江苏省新海高级中学2026-2027学年高三年级九月学情调研测试数学试题

新海高级中学高三年级九月学情调研测试数学试题 试题满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，满足，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则（ ） A．25 B．5 C． D． 6．下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．已知函数，实数，，满足．若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ） A． B． C．4 D．6 8．已知对于，都有，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知，则a，b满足（ ） A． B． C． D． 10．如图，直三棱柱中，，，为的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱柱的外接球的表面积为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若奇函数，且，（且），则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两个焦点坐标分别是，，并且经过点的椭圆方程为__________． 13．设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 14．设，为实数，函数和．设，，若存在，，使得，则称和“零点贴近”．当时，函数与“零点贴近”，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 已知二次函数是上的偶函数，且，． （1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （2）当时，解关于的不等式． 16．（本题15分） 已知双曲线，过点作直线． （1）是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （2）若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 17．（本题15分） 某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏． （1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率； （2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列； （3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由． 18．（本题17分） 如图，四边形为梯形，，，侧面为等边三角形，平面平面，，点在边上，且． （1）证明：平面； （2）当平面与平面夹角的正切值为时，求四棱锥的体积． 19．（本题17分） 设，若对任意的，，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求两零点之积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $