8.6 双曲线 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦双曲线专题，依据课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质（离心率、渐近线等）核心考点，通过教材改编题和模拟题分析，明确离心率计算、渐近线方程、定义应用为高频考点，归纳选择、填空及解答题常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“基础诊断+考点突破+规律总结”策略，如通过焦点三角形余弦定理应用培养数学思维，结合渐近线与圆相切问题训练数学眼光，归纳离心率计算“公式法”和“方程法”。设“易错警示”和“变式训练”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统教学，提升复习效率。

第6节　双曲线 高考总复习 2027 课标解读　1.通过双曲线的实际背景理解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册习题3.2第3题改编)双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x C 解析 令2y2-x2=0得双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是y=±x. 2.(人教A版选择性必修第一册第3.2.2节例3改编)双曲线-x2=1的离心率为(　　) A. B. C. D. C 解析 双曲线-x2=1的焦点在y轴上,a=,b=1,c==2,所以离心率为. 3.(人教A版选择性必修第一册3.2.1节练习第3题改编)已知方程 =1表示双曲线,则m的取值范围为　　　　　　　　　.  (-∞,-2)∪(-1,+∞) 解析 由曲线=1是双曲线,得(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1,所以实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(-1,+∞). 4.(人教A版选择性必修第一册3.2.1节练习第4题改编)设P是双曲线 =1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=　　　　.  17 解析 根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,因为|PF1|=9,所以|PF2|=1或|PF2|=17.又|PF2|≥c-a=2,所以|PF2|=17. 知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的　　　 　　　　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做　　　　　　　　,两焦点间的距离叫做　　　　　　　.  数学表达式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|} 距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 微点拨 1.要注意定义中的“绝对值”,若没有绝对值,当|MF1|-|MF2|=2a (0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F2的双曲线的一支;当|MF1|-|MF2| =-2a(0<2a<|F1F2|)时,点M的轨迹为靠近点F1的双曲线的一支. 2.要注意定义中2a的范围限制.若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,则点M的轨迹不存在;若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为=1 (a>0,b>0). (2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为=1 (a>0,b>0). 微点拨 在双曲线的标准方程中,看x2与y2的系数的正负,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上.即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”. 3.双曲线的几何性质 标准方程 =1 (a>0,b>0) =1 (a>0,b>0) 图形     标准方程 =1 (a>0,b>0) =1 (a>0,b>0) 简单几何性质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴为　　 　,对称中心为　　　  顶点 　　　 　　　  A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 直线y=±x 直线y=±x 离心率   e=,e∈(1,+∞),其中c= 离心率决定双曲线开口的大小,e越大开口越大 实虚轴 实轴长|A1A2|=　　　,虚轴长|B1B2|=　　　; 实半轴长为 　　,虚半轴长为　　  a,b,c的关系 c2=　　　　　(c>a>0,c>b>0)  坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0)　 2a　 2b a　 B a2+b2 研考点•精准突破 考点一　双曲线的定义及其应用 考点一　双曲线的定义及其应用 例1　(1)[一题多变]已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=　　　　　.  　 解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, ∴|PF1|=2|PF2|=4, 则cos∠F1PF2==. 考点一 考点二 考点三 (2)已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.  9 解析 因为F是双曲线=1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式1](变条件变结论)在本例(1)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=, ∴|PF1||PF2|=8,∴|PF1||PF2|sin 60°=2. 考点一 考点二 考点三 [变式2](变条件变结论)在本例(1)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为 “=0”,则△F1PF2的面积是多少? 解 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2, ∵=0,∴, ∴在△F1PF2中,有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16, ∴|PF1||PF2|=4, ∴|PF1||PF2|=2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　双曲线定义的应用主要有两个方面 考点一 考点二 考点三 考点二　双曲线的标准方程 例2　(1)(2025·天津和平模拟)已知双曲线C的上、下焦点分别为点F1,F2,若双曲线C的实轴长为1,且双曲线C上的点P满足PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4,则双曲线C的方程为(　　) A.y2-=1 B.y2-=1 C.4y2-=1 D.4y2-=1 D 考点一 考点二 考点三 解析 由题意设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),半焦距为c(c>0),由题意可知a=. 由于PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4,故得c=, 故b=,故双曲线C的方程为4y2-=1.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)已知圆C1:(x+3)2+y2=9,圆C2:(x-3)2+y2=1,若动圆E与C1,C2都外切,则圆心E的轨迹方程为　 .  x2-=1(x≥1) 解析 圆C1:(x+3)2+y2=9的圆心为C1(-3,0),半径r1=3;圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径r2=1. 由于动圆E与圆C1,C2都外切,设动圆E的半径为r,则|EC1|=r+3,|EC2|=r+1,所以|EC1|-|EC2|=3-1=2<|C1C2|,所以点E的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支. 设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则a=1,c=3,b==2,所以E的轨迹方程为x2-=1(x≥1). 考点一 考点二 考点三 规律方法　求双曲线方程的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练](1)一条渐近线方程为2x+3y=0,且经过点(3,2)的双曲线的标准方程是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 A 解析 由题意设双曲线的方程为4x2-9y2=λ,将点(3,2)代入双曲线方程得λ=4×(3)2-9×(2)2=36,所以双曲线的方程为4x2-9y2=36, 即=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·辽宁点石联考)已知A(-3,0),B(3,0),O为坐标原点,N是圆O:x2+y2=4上任意一点,M是圆O外一点,若∠AMN=∠BMN,MN⊥BN,则点M的轨迹方程为(　　) A.=1(x≠0) B.=1(y≠0) C.=1(y≠0) D.=1(x≠0) B 考点一 考点二 考点三 解析 由题意知,圆O的半径r=2,延长BN交直线AM于点C,连接ON, 因为∠AMN=∠BMN,且MN⊥BN,所以|MB|=|MC|,且N为BC的中点. 所以ON∥AC,且|ON|=|AC|. 因此,||MA|-|MB||=||MA|-|MC||=|AC|=2|ON|= 4 <|AB|,所以点M在以A,B为焦点的双曲线上,设其方程为=1(a>0,b>0),可知2a=4,所以a=2. 又c=3,则b2=c2-a2=5,所以方程为=1,即|x|≥2, 又点M是圆O外一点,所以|x|>2,即|y|≠0,故所求轨迹方程为=1(y≠0).故选B. 考点一 考点二 考点三 考点三　双曲线的几何性质 考向1　渐近线 例3　(1)(2025·四川泸州模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线y=kx(k≠0)与双曲线C的左、右两支分别交于点A,B.若=0, |FA|=,则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x A 考点一 考点二 考点三 解析 设双曲线C的右焦点为F',由题意知四边形FAF'B为平行四边形. 因为=0,所以FA⊥FB, 故四边形FAF'B为矩形. 由双曲线定义得,在直角三角形AFF'中, |AF'|=|AF|+2a=, 由|AF'|2+|AF|2=|FF'|2,得()2+()2=(2c)2,解得. 所以,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2+8x+7=0相切,且双曲线的左焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D 解析 圆C:x2+y2+8x+7=0的圆心为C(-4,0),半径r=3.双曲线=1的一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,双曲线的左焦点(-c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d==b.由题意可知c=4,b=3,可得a2=c2-b2=7,所以该双曲线的方程为=1.故选D. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求双曲线渐近线方程的两种常用方法 考点一 考点二 考点三 考向2　离心率 例4　(1)(2025·全国1,3)已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 D 解析 (方法1)由题知,2b=×2a,∴b=a, ∴c==2a, ∴e==2.故选D. (方法2)由题可得,,则e==2.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·内蒙古赤峰模拟)已知双曲线H:=1(a>0,b>0),若直线x+y=0与双曲线H没有公共点,则双曲线H的离心率的取值范围为(　　) A.(0,) B.(1,) C.(1,] D.[,+∞) C 解析 ∵双曲线H的一条渐近线方程为y=-x且y=-x的斜率为-1,∴-≥-1,则≤1,∴离心率e=.又e>1,∴离心率的取值范围为(1,]. 故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求双曲线离心率的值(或取值范围)的两种常用方法 考点一 考点二 考点三 $