第八章　8.6　双曲线-2027年高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦双曲线专题，覆盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，依据高考评价体系梳理离心率、渐近线、焦点三角形等高频考查维度，通过近五年真题及模拟题分析明确离心率计算占30%、渐近线方程占25%的考点权重，归纳定义应用、方程求解、性质分析三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+题型建模+素养提升”策略，如以2025全国Ⅰ卷离心率题为例，用数学思维推导a,b,c关系，通过焦点三角形面积公式培养数学语言表达，特设“定义绝对值忽略”等易错警示，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习冲刺。

双曲线 落实主干知识 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(_____ |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 绝对值 小于 焦点 焦距 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形     性 质 焦点 __________________ __________________ 焦距 __________ 范围 或 ，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) |F1F2|=2c x≤-a x≥a 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 性 质 对称性 对称轴： ；对称中心：_____ 顶点 __________________ ___________________ 轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长：__ 渐近线 ________ _______ 离心率 e=∈_________ a，b，c的关系 c2= (c>a>0，c>b>0) 坐标轴 原点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) A1A2 2a 2b a b y=±x y=±x (1，+∞) a2+b2 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　) (3)双曲线-=1(m>0，n>0)的渐近线方程是±=0.(　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) 自主诊断 × × √ √ 2.记F(2，0)为双曲线E：-=1(a>0)的右焦点，则E的渐近线方程为 A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x √ 解析　由于F(2，0)为双曲线E：-=1(a>0)的右焦点，故a2+3=4， 所以a=1， 故渐近线方程为y=±x. 3.(2025·全国Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为 A. B.2 C. D.2 √ 解析　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意知b=a， 于是c2=a2+b2=a2+7a2=8a2，则c=2a， 即e==2. 4.与双曲线-=1有共同渐近线，且经过点(2，4)的双曲线的虚轴长为　 . 4 解析　设与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0). ∵双曲线-=λ经过点(2，4)，∴λ=-=-1， ∴所求双曲线的方程为-=1， 双曲线-=1的虚半轴长为2，∴虚轴长为4. 微点提醒 返回 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 探究核心题型 例1　(1)已知双曲线-=1(a>0)的两个焦点为F1，F2，焦距为8，M为双曲线上一点，|MF2|=5，则|MF1|等于 A.1 B.1或9 C.9 D.3 √ 题型一　双曲线的定义及应用 解析　由题意得b2=12，2c=8，即c=4，又a2+b2=c2，即a2=16-12=4⇒a=2， 由双曲线的定义可得||MF1|-|MF2||=2a=4，解得|MF1|=1或|MF1|=9， 又|MF1|+|MF2|>2c=8，所以|MF1|=9. (2)已知双曲线C：x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M在C上，若|MO|=3，则|MF1|+|MF2|=　　　　. 4 解析　设∠F1MF2=θ，|MF1|=m，|MF2|=n， 因为=+)， 所以||2=(||2+2·+||2)， 所以9=(m2+2mncos θ+n2)， 即m2+2mncos θ+n2=36， 在△MF1F2中，易知|F1F2|=4， 由余弦定理得42=m2-2mncos θ+n2， 两式联立得m2+n2=26，mncos θ=5，又2(m2+n2)=(m-n)2+(m+n)2，|m-n|=2， 所以(m+n)2=48，即|MF1|+|MF2|=4. 圆锥曲线的第二定义 (链接教材，人教A版选择性必修第一册P113例6，P127习题3.2T10)平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹： (1)当0<e<1时，轨迹为椭圆. (2)当e>1时，轨迹为双曲线. ①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线. ②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x=±. 微拓展 典例　(1)椭圆+=1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点 (2，0)的距离与到直线x=的距离之比为，则椭圆方程为　　　　. 微拓展 +=1 解析　依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x=， 由椭圆第二定义知=， ∵c=2，故a=4，∴b2=a2-c2=12， ∴椭圆方程为+=1. (2)已知双曲线-=1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点 A(9，2)，则|MA|+|MF2|的最小值为　　　. 微拓展 解析　设M到直线x== 的距离为d，由双曲线第二定义知， =e=，∴d=|MF2|， ∴|MA|+|MF2|=|MA|+d， 如图，可知(|MA|+d)min=xA-=9-=. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|-|PF2||= 2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可. 思维升华 跟踪训练1　(1)已知双曲线C：x2-=1的右焦点为F，M为C的左支上一点，P为线段MF的中点，O为坐标原点，若|OP|=4，则|MF|等于 A.10 B.9 C.7 D.6 √ 解析　如图，设C的左焦点为F'，连接MF'， 因为P为MF的中点， O为坐标原点，所以|MF'|=2|OP|=8， 由双曲线的定义可知，|MF|-|MF'|=2a=2， 所以|MF|=|MF'|+2=8+2=10. (2)(2026·哈尔滨模拟)已知F是双曲线-=1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A(3，1)，则|PF|+|PA|的最小值为 A.11 B.9 C. D.5 √ 解析　由-=1，得a=2，b=，所以c==3， 所以上焦点F(0，3)，则下焦点为F1(0，-3)，又A(3，1)， 由双曲线的定义得|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+=9， 由图知，当A，P，F1三点共线(P在线段AF1上)时，|PF|+|PA|取得最小值9. 例2　(1)过点(2，3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为 A.x2-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 题型二　双曲线的标准方程 √ 解析　椭圆的标准方程为+=1， 故c==2，可得焦点坐标为(±2，0). 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 故解得 故双曲线的标准方程为x2-=1. (2)(2026·重庆模拟)已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N：-=1有共同的渐近线，且点P(2，1)在双曲线M上，则双曲线M的方程为　 　　. -=1 解析　设双曲线M的方程为-=1，λ>0， 将点P(2，1)代入得-=1，得λ=， 所以双曲线M的方程为-=1. 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将 双曲线方程设为-=λ(λ≠0)，与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为-=1(-a2<λ<b2)；与双曲线-=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 思维升华 跟踪训练2　(1)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，且C的焦距为4，则双曲线C的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 解析　由一条渐近线的倾斜角为， 可知-=tan，故=， 又2c=4，c=， 解得c=2，a=，b=， 故双曲线C的方程为-=1. (2)(2026·西安模拟)已知点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 　　　　　　　　. -=1，x≠±5 解析　设点M(x，y)，则直线AM，BM的斜率分别为，(x≠±5)， 因为它们的斜率之积是，则×=，x≠±5，化简得-=1，x≠±5， 则动点M的轨迹方程为-=1，x≠±5. 例3　已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两条渐近线之间的夹角为，一个焦点为(-2，0)，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 A. B. C. D. 题型三　双曲线的几何性质 命题点1　渐近线 √ 解析　对于双曲线-=1(a>0，b>0)，其渐近线方程为y=±x， 双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点(a，0)和渐 近线y=x，即bx-ay=0，则双曲线的顶点到渐近线的距离为=. 由题意得渐近线y=x的倾斜角为或， 所以=tan=或=tan=， 又c=2，c2=a2+b2=4，联立解得或 故所求距离为=. (1)渐近线方程的求法：令-=0，即得两渐近线方程±=0. (2)在双曲线-=1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±，满足关系式e2=1+k2. 思维升华 例4　已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上第一象限内一点，若直线y=-x垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 命题点2　离心率 √ 解析　 F1(-c，0)，一条渐近线方程为y=-x，即bx+ay=0， 点F1到渐近线的距离为d==b， 又直线y=-x垂直平分线段PF1，|PF1|=4a，所以b=2a， 故离心率为e====. 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 思维升华 例5　 (多选)(2025·白银模拟)已知双曲线E：-=1(a>0)的渐近线与圆C：x2+(y-2)2=1相切，F1，F2分别为E的左、右焦点，C为圆C的圆心，动点P在E的左支上，则 A.a=1 B.△CF1F2为等腰直角三角形 C.△CF2P周长的最小值为4 D.|CP|的最小值为 命题点3　与双曲线有关的范围(最值) √ √ √ 解析　双曲线E：-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x，即x±ay=0， 由圆C：x2+(y-2)2=1，圆心为C(0，2)，半径r=1， 因为渐近线与圆C相切，所以=1，解得a=1，故A正确； 而b2=3，则c2=a2+b2=4，即c=2， 所以F1(-2，0)，F2(2，0)， 则|CF1|=|CF2|=2，|F1F2|=4， 故|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2，即CF1⊥CF2， 所以△CF1F2为等腰直角三角形，故B正确； 解析　 △CF2P的周长为|CF2|+|PC|+|PF2|=2+|PC|+2a+|PF1|=2+2+ |PC|+|PF1|≥2+2+|CF1|=4+2， 当且仅当P，C，F1三点共线且P在C，F1之间时等号成立， 则△CF2P的周长的最小值为4+2，故C不正确； 设P(x0，y0)，x0≤-1，y0∈R，则-=1， 即=1+， 解析　所以|CP|= ==， 则当y0=时，|CP|取得最小值，故D正确. 与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质. (2)利用函数，尤其是二次函数. (3)利用不等式，尤其是基本不等式. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)(2026·驻马店模拟)已知双曲线C：-=1，则下列说法正确的是 A.双曲线C的焦点坐标为(±5，0) B.双曲线C的实轴长为4 C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为y=±x √ √ 解析　双曲线C：-=1的焦点在y轴上，且a2=4，b2=21，则a=2，b=， 所以c2=a2+b2=25，则c=5， 所以双曲线C的焦点坐标为(0，±5)，A错误； 因为a=2，所以双曲线C的实轴长2a=4，B正确； 双曲线C的离心率为e==，C正确； 双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x，D错误. (2)已知双曲线C：-y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P在C上且在第一象限内，设直线AP与BP的斜率分别为k1，k2，则4k1+k2的最小值为 A.3 B.4 C.1 D.2 √ 解析　∵双曲线C：-y2=1的左、右顶点分别为A，B，∴A(-2，0)，B(2，0)， 设P(x0，y0)(x0>2，y0>0)， 则直线AP的斜率k1=， 直线BP的斜率k2=，∴k1·k2=， 又点P在C上，∴-=1，即=-1， ∴k1·k2===， 解析　又x0>2，y0>0，∴k1>0，k2>0， ∴4k1+k2≥2=2，当且仅当4k1=k2， 即k1=，k2=1时，等号成立， ∴4k1+k2的最小值为2. 返回 课时精练 解析　双曲线C的标准方程为-=1，所以a=2， 所以双曲线C的实轴长为2a=4. 一、单项选择题 1.(2026·温州模拟)已知双曲线C：4x2-y2=16，则双曲线C的实轴长为 A.2 B.4 C.8 D.16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 2.若双曲线C：-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，则双曲线C的渐近线的方程为 A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　双曲线C：-y2=1(a>0)上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4， 则4=2a，得a=2，所以双曲线C：-y2=1的渐近线的方程为y=±x. 3.已知双曲线C经过点(0，)，离心率为，则双曲线C的标准方程为 A.x2-=1 B.-y2=1 C.y2-=1 D.-x2=1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　因为双曲线C经过点(0，)， 所以双曲线C的焦点在y轴上， 且a=，又因为离心率为， 即e===，解得c=2， 所以b==1， 所以双曲线C的标准方程为-x2=1. 方法二　将点(0，)代入四个选项中，只有D符合. 4.已知A(7，3)，双曲线C：-=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则|PA|-|PF|的最大值是 A.-1 B.2 C.3 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　如图，设双曲线的右焦点为F'(3，0)，连接PF'，AF'，则|PF|-|PF'| =2a=4， 因为|AF'|==5， 而|AF'|≥|PA|-|PF'|， 所以|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|-4≤|AF'|-4=5-4=1， 当P，F'，A三点共线且F'在P，A之间时等号成立， 故|PA|-|PF|的最大值是1. 5.(2026·昭通模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为 A. B. C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　如图，根据双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a， 由于|AB|=|AF1|，|AB|=|AF2|+|BF2|，则|AF2|+|BF2|=|AF1|， 所以|BF2|=2a，|BF1|=4a.设∠F1F2B=θ， 由题可得tan θ=，则cos θ=， 在△BF1F2中，由余弦定理， 可得cos θ==，整理得2c2-ac-6a2=0， 即2e2-e-6=0，因为e>1，则可得e=2. 6.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出(如图2).封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1：+=1和双曲线C2：-=1在y轴右侧的一部分(实线)围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经过双曲线的右焦点F2， 然后在曲线E内多次反射，反射点依次 为P1，P2，P3，P4，…，若P0与P4重合， 则光线从P0到P4所经过的路程为 A.4 B.8 C.12 D.16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　椭圆中，a1=4，b1=，c=；双曲线中，a2=2，b2=，c=，则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有|P1F1|-|P1F2|=4，|P3F1|-|P3F2|=4， 所以|P1F1|-4=|P1F2|，|P3F1|-4=|P3F2|， 根据椭圆的定义有|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|=8，|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|=8， 所以路程为|P0F2|+|P1F2|+|P1P2|+|P2F2|+|P3F2|+|P3P0| =|P0F2|+|P1F1|-4+|P1P2|+|P2F2|+|P3F1|-4+|P3P0| =(|P1F1|+|P1P2|+|P2F2|)+(|P3F1|+|P3P0|+|P0F2|)-8 =8+8-8=8. 二、多项选择题 7.(2026·桂林模拟)已知F1，F2是双曲线C：+=1的两个焦点，P是C 上的一点，则 A.当m=-3时，双曲线C的实轴长为4 B.当|PF1|-|PF2|=4时，m=-3 C.无论m取何值，双曲线C的焦距都为2 D.当m=1时，双曲线C的渐近线方程为y=±x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由双曲线C的方程为+=1， 得(m+7)(m-5)<0， 又m+7>m-5，故m+7>0， 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0). A选项，由m=-3，得双曲线C的方程为-=1，即a2=4，a=2， 则双曲线C的实轴长为2a=4，A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　B选项，由|PF1|-|PF2|=4=2a，即a=2，a2=4，则m+7=4，解得m=-3，B正确； C选项，a2=m+7，b2=5-m，则c2=a2+b2=12， 所以c=2，所以双曲线C的焦距为4，C错误； D选项，由m=1，得双曲线C的方程为-=1，即a2=8，a=2，b2=4，b=2，则双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x，D错误. 8.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点P(b，2a)，F为C的右焦点，O为坐标原点，则 A.直线OP的斜率为4 B.双曲线C的离心率为 C.双曲线C的两条渐近线的夹角小于 D.若点A(a，a-a)，Q是双曲线C左支上一点，则|AQ|+|FQ|的最小值为 2a+2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 解析　∵双曲线过点P(b，2a)， ∴-=1，解得b=2a， 又O(0，0)，∴kOP==，故A错误； ∵离心率e====，故B正确； ∵双曲线的渐近线方程为y=±x，代入b=2a，则y=±2x， 设渐近线y=2x的倾斜角为α， 则0<α<，tan α=2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　∵tan=<2， ∴<α<，<2α<π， ∴两渐近线的夹角为π-2α，且0<π-2α<，故C正确； ∵A(a，a-a)，左焦点F'(-a，0)，右焦点F(a，0)，Q是双曲线C左支上一点， ∴|FQ|=|F'Q|+2a， ∴|AQ|+|FQ|=|AQ|+|F'Q|+2a≥|AF'|+2a，当且仅当Q在线段AF'上时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　∵|AF'|==2a， ∴|AQ|+|FQ|的最小值为2a+2a，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题意设双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)， 则渐近线方程为y=±x，故=2，且2c=2， 所以c=，则a2+b2=c2=5，可得a2=1，b2=4，故双曲线C的方程为x2-=1. 三、填空题 9.双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±2x，焦距为2，则双曲线 C的方程为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 x2-=1 10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=，|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e=　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设|PF2|=x，则|PF1|=2x， 由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2x-x=2a， 即x=2a，所以|PF2|=2a，|PF1|=4a， 又|F1F2|=2c，∠F1PF2=， 在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=， 即=，解得c=a，故离心率e==. 解　因为a=2，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)， 将点A(-5，2)代入双曲线的方程得-=1，解得b2=16， 因此，双曲线的标准方程为-=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)； 解　在椭圆+=1中，c==， 所以椭圆的焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)， 设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)， 因为双曲线与椭圆有相同焦点，所以a2+b2=c2=5， 点P(-，2)代入双曲线方程，可得-=1， 联立解得所以双曲线的标准方程为x2-=1. 11.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (2)过点P(-，2)，且与椭圆+=1有相同焦点的双曲线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解　由题意知解得 故双曲线C的方程为-=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其离心率e=，且双曲线过点. (1)求双曲线C的方程； 解　由题意及(1)得||PF1|-|PF2||=6，|F1F2|=10， 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2 =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即102=62+|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|=64， 所以=|PF1|·|PF2|sin 60°=×64×=16， 所以△PF1F2的面积为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，其离心率e=，且双曲线过点. (2)若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积. 13.(多选)(2026·大庆模拟)某数学兴趣小组的同学经研究发现，函数y=-的图象是双曲线.设其焦点分别为F1，F2，若P为其图象上任意一点，则 A.y=x不是它的一条对称轴 B.它的离心率为 C.若点P到点(-，)的距离为+2，则点P到点(，-)的距离为 或+4 D.类比以上结论可猜测y=x+的图象是双曲线 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 解析　对于A，由反比例函数的性质可知y=±x是函数y=-的对称轴，故A错误； 对于B，根据反比例函数的图象知两条坐标轴是其渐近线，两渐近线互 相垂直，由双曲线定义知其为等轴双曲线，即a=b，e==， 故B正确； 对于C，易知y=-x与y=-的交点为(-1，1)，(1，-1)， 即该双曲线的两个顶点为(-1，1)，(1，-1)，所以a=， 所以两焦点坐标为F1(-，)和F2(，-)，c=2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　根据双曲线的定义知，若|PF1|=+2， 则|PF2|=|PF1|+2a=+4或|PF2|=|PF1|-2a=，而<c-a=2-，故舍去， 即|PF2|=+4，故C错误； 对于D，y=x+的渐近线为y=x，x=0，对称轴为两条渐近线的角平分线， 其图象绕原点逆时针旋转即可得到标准的双曲线方程，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M=，则 A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为 D.当a=时，四边形NA1MA2的面积为8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　不妨设渐近线为y=x，点M在第一象限，点N在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得四边形A1MA2N为平行四边形， 故∠A1MA2=π-=，故A正确； 对于B，方法一　因为M在以F1F2为直径的圆上，故|MO|=c， 设M(x0，y0)(x0>0)，则故故M(a，b)， 又A2(a，0)，所以MA2⊥A1A2， 由A项得∠A1MA2=， 故|MA2|=|MA1|×， 即|MA1|=|MA2|，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　因为tan∠MOA2=，双曲线中，c2=a2+b2， 则cos∠MOA2=，又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，则|OM|=c， 若过点M作x轴的垂线，垂足为H， 则|OH|=c·=a=|OA2|，则点H与A2重合， 则MA2⊥x轴，又∠A1MA2=， 所以|MA1|==|MA2|，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法三　因为tan∠MOA2=，所以cos∠MOA2=，在△OMA2中，利用余弦定理知，=|OM|2+-2|OM||OA2|cos ∠MOA2， 即=c2+a2-2ac·=b2，则|MA2|=b， 则△OMA2为直角三角形，所以MA2⊥A1A2，又∠A1MA2=，则|MA1|= |MA2|，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于C，方法一　因为=+)， 故4=+2·+， 由B可知|MA2|=b，|MA1|=b， 故4c2=b2+b2+2×b×b×=b2=(c2-a2)，即c2=13a2， 故离心率e=，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　在Rt△MA2A1中，∠MA1A2=， 所以tan∠MA1A2===， 则=2，则e====，故C正确； 对于D，当a=时，由C项可知e=，故c=， 故b=2，故四边形NA1MA2的面积为2=2××2×2=8，故D正确. 返回 $