3.2.2 奇偶性同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从奇偶性定义到综合应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|奇偶性定义判断、简单性质应用|单选题1-6直接考查定义，填空题12-13强化定义域对称性| |能力提升|奇偶性与单调性结合、参数求解|单选题7-8、多选题9-11综合性质应用，填空题14涉及不等式转化| |综合应用|解析式求法、单调性证明、不等式求解|解答题15-19需完整推理过程，如19题结合奇偶性与单调性解不等式|

3.2.2 奇偶性 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3．若函数是奇函数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 4．若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数 是 上的奇函数，且当 时， ，函数 ，若 则实数的取值范围是（　　） A． B． C．(1，2) D． 8．设定义在R上的奇函数在（0，）上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 10．已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数，则（　 　） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①为偶函数；②为上的增函数；③，下列选项成立的是（    ） A．的单调递减区间为 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是______（填“奇”或“偶”）函数. 13．设是定义在上的奇函数，则___________ 14．已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______. 四、解答题 15．函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 16．已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 17．设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式． 18．已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 19．已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C A D D ABD AD 题号 11 答案 ABD 1．B 根据奇函数的定义，直接判断选项. A.，函数的定义域是，并且满足，所以是偶函数，故A不正确；B.的定义域是，满足，所以是奇函数，故B正确；C.的定义域是，即不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故C不正确；D. 的定义域是，即不满足，也不满足，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；故D不正确. 故选：B 2．C 利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 3．C 根据奇函数的性质计算可得. 当时，则， 则，解得， 此时， 当时，所以，符合题意. 所以. 故选：C 4．A 根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围. 函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 5．C 由偶函数的性质即可求解. 当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 6．A 根据奇函数性质即可解决此类问题. ∵函数是奇函数，∴， ∵时，， 设时，则，∴，∴， 即时，. 故选：A. 7．D 由函数是奇函数，求出函数 的解析式，再利用 与 的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式求出实数的取值范围. 由函数是上的奇函数，且当时，， 当时，，则， 又，即，所以， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 所以在上单调递增， 若则， 或， 故选：D. 8．D 分析出函数在上是增函数，由得出，分和解不等式，即可得出原不等式的解集. 解：由于奇函数在上是增函数，则该函数在上也是增函数，且， ，， 由可得，即. 当时，得，解得； 当时，可得，解得. 因此，原不等式的解集为或. 故选：D. 9．ABD 对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 10．AD 只需得到偶函数在上是单调递增函数即可求解. 因为函数在区间上是偶函数，在区间上是单调递减函数， 所以在上是单调递增函数， 所以. 故选：AD. 11．ABD 根据偶函数的对称性可判断A，利用偶函数的定义，转化为比较的大小，再结合单调性即可判断B，根据的单调性，对称性解不等式，即可判断C，根据的符号分类讨论，结合的单调性，对称性解不等式，即可判断D. 对于A，由偶函数图象的对称性知，该函数在上单调递减，故选项A正确； 对于B，由偶函数的定义得，因为函数在上单调递减， 所以，即，故选项B正确； 对于C，因为在上单调递增，在上单调递减，又， 所以，由，得，解得，故选项C错误； 对于D，由条件③知， 当时，函数在上单调递减，当时，， 所以时，； 当时，函数在上单调递增，当时，， 所以时，， 综上所述，，故选项D正确. 故选：ABD. 12．偶 利用赋值法令,求出,再令,求出与之间的关系即可得到结论. 因为对任意,恒有成立, 令,,得到, 于是, 而,因此. 令,得, 所以, 得, 即. 所以函数是偶函数. 故答案为：偶 13． 根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 14． 把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答. 因为奇函数，且在上是增函数，， 则在上是增函数，且， 不等式化为： 或 ，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为： 15．(1) (2)在上为增函数．证明如下： 在内任取且， 则， 因为，，，， 所以，即， 所以在上为增函数． （1）由题知，，进而求得答案（注意检验奇函数成立）； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （1）解：因为函数是定义在上的奇函数 所以，解得． 经检验，当时，是上的奇函数，满足题意． 又，解得， 所以． （2）略 16．(1) (2)为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. （1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. （1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）略 17．， 利用函数的奇偶性构建关于、的方程组，从而可求、的解析式. 由有， 又为奇函数，为偶函数，∴． 联立 ①－②式，得， ①＋②式，得． 18．(1)函数为奇函数； (2) （1）通过证明来证得为奇函数. （2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可. （1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 19．(1) (2)在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； (3) （1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. （1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）略 （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $