该正方体所得截面为，易知是边长为的正三角形，其面积，故A错误； 对于B，分别取的中点，连接， 则六边形为正六边形， 因为分别为棱的中点，所以∥，又平面，平面， 所以∥平面， 因为∥，∥，所以， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，所以平面平面， 则点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，由平面平面可知，点到平面的距离为定值， 不妨取点在点的位置，设点到平面的距离为， ， 得，即=，解得， 设直线与平面所成角为，则， 当点运动到线段的中点时，取得最小值，取得最大值，此时易得， 则直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故C错误； 对于D，因为∥，∥，所以∥， 又平面，平面，所以∥平面， 要使三棱锥的体积取得最大值，则点到平面的距离最大， 易知当点在上运动时，点到平面的距离最大，不妨取点与点重合， 设，连接，显然， 由于，易得，，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确． 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为_____________． 【答案】 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，所以展开式中的系数为. 13．等差数列中，，，则其前项和的最小值为　　． 【答案】 【详解】由，得，又，故． 故，故此数列为递增数列． 故等差数列的前2项为负数，从第三项开始为正数， 故前2项的和最小为， 故答案为． 14.已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由已知得：， 所以，即 则不等式等价于， 再由， 可得在上单调递增，所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：共5大题，满分77分． 15. 在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，化简并结合同角的三角函数关系即可求得答案； （2）根据等面积法可推出，利用基本不等式可得，即可求得答案. 【小问1详解】 由可知，得，于是， 即，则为锐角，所以 【小问2详解】 即得， ， ，当且仅当时取等号， ，故面积的最小值为 16．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【解析】（1）因为的定义域为， 的导函数． ①当时，，则在上单调递增． ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减． （2）证明：因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为（1），所以的方程为． 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：． 设，，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以（1）． 所以当，时，， 所以原命题得证． 17. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 【答案】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等边中，，则. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，，则. 在中，，所以. 如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，.，. 设，则，， 所以，即 设为平面的一个法向量， 因为，， 由，得，取，得. 记直线与平面所成角为，则， 所以， 整理得，解得或. 【答案】（1）由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【解析】 （1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学9月月考试题 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3．设向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在某次抽奖活动中，一个口袋里装有3个白球和2个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖．则摸球三次仅中奖两次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） 8.已知，，则的最小值为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（   ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 10．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 11. 如图，正方体.中，，点O为侧面的中心，M，N分别为棱BC，CD的中点，动点Q在该正方体表面（底面ABCD以外）上，且平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面BOD截该正方体所得截面的面积为 B. 点Q的轨迹长度为 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 三棱锥的体积的最大值为2 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，的系数为_____________． 13．等差数列中，，，则其前项和的最小值为　　． 14. 已知函数，则不等式的解集为 . 四、解答题：共5大题，满分77分． 15. 在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 16．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 17. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $