精品解析：河南安阳市部分校2026-2027学年高二年级上学期过程性作业评价数学试卷(人教A版)

高二年级过程性作业评价 数学（人教A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域为，则整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 设空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥与圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是圆柱母线长的2倍，若圆锥的母线与底面所成的角为，则圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 记，，，，，每次从中有放回地随机选取一个空间向量，则将两次选取得到的空间向量相加后与垂直的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 是实数 10. 设向量，，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 11. 在平行六面体中，，，，，点满足，则（ ） A. 点在平面内 B. 平行六面体的体积为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 斜率为4且过点的直线的一般式方程为__________． 13. 若，则__________． 14. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．已知，点满足．则的最小值为__________；当取得最小值时，二面角的余弦值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在空间直角坐标系中，，，，直线的方向向量为． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 设函数． （1）求的值域； （2）若曲线关于轴对称，其中，求的所有可能的取值． 17. 已知函数，． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论函数的单调区间． 18. 如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求的值； （3）若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 19. 在四面体中，，，，，， （1）求的值； （2）设为的重心，证明：平面，并求到平面的距离； （3）设是直线上一点，且．证明：在线段上，并求四面体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级过程性作业评价 数学（人教A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式、一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 2. 若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，结合直线倾斜角与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】由. 因为该直线的倾斜角为， 所以. 3. 若函数的定义域为，则整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得在上恒成立，进而可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 4. 设空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，且，， 又，所以. 所以. 5. 已知圆锥与圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是圆柱母线长的2倍，若圆锥的母线与底面所成的角为，则圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆锥母线与底面所成角的定义求得圆锥母线长与底面半径的关系，再结合已知推出圆柱母线长与底面半径的关系，分别计算两者的表面积后求比值即可。 【详解】设圆锥与圆柱的底面半径均为，圆柱的母线长为，由题意得圆锥的母线长. 根据线面角的定义，圆锥母线与底面所成角的余弦值等于底面半径与圆锥母线长的比值， 即，解得. 结合，可得. ① 计算圆锥的表面积：圆锥表面积为侧面积与底面积之和，即 . ② 计算圆柱的表面积：圆柱表面积为上下两个底面积与侧面积之和，即 . 因此两者表面积之比为. 6. 记，，，，，每次从中有放回地随机选取一个空间向量，则将两次选取得到的空间向量相加后与垂直的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查空间向量垂直与古典概型，枚举两次取向量相加的所有情况，筛选满足垂直条件的基本事件，代入古典概型公式计算概率. 【详解】两次选取得到的空间向量相加进行列表可得： （1,0,0） （0,1,0） （0,0,1） （1,1,1） （1,0,0） （2,0,0） （1,1,0） （1,0,1） （2,1,1） （0,1,0） （1,1,0） （0,2,0） （0,1,1） （1,2,1） （0,0,1） （1,0,1） （0,1,1） （0,0,2） （1,1,2） （1,1,1） （2,1,1） （1,2,1） （1,1,2） （2,2,2） 设，由，得，即， 由表可知，满足要求的空间向量共6个，故所求概率. 7. 某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面列式计算求解. 【详解】因为入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面， 所以反射激光的方向向量为， 所以，所以， 对于A，，，符合题意，A选项正确； 对于B，，不符合题意，B选项不正确； 对于C，，，不符合题意，C选项不正确； 对于D，，，不符合题意，D选项不正确； 8. 在中，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和与三角恒等变换化简已知等式，结合三角函数的最值确定三角形各内角大小，即可计算面积. 【详解】在中，由内角和定理得，故， 根据积化和差公式，， 代入已知等式得：， 由辅助角公式，， 因此原式可化为：， 由于，故左边最大值为，与右边相等， 因此等号成立，需满足：， 当时，因为，则， 所以，解得； 当时，由，得，所以， 即，所以为边长为2的等边三角形， 其面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 是实数 【答案】AB 【解析】 【详解】因为， 所以，故A正确； ，为纯虚数，故B正确； ，故C错误； ，不是实数，故D错误. 10. 设向量，，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的坐标表示即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，利用向量平行的坐标表示结合同角三角函数关系即可判断；对于D，利用向量的数量积坐标公式结合辅助角公式即可判断. 【详解】向量，， 则当时，向量，，，所以，A选项正确； 当时，向量，，，B选项错误； 当时，， 所以，C选项正确； 向量，， 所以 ， 其中，， . D选项正确； 11. 在平行六面体中，，，，，点满足，则（ ） A. 点在平面内 B. 平行六面体的体积为 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点与平面的关系即可判断A；建立空间直角坐标系，由已知得出点的坐标，结合平行六面体体积公式即可判断B；由空间向量夹角公式即可判断C；由空间向量的模长公式即可判断D． 【详解】对于A，由平行六面体得， 则，又平面， 所以点平面，故A正确； 对于B，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设， 则，，， 因为， 所以，即， 所以，又， 所以（负值舍去）， 所以， 所以平行六面体的高为， 所以平行六面体的体积为，故B正确； 对于C，，且， 所以，， 则，故C错误； 对于D，当时，， ， 则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 斜率为4且过点的直线的一般式方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】斜率为4且过点的直线方程为，整理为. 13. 若，则__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】先利用对数运算性质换元转化为代数方程求解. 【详解】要使方程有意义，则且， 因为，， 设（，因为），则原方程可化为：  整理得， 即 解得或. 当时，，解得； 当时，，解得. 14. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．已知，点满足．则的最小值为__________；当取得最小值时，二面角的余弦值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据模长公式求出的表达式，再根据表达式求出最小值；根据二面角的概念分别在面和面求出垂直的向量，则二面角的余弦值就是这两个向量的夹角的余弦值. 【详解】，， 解得， 则当，取最小值为； 因为取得最小值时，故， 设在平面上垂直于的向量，则， 即， 解得，则， 因此， 同理，设在平面上垂直于的向量，则， 解得， 故， 故二面角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在空间直角坐标系中，，，，直线的方向向量为． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 则直线与直线所成角的余弦值为， 【小问2详解】 ，设面的法向量为， 则，即，令，则，故， 因此直线与平面所成角的正弦值为 16. 设函数． （1）求的值域； （2）若曲线关于轴对称，其中，求的所有可能的取值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和角的余弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求出值域. （2）由（1）中函数，利用偶函数的性质列式求解. 【小问1详解】 函数， 而函数的定义域为R，所以函数的值域. 【小问2详解】 由（1）得， 由曲线关于轴对称，得函数是偶函数， 因此，解得，而， 则，， 所以的所有可能的取值为. 17. 已知函数，． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论函数的单调区间． 【答案】（1）的取值范围是. （2）当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件分离参数，利用指数函数性质及基本不等式求出范围. （2）变形给定函数，利用指数函数单调性，结合二次函数单调性按分类求出单调区间. 【小问1详解】 函数的定义域为，不等式恒成立， 而，则，当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 函数，其定义域为， 令，则函数在上单调递减，， 当时，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 18. 如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求的值； （3）若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）记为与的交点，则平面， 又平面，所以平面平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）记为与的交点，根据投影的定义和面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据空间向量运算得，则得到的值； （3）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，从而求出的长度，最后再计算比值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由矩形性质可知， 即，故， 由不共面，可得，于是． 【小问3详解】 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系． 不妨设，则， ， 记平面的法向量为， 则，即，可取． 记平面的法向量为， 则，即，可取． 记平面与平面的夹角为， 则，解得． 于是． 19. 在四面体中，，，，，， （1）求的值； （2）设为的重心，证明：平面，并求到平面的距离； （3）设是直线上一点，且．证明：在线段上，并求四面体的体积． 【答案】（1） （2）记 ，由（1）知 ，故 . 因为 为 的重心，所以 . ，同理 ，. 于是 ，同理 . 所以 ，，而 ， 是平面 内的两个不共线向量，且 ，所以 平面 . 又 在平面 内，所以 到平面 的距离就是线段 的长度，，即所求距离为 . （3） 在直线 上，可设 ，. 由 ，得 ，即 . 代入 并展开，得 . 其中 ，，. 所以 ，解得 ，所以 ， 为线段 的五等分点，在线段 上. 在 中，，，，即 . ，所以 . . 由（2）知 到平面 的距离 ，所以四面体 的体积 . 【解析】 【分析】（1）把 展开为三个模的平方与三个数量积的两倍之和，代入已知数值计算. （2）重心给出 ；只需证该向量与平面 内两个不共线方向（如 ，）的数量积都为 ，距离即 ，四面体与垂足 、垂线段 的位置关系如图所示. （3）由 在直线 上参数化 ，由 解出参数并用其范围判断 的位置；体积用 ，底面三角形用余弦定理求角后算面积，高即（2）中的距离. 【小问1详解】 . 所以 . 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $