精品解析：四川内江市第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

内江六中2026—2027学年（上）高28届第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷　选择题（满分58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. 0 C. D. 4. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的中点，，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，平面经过和，平面经过和，则该正方体处于平面之间部分的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集为 D. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 11. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图的面积为，正方体在该圆锥内，其中在圆锥的侧面上，在圆锥的底面上，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆锥的高为 B. 该圆锥可以整体放入直径为的球内 C. 正方体的棱长为 D. 以该圆锥的顶点为球心作半径为的球，则球面与正方体的底面相交所得曲线的长度之和为 第Ⅱ卷　非选择题（满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则__________. 13. 已知，则的值为______. 14. 富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图，在边长为2的正九边形中，的值为______；由向量关系，可得，进而得的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）求和的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 17. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． （用向量法书写不给分） 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，与交于点． （1）设平面交平面于直线，求证：； （2）若，，且是棱的中点，点到平面，平面，平面的距离分别为，，．求的值； （3）若，分别是线段、线段上的点，且满足，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值． （用向量法书写不给分） 19. 记的内角的对边分别为，已知． （1）当点D满足时． ①若，，求； ②若，求． （2）当时，判断的形状并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2026—2027学年（上）高28届第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷　选择题（满分58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数， 可得复数在复平面内对应的点，位于第一象限. 2. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 故选：B 3. 已知单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以， 即， 即， 所以 4. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差为， 则新数据方差为. 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面，面面的位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 6. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 如图，在中，是的中点，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则，将  表示为  与  的线性组合，进而解出 . 【详解】由题意可知， 是  的中点，所以 . 因为 ，根据向量减法的三角形法则， 可得： . 又因为 ，且 ， 所以 . 整理可得 ， 解得 . 8. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，平面经过和，平面经过和，则该正方体处于平面之间部分的体积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行关系得到两截面，由对称性得到正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积，再结合台体体积公式计算可得. 【详解】取中点，因为为的中点，所以， 则四点共面，所以平面截正方体的截面即为平面， 取中点，因为为中点，所以，同理平面截正方体的截面即为， 几何体为三棱台，由对称可知三棱台的体积与的体积相等， 所以正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积， ， 所以该正方体处于平面之间部分的体积为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 C. 甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】根据极差，中位数，上四分位数以及方差的定义计算分析即可. 【详解】由图可知，甲同学的得分为， 乙同学的得分为， 将两人的得分从小到大排列： 甲：； 乙：， 对于A，甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因为，所以甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 对于B，甲得分的中位数为，乙得分的中位数为， 因为，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故B正确； 对于C，因为，所以上四分位数为排序后的第个数据， 所以甲得分的上四分位数为，乙得分的上四分位数为， 因为，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，故C正确； 对于D，甲得分的平均数为， 甲得分的方差为：， 乙得分的平均数为， 乙得分的方差为：， 因为，所以甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集为 D. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由图象结合正弦函数的性质求出解析式可判断A，整体代入可判断B，由正弦函数的单调性可判断C，由图象平移的性质可得D. 【详解】对于A，由图可得，而， 所以， 当时，取最小值，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图的面积为，正方体在该圆锥内，其中在圆锥的侧面上，在圆锥的底面上，则下列说法正确的有（ ） A. 该圆锥的高为 B. 该圆锥可以整体放入直径为的球内 C. 正方体的棱长为 D. 以该圆锥的顶点为球心作半径为的球，则球面与正方体的底面相交所得曲线的长度之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式和勾股定理可得A正确；由勾股定理求出外接球半径可判断B；求出正方形外接圆半径，再利用三角形相似可得C正确；作出截面图形，利用勾股定理求出半径，再结合角度关系求出长度可得D. 【详解】对于A，因为圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为，设母线长为， 则，所以圆锥的高，故A正确； 对于B，设圆锥的外接球半径为，则， 所以该圆锥不可以整体放入直径为的球内，故B错误； 对于C，设正方体的棱长为，则正方体底面正方形外接圆半径为，圆锥轴截面如图所示， 根据相似三角形可得，故C正确； 对于D，由C可知正方体的底面的对角线长为2， 设圆锥顶点为，因为点到正方体上底面的距离为， 而该圆锥的顶点为球心作半径为的球与平面相交所得曲线为圆的部分，圆心为正方形的中心， 则截面圆半径， 因为，所以球与正方形的交线为四段圆弧，如图所示四段红色的弧线， 因为，所以， 所以，而， 所以每段圆弧的中心角为， 所以四段圆弧和长为，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷　非选择题（满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法化简可得复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故. 14. 富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图，在边长为2的正九边形中，的值为______；由向量关系，可得，进而得的值为______． 【答案】 ①. 2 ②. ##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求出；利用数量积的定义及运算律列式求解. 【详解】取的中点，连接，由正九边形为轴对称图形，得， 因此； 正九边形每个内角的弧度数为，任意一个内角的外角为，， ， 因此 ， 所以. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）求和的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义求，根据数量积的运算律求的值. （2）根据，且向量与不共线，列式求的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 因为，所以. 【小问2详解】 由， 所以，解得. 由. 综上，当时，向量与的夹角为锐角. 16. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 17. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． （用向量法书写不给分） 【答案】（1）因为平面平面，平面平面， 又，所以平面， 又平面，故， 又因为，，平面，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得平面，进而可得，再利用线面垂直的判定定理可证平面； （2）取的中点M，连接，可得，进而利用（1）可得，可证平面，进而得就是与平面所成角，求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点M，连接，因为，为中点，所以 由（1）知平面，平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，所以就是与平面所成角， 由（1）可知平面，又平面，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以CD与平面ABD所成角的正弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，与交于点． （1）设平面交平面于直线，求证：； （2）若，，且是棱的中点，点到平面，平面，平面的距离分别为，，．求的值； （3）若，分别是线段、线段上的点，且满足，设与所成的角为，与所成的角为，求的最大值． （用向量法书写不给分） 【答案】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面 ，所以． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理以及性质求解即可. （2）根据等体积法得到，再由棱锥的体积公式，即可求解. （3）作，由可得，根据角的关系可得，然后即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，平面，底面是正方形，， 依题意可得， 所以， 其中， ， 因为，所以，， 即，解得． 【小问3详解】 作，与BC交于点R，连接RQ，如图． 因为，所以， 又，所以， 所以，因为底面是正方形，所以． 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，则，所以， 则，，且， 所以， 当时，取得最大值为． 19. 记的内角的对边分别为，已知． （1）当点D满足时． ①若，，求； ②若，求． （2）当时，判断的形状并证明． 【答案】（1）①；② （2）直角三角形， 由，可得， 由余弦定理可得：， 又，由余弦定理得：， 两式联立可得：， 平方得：，又， 得， 即， 即， 即， 又， 所以，即， 所以， 所以， 故是直角三角形. 【解析】 【小问1详解】 ①因为，即， 即， 两边平方得：， 即，又， 得，解得； ②由， 得，又， 所以，可得： ， 在中，分别由正弦定理得： ， 两式相比得：， 即， 即， 即，化简得, 又，所以； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $