8.6　双曲线 课件-2027届高考数学一轮复习

8.6　双曲线 第八章 2027 课标要求 1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 备考指导 双曲线是高考命题的重点,考查频率很高,一般出现在选择题或填空题中,偶尔也在解答题中考查,中等难度.在近几年高考中,双曲线的考查方式越来越灵活. 本节重点是双曲线的定义、方程、几何性质,尤其是离心率和渐近线,常用的方法有定义法、公式法、代入法、待定系数法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 温馨提示若F1,F2为两个定点,点M满足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0,则有如下结论:(1)当2a<|F1F2|时,点M的轨迹是双曲线;(2)当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是两条射线;(3)当2a>|F1F2|时,点M的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 问题思考 方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么? 若A>0,B<0,则方程Ax2+By2=1表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线,故Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<0. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内到点F1(0,5),F2(0,-5)的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线.(　　) × × √ √ √ 2.(多选)已知双曲线 (λ≠0),则不因λ改变而变化的是(　　) A.渐近线方程 B.顶点坐标 C.离心率 D.焦距 AC B D 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 双曲线的定义 例1　(1)平面内有两个定点F1,F2和一个动点M,设有p:||MF1|-|MF2||是定值,q:点M的轨迹是双曲线,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 当||MF1|-|MF2||是定值时,动点M的轨迹不一定是双曲线. 当点M的轨迹是双曲线时,一定能得到||MF1|-|MF2||是定值. 因此p是q的必要不充分条件. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 (2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线C上, |PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 拓展延伸 若将本例第(2)小题中的条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a=2.在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2=, 则有|PF1||PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|-16,得|PF1||PF2|=8. 因此|PF1|·|PF2|sin 60°=2. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 解题心得1.理解双曲线的定义,注意关键点“距离的差的绝对值为非零常数”,既要明确是距离的差的绝对值,又要明确这一非零常数的取值限制. 2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,建立与|PF1|·|PF2|的联系. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 对点训练1 (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是 (　　) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 B 如图,连接ON,由题意可得|ON|=1, 因为N为MF1的中点,O为F1F2的中点,所以|MF2|=2. 因为线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P, 所以|PM|=|PF1|. 所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|=4. 由双曲线的定义可得点P的轨迹是双曲线. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点2 双曲线的标准方程 例2　(1)(2024天津,8)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 如图,由题意可知,点P必在第四象限,∠F1PF2=90°. ∵∠F1PF2=90°,∴=-1.又=2,∴=-, ∴tan∠PF1F2=,即. 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m. ∵|PF1|·|PF2|=m·2m=8,∴m=2, ∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2=2c,则c=. 由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a=2,∴a=, ∴b2=c2-a2=8,∴双曲线的方程为=1.故选C. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 (2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　　　　　　　.  设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A,B, 则|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2<|C1C2|=6, 所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支. 又a=1,c=3,则b2=8. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 解题心得求双曲线标准方程的方法 (1)定义法. (2)待定系数法. ①当双曲线的焦点位置不确定时,设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0); 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 对点训练2 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点3 双曲线的几何性质 命题角度1 求离心率的值或取值范围 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 命题角度2 与渐近线有关的问题 例4　(1)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: (a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 (2)(2022全国Ⅱ,文15)记双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　　.  2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 解题心得1.双曲线的离心率与渐近线有密切联系,可通过公式来反映.求双曲线的离心率的一般思路就是根据已知条件,先建立起实半轴长a与虚半轴长b之间的关系,再结合c2=a2+b2,从而求出的值. 2.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,先要充分利用渐近线,对双曲线与直线的交点情况进行分析,再利用三角形或不等式知识解决问题. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 A 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 (3)(多选)(2025新高考Ⅱ,11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　　) A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.双曲线C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 ACD 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 令点M在第一象限,点N在第三象限.由题意知A1A2与MN互相平分, ∴四边形A1MA2N是平行四边形,∴∠A1MA2=π-∠NA1M=π-,A项正确; 以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,不妨取渐近线y=x, 联立得解得M(a,b),N(-a,-b),而A2(a,0),∴MA2⊥A1A2. ∵在Rt△MA2A1中,∠A1MA2=, ∴,B项错误; 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 ∵A1A2⊥MA2,∴|A1M|=, 由|A1M|=2|A1A2|,得=4a,即c2=13a2,即e2=13,∴e=,C项正确; ∵当a=时,c2=26,b2=24,即b=2, ∴=2ab=2××2=8,D项正确.故选ACD. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点4 直线与双曲线的位置关系 (1)求双曲线C的标准方程; (2)过点Q(1,1)的直线l与双曲线C交于M,N两点,且点Q恰好为线段MN的中点,求线段MN的长度. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 解题心得直线与双曲线的位置关系的判断方法和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但在联立直线方程与双曲线方程消元后,应注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 第三环节　学科素养提升 高考中双曲线的离心率问题 答案:C 解题心得1.求双曲线的离心率的值或取值范围,解答思路的关键是建立关于a,b,c的等式或不等式,然后转化为关于离心率e的关系式. 2.求双曲线的离心率的值或取值范围的具体方法: (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 3.求解双曲线的离心率问题可以结合双曲线的几何性质,利用已学的平面几何和三角形的知识搭建起所涉及量的长度或角度的关系. 标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2 1.渐近线的斜率与离心率的关系 双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为. 2.若P为双曲线上一点,F为双曲线的一个焦点,则|PF|≥c-a. 3.区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系,在椭圆中,a2=b2+c2,而在双曲线中,c2=a2+b2. 4.若双曲线=1(a>0,b>0)与=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则=1. (2)方程=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　) (3)双曲线=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是=0,即=0. (　　) (4)与双曲线=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为= λ(λ≠0).(　　) (5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(　　) =λ2 3.(2021北京,5)若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,且过点(),则该双曲线的方程为(　　) A.2x2-y2=1 B.x2-=1 C.5x2-3y2=1 D.=1 由已知得e==2,则c=2a,b=a,所以双曲线的方程为=1. 将点()的坐标代入双曲线的方程,可得=1,解得a=1. 故双曲线的方程为x2-=1. 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设该双曲线的方程为-y2=λ(λ≠0), 因为该双曲线过点(4,),所以-()2=λ,即λ=1. 故所求双曲线的标准方程为-y2=1. 4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 因为双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0, 所以-=-,所以=e2-1=,解得e= 5.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　.  -y2=1 由题意可知点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2|PF2|=4 又|F1F2|=4, 所以cos∠F1PF2= (2)设F1,F2为双曲线C:-y2=1的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C上,且|OP|=|OF1|,则△PF1F2的面积为(　　) A. B.2 C. D.1 由已知得a=,c=2.因为|OP|=|OF1|=|F1F2|, 所以点P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16. 又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以12= =|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2| =16-2|PF1||PF2|, 所以|PF1||PF2|=2,所以|PF1||PF2|=1. x2-=1(x≤-1) 故动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). ②与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程设为=λ(λ≠0); ③与双曲线=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程设为=1 (-b2<k<a2). 设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若F1,F2, P(0,2b)为等边三角形的三个顶点,且双曲线经过点Q(),则该双曲线的方程为 (　　) A.x2-=1 B.=1 C.=1 D.=1 由题意可知2b=c,则有3c2=4b2=3(a2+b2),所以b2=3a2. 又双曲线=1过点Q(), 所以=1,即=1,解得a2=4. 故双曲线方程为=1. 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y=x,即bx-ay=0,点A(a,0), 则点A到这条渐近线的距离为d= 因为△ABC的面积为c2,所以2cc2,即2ab=c2, 所以4a2b2=c4,即4a2(c2-a2)=c4,所以c2=2a2,即c=a,所以e= 例3　(1)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的一个顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B,C两点.若△ABC的面积为c2,则该双曲线的离心率为(　　) A.3 B.2 C. D. (2)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),左、右焦点分别是F1,F2,点P在双曲线C的右支上,且c|PF2|=a|PF1|,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A.(1,) B.(,+∞) C.(1,1+] D.[1+,+∞) 由已知得,|PF1|-|PF2|=2a,所以,即, 因为|PF2|≥c-a,所以|PF2|=c-a, 所以a2+2ac-c2≥0,即e2-2e-1≤0,解得1-e≤1+ 又e>1,所以1<e≤1+ =1 由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=±x. 因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点, 所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b. 所以S△ODE=2b·a=ab=8. 所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时取等号. 所以c≥4,所以2c≥8. 所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B. =1 (答案不唯一,只要1<e即可) 由题意知,双曲线C的渐近线方程为y=±x, 要使直线y=2x与双曲线C无公共点,只需2即可. 由2,得4,所以e2≤5,故1<e 对点训练3 (1)(2021天津,8)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px (p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点,若|CD|=|AB|,则双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D.3 由已知得抛物线y2=2px(p>0)的准线为直线x=-c. 令x=-c,则=1,解得y=±,所以|AB|= 因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以|CD|= 又|CD|=AB,所以,即c=b,所以a=c. 所以双曲线的离心率e= (2)(2023天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 双曲线的渐近线方程为y=±x,由双曲线的对称性,不妨过点F2作渐近线y=x的垂线,如图所示.设点P(m,),F1(-c,0),F2(c,0),则有. 因为PF2⊥OP,所以=-1,即=-1.整理得m(a2+b2)=a2c. 又a2+b2=c2,所以m=,即P(). 由题意,知点F2到渐近线y=x的距离|PF2|=2,即=b=2. 又,将b=2代入上式,整理得a2-2a+2=0,解得a=. 故所求双曲线的方程为=1. 故选D. 例5　在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C的焦点为(0,-),(0,),实轴长为2. 解 (1)因为双曲线C的焦点为(0,-),(0,),实轴长为2,所以c=,2a=2,即a=所以b2=c2-a2=3-2=1, 所以双曲线C的标准方程为-x2=1. (2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),因为点Q(1,1)恰好为线段MN的中点, 所以x1+x2=2,y1+y2=2. 将点M,N的坐标分别代入双曲线C的方程, 得两式相减,得(y1-y2)(y1+y2)=(x1-x2)(x1+x2), 即y1-y2=2(x1-x2),所以=2,即直线l的斜率k=2, 所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 由得2x2-4x-1=0,则x1x2=-, 所以|MN|= 对点训练4 已知双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2,且与双曲线交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为,△F1AB为等边三角形,求双曲线的渐近线方程; (2)设b=,若直线l的斜率存在,且()·=0,求直线l的斜率. 解 (1)由题意可知点F2(c,0),c=,因为直线l的倾斜角为, 所以可设点A(c,yA),所以=b2(c2-1)=b4. 因为△F1AB为等边三角形,所以2c=|yA|, 所以4(1+b2)=3b4,解得b= 故双曲线的渐近线方程为y=±x. (2)由已知得F1(-2,0),F2(2,0). 设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-2),显然k≠0. 由消去y,可得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0. 因为直线l与双曲线交于两点,所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>0.所以x1+x2= 设AB的中点为M(xM,yM),由()=0,得=0, 即F1M⊥AB,故k=-1. 因为xM=,yM=k(xM-2)=,所以,所以k=-1, 解得k=± 故直线l的斜率为± 典例1　已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线C交于P,Q两点,且=3,若|F2P|=|F2Q|,则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D.3 解析:如图,作F2H⊥PQ于点H,则H为PQ的中点. 由=3,可知|F1P|=|PH|=|HQ|. 设|F1P|=m,|F2P|=n,可得解得 所以|F1H|=4a,|F2H|=2a. 在Rt△F1HF2中,|F1H|2+|F2H|2=|F1F2|2, 可得16a2+12a2=4c2,即7a2=c2,所以c=a. 所以双曲线C的离心率e=.故选C. 典例2　设双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为　　　　　.  答案: 解析:由题意得,即b=a. ∵c2=a2+b2=3a2,∴c=a,∴e=. 典例3　(2022浙江,16)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2),且x1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是　　　　　.  答案: 解析:由=3,得x2=3x1+2c, 由解得x2=,则x1=-c. 由得16x2-(x+c)2=16a2. 将x1代入上式得,(5x1+c)(3x1-c)=16a2,所以(-c+c)(-c-c)=16a2, 整理得,故e=. (1)求出a,b,c的值,利用e=求e的值; $