22.5.2　图形的变换与坐标课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.5　图形与坐标 22.5.2　图形的变换与坐标 学习目标 1.经历图形坐标变化与图形的平移、轴对称和位似变换之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识.(重点) 2.在同一直角坐标中，感受图形上点的坐标变化与图形变换之间的关系.(难点) 3.能够应用图形的变换与坐标解决几何问题.(难点) 课堂引入 1.图形平移的概念： 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. 2.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 3.位似图形的概念： 两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. 思考：在同一个平面直角坐标系中，一个图形经过平移、轴对称、放大缩小等变换后，该图形上各点的坐标会如何变化呢？ 一、 图形平移时坐标的变化规律 问题1　(1)如图，△AOB的三个顶点的坐标分别是：　　，　　，　　； (2)把△AOB向右平移3个单位长度后得到△A'O'B'，△A'O'B'三个顶点的坐标分别是：　　　　，　　　　，　　　　；  (3)把△AOB向左平移2个单位长度后，各对应顶点的 坐标分别是　 　，　 　，　 　；  (4)你能总结出图形左右平移后，坐标的变化规律吗？ (5)你能类比得到的规律，总结图形上下平移后，坐标的变化规律吗？ 提示　(1)A(2，4)，O(0，0)，B(4，0). (2)A'(5，4)，O'(3，0)，B'(7，0). (3)(0，4)，(－2，0)，(2，0). (4)左右平移时，纵坐标不变，横坐标左减右加. (5)上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减. 知识梳理 图形平移时坐标的变化规律： (1)点(x，y)向左平移a(a>0)个单位长度⇔平移后的坐标为_________； (2)点(x，y)向右平移a(a>0)个单位长度⇔平移后的坐标为_________； (3)点(x，y)向上平移a(a>0)个单位长度⇔平移后的坐标为_________； (4)点(x，y)向下平移a(a>0)个单位长度⇔平移后的坐标为_________. (x－a，y) (x＋a，y) (x，y＋a) (x，y－a) 例1　如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2).  (1)填空：点A的坐标是　　 　，点B的坐标是　　　 ； 解　A(2，－1)，B(4，3). 例1　如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2).  (2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A'B'C'.请写出△A'B'C'的三个顶点坐标； 解　如图，△A'B'C'为所作.A'(0，0)，B'(2，4)，C'(－1，3). 例1　如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2).  (3)求△ABC的面积. 解　△ABC的面积＝3×4－×2×4－×3×1－×3×1＝5. 反思感悟 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度. 跟踪训练1　(1)将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则A(5，－6)的坐标变为 A.(2，－4) B.(8，－4) C.(2，－8) D.(8，－8) √ 解析　由题知，将x轴向上平移2个单位长度后，点A坐标变为(5，－8)， 再将y轴向左平移3个单位长度后，点A坐标变为(8，－8). (2)在平面直角坐标系中，把点A(m，2)先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B.若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝　　　. 解析　∵把点A(m，2)先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B为(m＋1，5)，∵点B的横坐标和纵坐标相等时，∴m＋1＝5，∴m＝4. 4 二、 图形轴对称时坐标的变化规律 问题2　(1)如图，△AOB的三个顶点的坐标分别是：　 　， 　 　，　 　；  (2)△AOB关于x轴对称的轴对称图形△A'OB的坐标分别是： 　　　，　　　　，　　　　；  (3)根据(1)(2)中的结果，你能总结出图形变化后，坐标的变化规律吗？ (4)你能类比得到的规律，总结图形关于y轴对称变换后坐标的变化规律吗？ (5)结合前面的探究成果，你能得出中心对称变换后坐标的变化规律吗？ 提示　(1)A(2，4)，O(0，0)，B(4，0). (2)A'(－2，4)，O(0，0)，B(4，0). (3)若点(x，y)关于x轴对称，则对称点的坐标为(x，－y). (4)若点(x，y)关于y轴对称，则对称点的坐标为(－x，y). 知识梳理 平面直角坐标系中点(或图形)的对称规律： ①关于x轴对称：横坐标_____，纵坐标互为_______； ②关于y轴对称：横坐标互为_______，纵坐标_____； ③关于原点对称：横、纵坐标均互为_______. 不变 相反数 相反数 不变 相反数 例2　如图，在直角坐标系中，A(－1，5)，B(－3，0)，C(－4，3). (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； (2)写出点C1的坐标. 解　(1)如图所示.   (2)点C1的坐标为(4，3). 跟踪训练2　(1)在平面直角坐标系中，点A(a，4)，点B(3，b)关于x轴对称，则a＋b的值为　　　　.  －1 解析　根据题意可知，a＝3，b＝－4，∴a＋b＝3＋(－4)＝－1. (2)已知点A(2a＋2，3－3b)与点B(2b－4，3a＋6)关于坐标原点对称，求a与b的值. 解　∵点A(2a＋2，3－3b)与点B(2b－4，3a＋6)关于坐标原点对称， ∴解得 三、 位似变换的点的坐标变化规律 知识梳理 位似图形坐标的变化规律： 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为______________________. (kx，ky)或(－kx，－ky) 例3　如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A(－1，1)，B(2，3)，C(0，3). (1)以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'； 解　如图所示，△A'B'C'即为所求. 例3　如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A(－1，1)，B(2，3)，C(0，3). (2)顶点A'的坐标为　　　　，△A'B'C'与△ABC的面积之比为　　　　.  解　由(1)中所作图形可得顶点A'的坐标为(－2，2)，由相似三角形性质可知，△A'B'C'与△ABC的面积之比为4∶1. 跟踪训练3　(1)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(12，9)，B(10，0)，以点O为位似中心，在第三象限内作△OAB的位似图形△OCD，且，则点C的坐标为  A.(－3，－3) B.(－4，－3) C.(－3，－4) D.(－6，－3) √ 解析　∵点O为位似中心，△OAB的位似图形为△OCD，且， 即位似比为，而A(12，9)，∴C，即(－4，－3). (2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)，以O为位似中心，在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2，并求出△A1B1C1的面积. 解　画出△ABC的位似图形△A1B1C1和△A2B2C2，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2，如图，  ∴△A1B1C1的面积＝×4×4＝8. 课堂小结 1.已知平面直角坐标系中一点A(－1，2)，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点 A.(4，1) B.(4，3) C.(－4，1) D.(－4，3) 随堂演练 √ 解析　已知平面直角坐标系中一点A(－1，2)，若将点A向下平移，再向右平移，得到的点的横坐标大于－1，纵坐标小于2，故符合题意的只有点(4，1). 2.将点P(3m－1，m＋2)向上平移1个单位长度得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为 A.(－5，0) B.(－10，0) C.(－5，－1) D.(－10，－1) 随堂演练 √ 解析　由题意得，Q(3m－1，m＋3)，∵点Q在x轴上，∴m＋3＝0， ∴m＝－3，∴3m－1＝－10，m＋2＝－1，∴P(－10，－1). 3.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(2m，－n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(3－n，－m＋1)，则(m－n)2 026的值为　　　　.  随堂演练 1 解析　由题意得解得 ∴(m－n)2 026＝(－4＋5)2 026＝1. 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形(点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)，已知△ABC的顶点A(2，4)，若点D的坐标为(1，2)，△DEF的面积为2，则△ABC的面积为　　　　.  随堂演练 8 解析　∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，A(2，4)，D(1，2)， ∴△ABC与△DEF的相似比为2∶1，∴△ABC与△DEF的面积比为4∶1， ∵△DEF的面积为2，∴△ABC的面积为8. 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2). (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； 随堂演练 解　如图，△A1B1C1为所作. 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2). (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点A2，B2，C2的坐标； 随堂演练 解　如图，△A2B2C2为所作，A2(－8，－2)，B2(－4，－6)，C2(－2，－4). 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)，C(1，2). (3)若方格中每个小正方形的边长为1个单位长度，求△A2B2C2的面积. 随堂演练 解　△A2B2C2的面积＝6×4－×2×2－×2×6－×4×4＝8. 谢谢观看 $