22.4位似图形课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　图形的相似 22.4　位似图形 学习目标 1.了解位似图形及其有关概念，理解位似图形的性质.(重点) 2.能根据位似图形的性质进行简单的作图.(难点) 课堂引入 我们学习过哪些图形的变换？连一连.   第四个图形你能确定是哪种变换吗？本节来学习. 一、 理解位似图形的概念与性质 问题1　如何把多边形ABCDE放大到1.5倍？ 提示　要把多边形ABCDE放大到1.5倍，也就是使所得的多边形与原多边形的相似比为1.5.如图，我们可以按下列步骤画出所需的多边形： (1)任取一点O； (2)以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD和OE； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD和OE上取点A'，B'，C'，D'和E'，使OA'∶OA＝OB'∶OB＝OC'∶OC＝OD'∶OD＝OE'∶OE＝1.5； (4)顺次连结点A'，B'，C'，D'和E'，就得到所要画的多边形A'B'C'D'E'. 问题2　下面每个图形中的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是相似图形.分别观察这五个图形，你发现每个图形中的两个四边形的各对应点的连线有什么特征？ 提示　每个图形中的两个四边形的各组对应点所在的直线交于一点. 知识梳理 1.位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，各组对应顶点到该点的距离之比相等，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心. 2.位似图形的性质： (1)位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质； (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似图形的相似比也叫做位似比)； (3)对应线段平行或者在一条直线上. 例1　判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如果是，请指出其位似中心. 解　(1)是位似图形，位似中心为点A. (2)是位似图形，位似中心为点P. (3)不是位似图形. (4)是位似图形，位似中心为点O. (5)不是位似图形. 反思感悟 (1)判断两个图形是不是位似图形的关键：①两个图形是相似图形；②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点(位似中心).二者缺一不可. (2)找位似中心的方法：连结两组对应点连线的交点就是位似中心. 跟踪训练1　(1)下列选项中的两个图形不是位似图形的是 解析　A项，连结两个正六边形对应点交于正六边形的中心O，故是位似图形； B项，连结两个相似四边形对应点交于点O，故是位似图形； C项，连结两个相似三角形对应点交于点O，故是位似图形； D项，连结此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形. √ (2)如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积比是  A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1 解析　∵OA＝AD，∴OA∶OD＝1∶2， ∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC与△DEF的位似比是1∶2. ∴△ABC与△DEF的相似比为1∶2，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶4. √ (3)如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.  ①图中有哪几对位似三角形？ 解　∵AB∥CD∥EF， ∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，一共有3对. (3)如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.  ②选其中一对加以证明. 证明　∵AB∥CD∥EF， ∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点， ∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，一共有3对. 二、 位似图形的画法 问题3　如何画四边形ABCD的位似图形，使位似比为2∶1？ 提示　如图1所示，任取一点O，作直线OA，OB，OC，OD，在点O的另一侧取点A'，B'，C'，D'，使OA'∶OA＝OB'∶OB＝OC'∶OC＝OD'∶OD＝2，这样就可以得到放大到2倍的四边形A'B'C'D'.   实际上，如图2所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且比较简便. 知识梳理 作位似变换的步骤： ①确定位似中心； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； ③确定相似比，根据相似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； ④找到对应点，顺次连结，即可得到位似变换后的图形. 例2　如图所示，已知△DEF和△ABC位似，且相似比为2，位似中心为点O，请画出△DEF. 解　方法一　如图所示，画射线OA，OB，OC；  在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F， 使OD＝2OA，OE＝2OB，OF＝2OC. 顺次连结D，E，F，则△DEF与△ABC位似，相似比为2. 方法二　如图所示，△ABC与△DEF在点O异侧，  画射线AO，BO，CO；在射线AO，BO，CO上分别取 点D，E，F，使OD＝2OA，OE＝2OB，OF＝2OC； 顺序连结D，E，F，则△DEF与△ABC位似，相似比为2. 反思感悟 (1)利用位似变化可以把一个图形放大或缩小. (2)符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形. 跟踪训练2　如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A'C'的端点都在小正方形的顶点上，且△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A'，C'，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹. (1)请在方格图中画出位似中心O； 解　位似中心O，如图1即为所求. 跟踪训练2　如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A'C'的端点都在小正方形的顶点上，且△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A'，C'，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹. (2)请在方格图中将△A'B'C'补画完整； 解　△ABC关于点O的位似图形△A'B'C'，如图2即为所求. 跟踪训练2　如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A'C'的端点都在小正方形的顶点上，且△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A'，C'，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹. (3)求△A'B'C'的面积. 解　S△A'B'C'＝4×4－×4×2－×2×2－×4×2＝6. 课堂小结 1.如图，在6×7的方格纸中，点A，B，C，D均在格点上，线段CD与线段AB位似，则下面四点中，可能是它们的位似中心的是  A.点P4 B.点P3 C.点P2 D.点P1 随堂演练 √ 解析　连结CA，DB并延长，如图，交点即为它们的 位似中心，  ∴在6×7的方格纸中，线段CD与线段AB位似，则可 能是它们的位似中心的是P1. 2.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且， FG＝8，则BC的长为  A.6 B.7 C.14 D.16 随堂演练 解析　∵，∴， ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，∴，即，∴BC＝14. √ 3.如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若AP＝A1P，△ABC的面积为6，则△A1B1C1的面积是　　　　.  随堂演练 解析　∵△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，AP＝A1P， ∴△ABC∽△A1B1C1，∵△ABC的面积为6， ∴， ∴，∴＝24. 24 4.作图：如图所示，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2. 随堂演练 解　如图所示. 5.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上. (1)画出位似中心点O； 随堂演练 解　如图所示，分别作射线C'C，B'B，交于点O，则点O就是要求作的位似中心. 5.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上. (2)求出△ABC与△A'B'C'的相似比； 随堂演练 解　因为BC＝，B'C'＝＝2， 所以△ABC与△A'B'C'的相似比为∶2＝1∶2. 5.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上. (3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5. 随堂演练 解　如图所示，作射线OA，在射线OA，OB， OC上依次取点A1，B1，C1，使 ＝1.5，顺次连结点A1，B1，C1，所得到的△A1B1C1就是符合要求的图形. 谢谢观看 $