3.1 函数的概念及其表示同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第5节 函数的概念及其表示（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题 1. 下列对应关系中，能构成从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ） A. A = R，B = R，对应法则 f：x 对应到 y，y = ± B. A = [0, +∞)，B = R，对应法则 f：x 对应到 y， = x C. A = R，B = [0, +∞)，对应法则 f：x 对应到 y，y = |x| D. A = R，B = ，对应法则 f：x 对应到 y，y = 【答案】 C 【解析】 函数要求 A 中任意一个 x 在 B 中有唯一确定的 y 与之对应。A 中一个 x 对应两个 y，不是函数；B 中一个 x > 0 对应两个 y，不是函数；C 中每个实数 x 对应唯一的 |x| ≥ 0 ∈ B，是函数；D 中 x = 0 时 y = 0 ∉ B，不是函数。 2. 函数 f(x) = + 的定义域为（ ） A. [1, 2) B. (1, 2) ∪ (2, +∞) C. [1, 2) ∪ (2, +∞) D. (2, +∞) 【答案】 C 【解析】 需同时满足：分母 x − 2 ≠ 0，即 x ≠ 2；被开方数 x − 1 ≥ 0，即 x ≥ 1。取交集得 [1, 2) ∪ (2, +∞)。 3. 已知 f(x) = 2x + 1，则 f(3) + f(−2) =（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】 B 【解析】 f(3) = 2×3 + 1 = 7，f(−2) = 2×(−2) + 1 = −3，f(3) + f(−2) = 7 + (−3) = 4。 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. f(x) = x，g(x) = B. f(x) = x，g(x) = C. f(x) = ，g(x) = x + 1 D. f(x) = |x|，g(t) = 【答案】 D 【解析】 同一函数要求定义域和对应法则都相同。A 中 g(x) = |x|，与 f(x)=x 对应法则不同；B 中 g(x) 定义域为 [0,+∞)，与 f(x)=x 的定义域 R 不同；C 中 f(x) 定义域为 x≠1，g(x) 定义域为 R，不同；D 中 g(t) = |t|，与 f(x)=|x| 定义域、对应法则都相同。 5. 集合 用区间表示为（ ） A. (−2, 3) B. [−2, 3] C. [−2, 3) D. (−2, 3] 【答案】 C 【解析】 包含端点用方括号，不包含端点用圆括号。−2 包含用 [，3 不包含用 )，故为 [−2, 3)。 6. 已知函数 f(x) = ，则 f(f(−1)) =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】 B 【解析】 f(−1) = −1 + 1 = 0；f(0) = 0 + 1 = 1。故 f(f(−1)) = 1。 7. 已知 f(x + 1) = − 2x，则 f(x) =（ ） A. − 4x + 3 B. − 4x − 3 C. + 2x − 1 D. − 2x 【答案】 A 【解析】 令 t = x + 1，则 x = t − 1，f(t) = − 2(t−1) = − 2t + 1 − 2t + 2 = − 4t + 3，故 f(x) = − 4x + 3。 8. 函数 f(x) = − 2x，x ∈ [0, 3) 的值域为（ ） A. [−1, +∞) B. [−1, 3) C. [0, 3) D. [−1, 3] 【答案】 B 【解析】 f(x) = − 1，对称轴 x = 1 ∈ [0,3)。最小值 f(1) = −1；最大值在端点比较：f(0) = 0，f(3) = 3（但 x < 3 取不到）。故值域为 [−1, 3)。 二、多项选择题 9. 下列曲线中，可表示函数 y = f(x) 图象的是（ ） A. 过原点的直线 B. 开口向上的抛物线 C. 圆心在原点的圆 D. 反比例函数双曲线 【答案】 ABD 【解析】 函数图象与任意竖直线至多有一个交点。A、B、D 均满足；C 圆与竖直线 x = 0 有两个交点 (0,±r)，不满足函数定义。 10. 下列关于函数定义域的说法正确的是（ ） A. f(x) = 的定义域为 (0, +∞) B. f(x) = + 的定义域为 [3, 4] C. f(x) = 的定义域为 R D. f(x) = 的定义域为 (1, +∞) 【答案】 ABD 【解析】 A 需 x ≥ 0 且 x ≠ 0，故 x > 0；B 需 x − 3 ≥ 0 且 4 − x ≥ 0，即 3 ≤ x ≤ 4；C 零次幂底数不能为 0，定义域为 x ≠ 1；D 需 x − 1 > 0（分母不能为 0 且根号内正），即 x > 1。 11. 已知函数 f(x) 的定义域为 [−1, 5]，则下列函数中，定义域为 [−1, 5] 的是（ ） A. f(x + 1) B. f(x) + 1 C. 2f(x) D. f() 【答案】 BC 【解析】 A 需 −1 ≤ x + 1 ≤ 5，即 −2 ≤ x ≤ 4，定义域不是 [−1, 5]；B、C 只改变函数值，定义域不变；D 需 −1 ≤ ≤ 5，由 ≥ 0 知 −1 ≤ 恒成立，只需 ≤ 5，即 − ≤ x ≤ ，定义域也不是 [−1, 5]。 三、填空题 12. 函数 f(x) = 的定义域为________。 【答案】 [−2, 2] 【解析】 需 4 − ≥ 0，即 ≤ 4，解得 −2 ≤ x ≤ 2。 13. 已知 f(x) = 3x − 2，则 f(f(1)) =________。 【答案】 1 【解析】 f(1) = 3×1 − 2 = 1；f(f(1)) = f(1) = 1。 14. 某出租车收费标准：3 km 以内（含 3 km）起步价 8 元；超过 3 km 的部分，每千米 1.8 元。某人乘车 x km（x > 3），应付车费 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为________。 【答案】 y = 1.8x + 2.6 (x > 3) 【解析】 超过 3 km 的距离为 x − 3 km，费用为 8 + 1.8(x − 3) = 1.8x + 2.6 元。 四、解答题 15. 求下列函数的定义域： （1）f(x) = + ； （2）f(x) = ； （3）f(x) = + 。 【答案】 （1）[−2, 1) ∪ (1, +∞)；（2）[−1, 2) ∪ (2, +∞)；（3）[, 3) ∪ (3, +∞) 【解析】 （1）需 x + 2 ≥ 0 且 x − 1 ≠ 0，即 x ≥ −2 且 x ≠ 1，故定义域 [−2, 1) ∪ (1, +∞)。 （2）需 x + 1 ≥ 0 且 − 4 ≠ 0，即 x ≥ −1 且 x ≠ ±2，故定义域 [−1, 2) ∪ (2, +∞)。 （3）需 2x − 1 ≥ 0 且 3 − x ≠ 0，即 x ≥ 且 x ≠ 3，故定义域 [, 3) ∪ (3, +∞)。 16. 已知 f(x) 是一次函数，且满足 3f(x + 1) − 2f(x − 1) = 2x + 17，求 f(x) 的解析式。 【答案】 f(x) = 2x + 7 【解析】 设 f(x) = ax + b（a ≠ 0）。 3f(x+1) − 2f(x−1) = 3[a(x+1)+b] − 2[a(x−1)+b] = 3ax + 3a + 3b − 2ax + 2a − 2b = ax + 5a + b。 由题意 ax + 5a + b = 2x + 17，比较系数：a = 2，5a + b = 17，即 10 + b = 17，b = 7。 故 f(x) = 2x + 7。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第5节 函数的概念及其表示 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列对应关系中，能构成从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ） A. A = R，B = R，对应法则 f：x 对应到 y，y = ± B. A = [0, +∞)，B = R，对应法则 f：x 对应到 y， = x C. A = R，B = [0, +∞)，对应法则 f：x 对应到 y，y = |x| D. A = R，B = ，对应法则 f：x 对应到 y，y = 2. 函数 f(x) = + 的定义域为（ ） A. [1, 2) B. (1, 2) ∪ (2, +∞) C. [1, 2) ∪ (2, +∞) D. (2, +∞) 3. 已知 f(x) = 2x + 1，则 f(3) + f(−2) =（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. f(x) = x，g(x) = B. f(x) = x，g(x) = C. f(x) = ，g(x) = x + 1 D. f(x) = |x|，g(t) = 5. 集合 用区间表示为（ ） A. (−2, 3) B. [−2, 3] C. [−2, 3) D. (−2, 3] 6. 已知函数 f(x) = ，则 f(f(−1)) =（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知 f(x + 1) = − 2x，则 f(x) =（ ） A. − 4x + 3 B. − 4x − 3 C. + 2x − 1 D. − 2x 8. 函数 f(x) = − 2x，x ∈ [0, 3) 的值域为（ ） A. [−1, +∞) B. [−1, 3) C. [0, 3) D. [−1, 3] 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列曲线中，可表示函数 y = f(x) 图象的是（ ） A. 过原点的直线 B. 开口向上的抛物线 C. 圆心在原点的圆 D. 反比例函数双曲线 10. 下列关于函数定义域的说法正确的是（ ） A. f(x) = 的定义域为 (0, +∞) B. f(x) = + 的定义域为 [3, 4] C. f(x) = 的定义域为 R D. f(x) = 的定义域为 (1, +∞) 11. 已知函数 f(x) 的定义域为 [−1, 5]，则下列函数中，定义域为 [−1, 5] 的是（ ） A. f(x + 1) B. f(x) + 1 C. 2f(x) D. f() 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 函数 f(x) = 的定义域为________。 13. 已知 f(x) = 3x − 2，则 f(f(1)) =________。 14. 某出租车收费标准：3 km 以内（含 3 km）起步价 8 元；超过 3 km 的部分，每千米 1.8 元。某人乘车 x km（x > 3），应付车费 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列函数的定义域： （1）f(x) = + ； （2）f(x) = ； （3）f(x) = + 。 16. 已知 f(x) 是一次函数，且满足 3f(x + 1) − 2f(x − 1) = 2x + 17，求 f(x) 的解析式。 学科网（北京）股份有限公司 $