精品解析：江苏宿迁市钟吾初级中学2026-2027学年第一学期八年级第一次学情自测数学试卷

宿迁市钟吾初中2026—2027学年度初二年级调研数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各组线段长度，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两条线段的长度和大于最长线段的长度即可． 【详解】解：A选项：，不能构成三角形． B选项：，不能构成三角形． C选项：，能构成三角形． D选项：，不能构成三角形． 2. 已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝50°，则∠F的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 80° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】要求∠F的大小，利用△ABC≌△DEF，得到对应角相等，然后在△DEF中依据三角形内角和定理，求出∠F的大小． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝80° ∴∠F＝180−∠D−∠E＝50° 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系． 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 4. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：A． 5. 已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解． 【详解】解：连接、，如下图： ∵是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴，,， 在和中 ， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∴． 6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再利用三角形外角性质求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 8. 如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，需满足的条件是，由与不一定相等，可推导出与不一定相等，则与不一定全等，可判断错误；作交的延长线于点，则，可证明，则，再证明，得，可判断正确；由，可知需满足的条件是，与已知条件不符，可判断错误；由，得，则，可判断错误． 【详解】解：连接、， ，， 需满足的条件是， 与不一定相等， 与不一定相等， 与不一定全等， 与不一定相等，故A错误； 作交的延长线于点，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故B正确； ， 需满足的条件是， 显然与已知条件不符， 不一定等于，故C错误； ，且，， ， ，故D错误， 故选：B． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的补角相等、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9. 在等腰三角形中，若，则的度数是______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】已知等腰三角形中，钝角只能作为等腰三角形的顶角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质计算即可． 【详解】解：∵若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理， ∴只能是等腰三角形的顶角， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 【答案】 3或7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由三角形的中线定义可得，分别表示出周长和的周长，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 由于周长与的周长相差，故分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 11. 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可. 【详解】解：∵这两个三角形全等 ∴x=6，y=5 ∴x + y =11 故答案为11. 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键. 12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，请添加一个条件______，可利用得到． 【答案】 【解析】 【分析】由得，由得，根据判定定理，需补充夹角的另一边相等． 【详解】解：， ， ， ， 即， 要利用证明， 已知，，是与的夹角，是与的夹角， 需添加． 13. 已知a，b，c是等腰三边长，满足，则周长是______． 【答案】19 【解析】 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，分情况讨论等腰三角形的腰长，根据三角形三边关系排除不能构成三角形的情况，计算得到周长． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， ∴ ，， ∵ 是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 若腰长为，则三边长为，，， ∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去， ② 若腰长为，则三边长为，，， ∵ ，满足三角形三边关系，可以构成三角形 此时周长为， ∴ 的周长为． 14. 点在内，且到三边的距离相等，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点在内，且到三边的距离相等，得到点为三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120 15. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：16． 16. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明，则，据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴的周长． 17. 如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有_________个． 【答案】8 【解析】 【分析】分为两种情况：①以AB为底时，②以AB为腰时，想象画出图形，即可得出答案． 【详解】解：连接AB， 分为两种情况： ①以AB为底时，作AB的垂直平分线分别交两直线于一点，此时符合的有两个点 ； ②以AB为腰时，第一种情况：以B为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共2个（A点除外）， 第二中情况：以A为圆心，以AB为半径画弧，与两直线的交点共4个， 即满足条件的有(个)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，分情况讨论才能做到不重不漏是解题的关键． 18. 如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共有10小题，满分96分） 19. 已知a，b，c是的三边长．化简：． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系判断各绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可化简． 【详解】解：∵，，是的三边长， ∴三角形两边之和大于第三边， ∴， ∴， ， ， ∴， ， ， ∴原式 ． 20. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 在与中， ． 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 21. 如图，，点，，在同一条直线上. （1）求证：； （2）当，时，求线段的长. 【答案】（1） 证明：， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键． 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 垂直平分， ， 又， ， 是的中点， ； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由线段垂直平分线的性质得到，进而证明，再由三线合一定理即可证明； （2）设，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质推出，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， 由三角形的外角的性质，， ， 在△中，， 解得6， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 23. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF． 求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE； （2）OE＝OF． 【答案】 证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中 ∵， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）； （2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证）， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF． 【解析】 【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键． 24. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 25. 如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在、处参加植树活动，要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到、两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出点（不写画法，但保留作图痕迹) 【答案】如图所示： 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线以及角平分线，要使点到点，的距离相等，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知点应该在线段的垂直平分线上； 要使点到两条道路的距离相等，根据角平分线性质定理的逆定理可得点在的角平分线上，据此分别作出的垂直平分线以及的角平分线，两线的交点即为满足条件的点． 【详解】解：（1）作出的平分线； （2）连接，作的垂直平分线交于点，点就是所求的点． 26. 如图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中，， ． ， 即， 平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，即可得证； （2）过点P作于点G，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点P作于点G． 平分，， ． 且， ，， ， ． 27. 在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【答案】（1）证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， 【解析】 【分析】（1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】（1） （2）成立，理由如下， 解：延长到点，使，连接， ，， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出 （2）根据平角的定义和，通过等量代换推出，根据边角边证明，推出，再利用边边边证明推出，结合图形通过等量代换即可求出． （3）根据题意可推出，利用平角的定义通过等量代换推出，结合已知条件，利用边角边证明推出和，再结合已知条件，利用边边边证明即可证明，利用，通过等量代换推出，结合图可知，从而求出度数． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， ，，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作的延长线，使，连接，如图所示， 由题意可知，，，，，，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 由图可知，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市钟吾初中2026—2027学年度初二年级调研数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各组线段长度，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠E＝50°，则∠F的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 80° D. 100° 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 4. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9. 在等腰三角形中，若，则的度数是______． 10. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 11. 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________． 12. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，请添加一个条件______，可利用得到． 13. 已知a，b，c是等腰三边长，满足，则周长是______． 14. 点在内，且到三边的距离相等，若，则_____． 15. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________． 16. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是_______． 17. 如图，直线 相交于点A，点B是直线外一点，在直线 上找一点C，使 为一个等腰三角形．满足条件的点C有_________个． 18. 如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为________． 三、解答题（本大题共有10小题，满分96分） 19. 已知a，b，c是的三边长．化简：． 20. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 21. 如图，，点，，在同一条直线上. （1）求证：； （2）当，时，求线段的长. 22. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF． 求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE； （2）OE＝OF． 24. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 25. 如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在、处参加植树活动，要在道路、的交叉区域内设一个茶水供应点，使到、两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出点（不写画法，但保留作图痕迹) 26. 如图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 27. 在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 28. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，，点，分别是，上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以40海里/时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $