精品解析：上海市浦东新区华东师范大学第二附属中学前滩学校2026-2027学年九年级上学期数学学科小练习

数学学科小练习 （时间：100分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分） 1. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 3. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 5. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 6. 如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共2个． 二、填空题（每题4分） 7. 若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 比例中项的定义是：若线段是线段的比例中项，则满足，即． 已知两条线段长为和，代入得：， 解得（线段长度为正，舍去负根）． 8. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 9. 二次函数的图象的对称轴为_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 10. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 11. 若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 12. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 13. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：. 14. 已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数表达式是解题的关键． 依题意，设该抛物线表达式为，代入，从而得到抛物线的表达式，根据水面上升3米，则，求得此时对应的横坐标，从而得到此时的水面宽度，进而求得答案． 【详解】解：依题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线表达式为， 代入得， 解得， ∴， 如果水面上升3米，则， 此时， 解得，， ∴此时水面宽度为（米）， ∴水面宽度减少（米）． 故答案为：4． 15. 将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是___________． 【答案】y=-x2-1 【解析】 【详解】解：根据题意，-y=（-x）2+1，得到y=-x2-1． 故旋转后的抛物线解析式是y=-x2-1． 故答案是：y=-x2-1 16. 如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解． 【详解】解：由题意，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，此时，故最小值为， 理由：由点的对称性知，， 又两点之间，线段最短， ∴． 令， 或， 又令，则， 点、、的坐标分别为、、， ，． ∴． ∴的最小值为． 17. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分，和三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若，即时，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为-1或， 故答案为：或． 18. 已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 三、解答题（满分78分） 19. 已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 【答案】一次函数图象与坐标轴围成的面积为或 【解析】 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积． 【详解】解：， ，，， ， 当时，，解得， 一次函数解析式为； 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时，即， ， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 20. 在画二次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 0 m n 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值：_______；_______；_______；_______； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势，说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】（1）2，，， （2）解：描点，连线，画出函数图象如下： 由图象可知：在直线的左侧图象下降，在直线的右侧图象上升，当时，有最小值为． 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可； （2）描点，连线画出函数图象，根据图象描述增减性即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，函数图象与轴的两个交点坐标为和， ∴二次函数的解析式为， ∴， 当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 【答案】 点C即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图、比例线段等知识点，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 如图：先作出射线，在射线上依次截取线段，连接，作交于C，点C即为所求． 【详解】略 22. 已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，得出，，推出即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米． （1）______米（用含x的代数式表示）； （2）矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，理由： 由题意得 ∴对称轴是直线 由题意得 ∵，即 ∴              ∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧S随x的增大而减小 ∴当x取最小值时，S取最大值 ∴时， 【解析】 【分析】（1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）把二次函数表达式化成顶点式，再根据二次函数的性质求得结果． 【小问1详解】 设篱笆长为x米， ∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门， ∴米． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的应用、列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准数量量关系，正确列出函数解析式，利用二次函数的性质求解． 24. 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式； （2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ （3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 【答案】（1）； （2）它能通过该隧道； （3）货运卡车不能通过． 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+c,根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论； （2）当y=2.4时代入（1）的解析式求出x的值和高作比较，就求出结论； （3）据题意，求出当x=-2.6m或x=0.2+2.4=2.6m时，对应的y值，与高4.4m相比较，即可求出答案． 【小问1详解】 ∵OE为线段BC的中垂线， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8m,AB=CD=2m, ∴OC=4． ∴D（4，2，）．E（0，6）． 设抛物线的解析式为y=ax2+c,由题意，得 ， 解得： ， ∴； 【小问2详解】 由题意，得 当y=4.4时，， 解得：， ∴宽度为：， ∴它能通过该隧道； 【小问3详解】 据题意，x=-0.2-2.4=-2.6m或x=0.2+2.4=2.6m, 把x=±2.6代入解析式， 得y=4.31m. ∵4.31m＜4.4m, ∴货运卡车不能通过． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 25. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． （3）如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时点M的坐标为 （3）存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科小练习 （时间：100分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（每题4分） 1. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 2. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 3. 已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 如图，抛物线（）的部分图象，其顶点坐标为，与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分） 7. 若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 8. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 9. 二次函数的图象的对称轴为_______________． 10. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 11. 若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 12. 如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 13. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 14. 已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米． 15. 将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是___________． 16. 如图，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，当最小时，则______． 17. 已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为__________． 18. 已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 三、解答题（满分78分） 19. 已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 20. 在画二次函数的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 0 m n 0 … （1）直接写出b、c、m、n的值：_______；_______；_______；_______； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的大致图象，并描述图象的变化趋势，说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 21. 如图，已知线段，在线段上求作一点C，使． 22. 已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值． 23. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米． （1）______米（用含x的代数式表示）； （2）矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由． 24. 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式； （2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？ （3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 25. 已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． （3）如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $