四川省南充高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

南充高中高2025级第三学期第一次月考数学试卷参考答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C D B A B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ACD AC BC 3、 填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤． 15.（1）如图（1），连接，与交于点， 则为中点，又为中点，，.........................................3分 又平面，平面， 平面． .................................5分 （2） 如图（2），取中点，连接， 图（1） 、是、的中点， ， 就是异面直线与所成的角或其补角，.....7分 在中,...........10分 则, 图（2） 所以直线与夹角的余弦值为. ..................................13分 16.（1）由题意可知：， 解得. ............................................................5分 （2）前三组的频率和为，前四组的频率和为 所以第75百分位数在第四组， 所以第75百分位数为. ........................10分 （3）由（1）知，则平均数为 .................................................................15分 17.（1）设这三人中只有甲乙两人在单位食堂就餐为事件， 所以；......................................5分 (2)设三人中恰有两人在单位食堂就餐为事件， 所以；................10分 （3）设三人中至少有一人在外边餐馆就餐为事件， 所以. .................................15分 18. 解：(1) 四个层次按比例分配分层抽样总人数：3200，抽样比： 所以各组抽取样本数：基础层人、巩固层人、 提升层人、冲刺层人. ......4分 (2) 样本中，巩固层样本4人，记为；提升层样本3人，记为 从这7人中随机抽取2人，全部基本事件（样本空间）： ， ， 总基本事件共21个. 记事件A=“抽取2人中至少有1人来自提升层”，对立事件为=“抽取2人均来自巩固层”. 2人均来自巩固层的基本事件：，共6个. 符合条件的事件数 所求概率为：. .................................11分 (3)依题意得巩固层、冲刺层两层样本容量：，巩固层、冲刺层两层合并样本的总样本量:, 两层样本均值：， 两层合并均值：， 又，代入分层方差公式得 故巩固层、冲刺层两层合并样本的总体方差为. ...........................17分 19.法1:证明：(1)在原矩形ABCD中，AD=AE=1（E是AB中点，AB=2）， 故为等腰直角三角形，. 同理 EB=BC=1，为等腰直角三角形，， 因此 即 ..................2分 已知平面平面 ，且，由面面垂直性质得， 又，所以. .................3分 翻折后仍为等腰直角三角形， 又，且均在平面内， ..................4分 故 . ..................5分 （2）取ED的中点O，连结A1O. 因为AD=AE=1，所以， ..................6分 又平面平面 ，且， 所以由面面垂直性质得. 取BC的中点F，连结A1F,OF 所以，由三垂线定理可知， 所以为二面角的平面角. ...........................8分 在中，易求得，所以 所以 ..................10分 故二面角的余弦值为. ..................11分 法2：解：矩形ABCD中，，E为AB中点，故. 翻折后为等腰直角三角形，，. 平面平面BCDE，交线为DE.取DE中点O，则， 由面面垂直性质定理，平面BCDE. ....................2分 以E为原点，EB为x轴，过E平行BC方向为y轴，竖直向上为z轴建立空间直角坐标系. 各点坐标为： ，，，， (1) 向量： ，，. ，. ，. .....................4分 又，平面， 由线面垂直判定定理得 平面. ....................5分 （2）因底面BCD在平面内，取底面法向量. ............6分 又 ，. 设平面法向量,则 令，得，即. .................8分 . ................10分 又二面角为锐角，故其余弦值为 . .................11分 （3） 因点在的内部，且， 根据四点共面的性质得 . ..................12分 因为， 对固定，，由均值不等式 ， 当且仅当 时取等，代入得： . .................13分 . ................15分 当且仅当时等号成立，解得时等号成立. 即 . 故当时，的最大值为. ..................17分 （若有其他解法，请同等步骤给分） ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2025级第三学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟　总分：150分　命审题：高2025级数学中心命题组） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．为了解某地参加国防素养大赛测试的1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的100名学生是（ ） A．总体 B．样本 C．个体 D．样本量 2．一般情况下，用样本估计总体，下列说法正确的是（ ） A．样本容量越小，估计越精确 B．样本的平均值就是总体的平均值 C．样本数据的方差越大，则样本数据越稳定 D．样本的标准差可以近似地反映总体的离散程度． 3．某快递公司为优化配送路线，从100000单快递中随机抽取了1000单，将这1000单快递的配送时长（单位：分钟）按照，，，，，分成6组，绘制成如下频率分布直方图： 由此可估计这100000单快递中配送时长不超过30分钟的快递单数为（ ） A．20000 B．30000 C．40000 D．50000． 4．已知，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的概率为（ ） A． B． C． D． 5．若空间向量，，则下列向量可以与，构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的个数是（ ） ①如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 ②已知样本数据4，5，6，7，8，7，9，则该组数据的60%分位数为8 ③已知数据，，…，的平均数为3，则数据，，…，的平均数为9 ④已知数据，，…，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这6个数的方差不变 A．1 B．2 C．3 D．4 7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，点在上，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 8．某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（ ） A．甲队积分为6分的概率为 B．乙队积分为3分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为18分 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．下列说法正确的有（ ） A．“与互斥”是“与互为对立事件”的必要不充分条件 B．“”是“与互为对立事件”的充分必要条件 C．“”是“与相互独立”的充分必要条件 D．“”是“、、三个事件两两独立”的充分必要条件 11．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，下列结论正确的有（ ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点关于坐标平面的对称点为，则__________． 13．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 31 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为__________． 14．在长方体中，，，，为长方体内一动点（包括表面），若，且，则点所有可能的位置所构成的几何体的体积是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，，且，是侧棱的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 16．（15分）某校为了解高二学生使用“AI错题整理工具”的情况，随机抽取了100名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长（单位：分钟），并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值； （2）利用频率分布直方图，估计这100名学生单次使用时长的第75百分位数； （3）利用频率分布直方图，估计这100名学生单次使用时长的平均数． 17．（15分）某单位有甲、乙、丙三位职工，某日中午计划在单位食堂就餐或在外边餐馆就餐．已知甲、乙、丙在单位食堂就餐的概率分别为，，，且这三人在单位食堂或在外边餐馆就餐相互独立． （1）求这三人中只有甲乙两人在单位食堂就餐（丙在外边餐馆就餐）的概率； （2）求这三人中恰有两人在单位食堂就餐的概率； （3）求这三人中至少有一人在外边餐馆就餐的概率． 18．（17分）某高中对高三全年级3200名学生一模数学成绩进行调研，将学生分为四层：基础层1200人、巩固层800人、提升层600人、冲刺层600人．采用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取样本容量为16的样本． （1）求四个层次分别抽取的样本容量； （2）从巩固层、提升层抽取的样本中随机抽取2人，请用列举法表示样本空间，并求至少有1人来自提升层的概率； （3）已知巩固层、冲刺层样本成绩方差分别为20、15，样本成绩平均数分别为95、116，求巩固层、冲刺层两层合并样本的总体方差． 19．（17分）如图，在矩形中，，，为中点．将沿翻折得到，且平面平面． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若点为的内部一动点，且（其中，，均为正实数），求的最大值． （附：已知个正数的算术平均数满足不等关系：，当且仅当时取等号） 学科网（北京）股份有限公司 $