四川省南充高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

南充高中高2024级高三学期第二次月考 数学试题 (考试时间：120分钟总分：150分命题人：蒲新容审题人：向亮) 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.双曲线。号-1的焦点坐标为《) 3 A.(5,o,（-5,0 B.0,3),(0,-3) C.(3,0),(-3,0) D.(0,3),(0,-3) 2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶 的概率为() A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72 3.直线：2x+y+2=0与直线l2:4x+2y-1=0之间的距离为( ) A.5 B.5 C.35 D.5 5 4.如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC,与B,D,的交点，若AB=a,AD=五，A4=c, 则BM=() D A.a- B.a+ib+c C.-1a-16+0 D.-a+1b+c 2 2 2 2 2 2 D 5.圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与圆C2:x2+y2-2y-3=0的公共弦长为( A.2√2 B.√2 C.2 D.4 6.已知双曲线”_上=1m>0n>0和椭圆女+二=1有相同的焦点，则4+上的最小值为() m n 5 4 m n A.2 B.6 C.9 D.12 7.若圆x2+(y-2)2=r2(>0)上到直线y=√3x-2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 () A.(0,1) B.L,3) C.(3,+w) D.(0,+0) 8.己知椭圆c+y ·2+2=1(b0),称点P(。)和直线1：+=1是椭圆C的一对极点和极线，● 每一对极点与极线是一一对应关系.当P在椭圆外时，其极线1是椭圆从点P所引两条切线的切点所确 定的直线（即切点弦所在直线），结合阁读材料回答下面的问思：已知：是直线)=+4上的一个 动点，过点P向椭圆C:+二-1引两条切线，切点分别为M,N,直线MN恒过定点r,当m-示时， 164 直线MN的方程为() A.x+2y-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0 D.2x+y-4=0 答案第1页，共4页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） ,已知曲线C+之1，则下列结论正确的是〈） A.当2<t<4时，曲线C是椭圆 B.当t>4或t<2时，曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则2<t<3 D.若曲线C是双曲线，则焦距为22 10.曲线C:x2+y2=x+y,A,B是曲线C上任意两点，则() A.曲线C的图象关于原点对称 B.|AB的最大值2√5 C.直线AB与曲线C没有其它交点D.曲线C所围成的面积为π+2 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P满足DP=DC+uDD(∈[0,1]，u∈[0,1D,则下列 结论正确的是() D A.当A=1以=时，乃w= B,当2，少时，平面4BP截正方体所得的截面的面积为号 D月 C.若1=且B远=1BB,则当PA+PE取得最小值时，u=1 1 4 D.若点P在以AB的中点O为球心，√5为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为2π 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知直线x+(2a-1)y+a-2=0,当a变化时，直线1总是经过定点，则定点坐标为 13.函数y=√1-x2+1与函数y=k(x-2)的图象仅有一个公共点，则实数k的取值范围是 4.设卫是椭圆C等+芳=1a>6>0)的上以点，若C上的任意一点：都满足IPB52b,则C的离心 率的取值范围 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知44BC的顶点A(2,3),边AB上的中线CM所在直线方程为x+y-3=0,边AC上 的高线BH在直线方程为2x-y-2=0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程. 答案第2页，共4页 16.(15分)2025年12月4日至8日，第四届南充国际木偶艺术周在南充隆重举行，某校特举办了 木偶艺术相关知识测试。随机抽取了400名学生的测试成绩，根据测试成绩（所得分数均在[40,100])， 将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，得到频率分布直 方图如图所示 (1)求a的值，并求出测试成绩在[80,100]内的学生人数； (2)试估计本次测试成绩的60%分位数； (3)从测试成绩在[80,90)和[90,100]内的学生用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取两人 分享学习木偶艺术知识的方法.求这两人中恰好有一人的成绩在[90,100]内的概率.。 频率 个组距 0.030… 0.025 a 0.010 0.005 0405060708090100分数 17.(15分)己知圆C:(x-2)+y2=1 (1)若P的坐标为P(3,-3),求过点P与圆C相切的直线方程： (2)直线x-y+=0与圆C交于E,F两点，求OE.OF的取值范围（O为坐标原点). 答案第3页，共4页 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形，AB=AP=4,AD=3, E,F分别在棱PB,PD上，且AE⊥PB,AF⊥PD. (1)求证：PC⊥AE: (2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值： (3)求三棱锥P-EDC外接球的表面积. 19.17分)已知精圆C:器+器=1a>>0的左、右焦点分别为、5，离心率为号，经过点 且倾斜角为0<6< 2 的直线1与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABE的周长为8. VA B 折叠前 折叠后 (1)求椭圆C的标准方程： (2)如图，将平面xy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AFF,)与y轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面B?F,)互相垂直. )若0-号求异面直线4织和织所成角的余弦值： (是香存在©0<0<引，使得△MB那折桑后的周长与折叠前的周长之比为 5 ？若存在，求tan8的 6 值；若不存在，请说明理由 答案第4页，共4页南充高中高2024级第三学期第二次月考 数学试题参考答案 题号 7 9 10 11 答案 B BC ABD ACD 2( 4 15.【详解】(1)由于BH⊥AC,且BH的直线方程为2x-y-2=0, 所以k=2,故c-子，又山BC的顶点4(2,3)。 所以4C所在的直线方程为y-3=c-2》,即x+2y-8=0, 3分 由于AB边上的中线CM所在的直线方程为x+y-3=0, +y-3=0,解得52，故点C(25: x+2y-8=0. 「x=-2 联立方程 6分 (2)设点B(m川，则AB的中点M+2,n+3】 (22 由于点M在直线x+y-3=0上， 所以十2++3-3=0，整理得m+1-1=0, 9分 2 2 同时点B在直线2x-y-2=0上，所以2m-n-2=0, 「m+-1=0 m=1 故 (2m-n-2=0,解得 {u=0即点B1,0, 11分 所以6=2=骨可有-0=-0 化简得5x+3y-5=0,故直线BC的方程为5x+3y-5=0. 13分 16。(1)a=0.015,100 (2)74 【详解】(1)由题意得(0.005+a+0.030+0.025+a+0.010)×10=1, 解得a=0.015, 2分 所以测试成绩在[80,100]内学生的人数为400×(0.015+0.010)×10=100： 4分 (2)由频率分布直方图可知，[40,50)，[50,60)，[60,70)三组的频率和为0.5，前四组的频率和为0.75。 故60%分位数在[70,80)内，设本次测试成绩的60%分位数为x。 0.5+(x70)×0.025=0.6;解得x=74 本次测试成绩的60%分位数为74 8分 (3)抽取的成绩在[80,90)内的人数为5x。0015=3,记为ah,c, 0.015+0.010 答案第1页，共6页 0.015+0.010=2,记为4，B, 抽取的成绩在[90,100]内的人数为5×。0.010 10分 则从5人中随机抽取2人的情况有：ab,aC,A,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB,共10种， 其中恰有一人的成绩在[90,100]内的有aA,B,bA,bB,cA,cB,共6种， 14分 所以这两人中恰好有一人的成绩在[9010]内的概率为，。-号 15分 17.()x=3或4x+3y-3=02)2,5+2V2 【详解】(1)圆C:(x-2)+y2=1的圆心为C(2,0),半径r=1, 1分 过点P(3,-3)的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为x=3,符合题意； 3分 若切线的斜率存在，设切线方程为y+3=k(x-3),即c-y-3k-3=0 则d=上k3 =1,即k+3=+1,解得k= Γ3 5分 V1+k2 所以切线方程为y+3=-号x-3),即4+3w-3=0: 即过点P(3,-3)的切线方程为x=3或4x+3y-3=0, 6分 x-y+=0 (2)由 c-22+y2-1得(x-2}+(x+m2=1, .2x2+(2m-4)x+3+m2=0, 8分 设E(,),F(x2y2), 由△=(2-4)-4×2×(3+m)>0,-2-√2<m<-2+√2， 9分 +名=2-m,,=3+那 2 10分 则=(+m(+m)=2+m(x+x)+m +a2w4 2 2, 12分 所以OE.OF=x2+yy2= =3++2+)m+3加+3+1十2，ml3分 :-2-V2<m<-2+√2， 答案第2页，共6页 .(0m+1)2+2∈2,5+2W2): :.OE.0丽的取值范围为2,5+2√2 15分 18.(1)证明见解析 2)4V4 3)76 41 9 【详解】(1)【方法一：几何法】 ,PA⊥平面ABCD,CBC平面ABCD,∴·PA⊥CB, ,四边形ABCD是矩形，∴CB⊥AB, ,PAOAB=A,·CB⊥平面PAB 2分 ,AEC平面PAB,·AE⊥CB, :AE⊥PB PBOBC=BAE⊥平面PBC, …4分 ∴.AE⊥PC 5分 【方法二：向量法】 以A为坐标原点，向量AD,A正，亚的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Az, 则A(0,0,0),P(0,0,4),C(3,4,0),E(0,2,2), 则AE=(0,2,2),PC=3,4,-4) 2分 :.AE.PC=0×2+2×4+2×(-4)=0 4分 得证：AE⊥PC 5分 (2)以A为坐标原点，向量AD,A正，AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间 直角坐标系Axz,则A(0,0,0),D(3,0,0),P(0,0,4),C(3,4,0),E(0,2,2), .DP=(-3,0,4),AE=(0,2,2). 设DF=DP=(-34,0,4),则F(3-34,0,40),.AF=(3-3μ，0,4) 答案第3页，共6页 AF1DP,.AF.DP=-3×3-3m)+0×0+4×4u=0, w =25 7分 设平面AEF的法向量为m=(化，y,二)， m-AE=2y1+221=0 则 mA万=48x,+36名=0取行=4，得=3，片=4， ∴.平面AEF的一个法向量为1=(3,4，-4). 8分 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1). 9分 设平面AEF与平面ABCD的夹角为0， 则cosB=kos(m明 i戎 上4 4V41 m同V32+42+(-4)2×1 41 ·平面AF与平面ABCD夹角的余弦值为4V④ 41 …11分 (3)设三棱锥P-EDC的外接球球心坐标为(a,b,c),，半径为R, ad+b2+(c-4)2=R2, 则a-3)+b2+e= 13分 (a-3)+b-4)+c2=R2, a2+(b-2)2+(c-2=R2, 62，e=4,-7 解得a=25 36 16分 三棱锥P-BDC外接球的表面积为4rx769_769r 369 …17分 2)(1)13 (i)存在，tan9=3 14 【详解】(1)因为△AB的周长为8，所以4a=8,即a=2, 2分 由离心率为3，c=1,b=5, 所以椭圆C的标准方程为：+y。 431 ….4分 (2)由1)知，点(10，倾斜角为0=号 故直线1设为：y-0=V3(x+1), 5分 y=V3(x+1) ()联立直线1与椭圆C的方程：x2y2 ,,可可得5x2+8x=0,可得x=0或x=一二， 43 答案第4页，共6页 可得0月，（因为点4作维上方）以及） 7分 再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系，如图所示 ZA 则@-10：40aV.r5g0.g010 A=01同.丽=(5g。 8分 丽-网-2，函-4 所r(丽)是 是面直线A和BR所成角为，则cop=co区AB丽上 10分 (i)设折叠前A(x,y),B(x2,y2), [y=x+1 直线1与椭圆C联立方程兰+=1得(3r+4r-6w-9=0, 43 :4=（-6m)2-4×(-9)×3m2+4)=144m2+1>0 6m -9 .y+y2 3m+4?3+4, 12分 在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系) 设A,B在新图形中对应点记为A,B, 4+B+叫-.M+lB+A=8,得4s-4B号 13分 答案第5页，共6页 又A'(0,5,),B'(-y2x2,0) 4B1=x+,4B=x)+, 4-4B=VG,-x)P+,y-,-)产+y+,=0, 2 .14分 -24y2 即75-少+-》x-扩++y月 所以-4y=√Vk-x+(y-)2+VG压-x)》2+斤+y2②， 0②可得：京29=G-)广+0w- 15分 即(+0-=0+m04-)=任24】 ajw9小8” 化：1行+ 即12+12m2-118 3m2+443m2+4 整理得：12m2+12=3m2+1+18, 4 解得：m=28 5 16分 因为00：号所以a0- 17分 14 答案第6页，共6页