22.3.4　相似三角形的应用(2)课件2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.3　相似三角形 22.3.4　相似三角形的 　　　　应用(2) 学习目标 1.能分析实际问题中的数量关系进行计算或证明.(重点) 2.正确利用相似三角形，证明线段之间的乘积关系.(难点) 课堂引入 1.比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做　　　　　.两端的两项叫做　　　　　，中间的两项叫做　　　　.  比例中项：在中，如果b＝c，即，那么　　　，这时我们把b叫做a和d的比例中项.  2.平行线分线段成比例的内容： 如图，若两条线段被一组平行线所截，所得到的线段对 应　　　　　.如＝　　　　；＝　　　　　　.  课堂引入 推论1 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线　　　于三角形的第三边.  推论2 平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边　　　　　　.  3.相似三角形的判定与性质. 一、 利用相似三角形证明等积式 知识梳理 射影定理： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，  则有AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，CD2＝AD·BD. 例1　(课本P87例8)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，求证：CD2＝AD·BD. 证明　∵∠ACD＝90°－∠CAD＝∠B，∠CDA＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴， 即CD2＝AD·BD. 反思感悟 利用相似三角形可以证明线段之间的乘积关系，通常是先证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质进行推导. 跟踪训练1　(1)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝12，AD＝8，则AB的长为  A.13 B.14 C.16 D.18 √ 解析　∵△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB·AD， ∴AB＝＝18. (2)如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'恰好在BC上，AC与B'C'交于点E，连结CC'.求证：EC·EA＝EC'·EB'. 证明　∵将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置， ∴∠AC'B'＝∠ACB， 又∵∠AEC'＝∠B'EC， ∴△AEC'∽△B'EC， ∴， ∴EC·EA＝EC'·EB'. 二、 三角形的重心与性质 知识梳理 1.三角形的重心定义：三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心. 2.三角形重心的重要性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. 中线 例2　(课本P88例9)如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G.  求证：. 证明　如图，连结ED.  ∵D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半). ∴△DEG∽△ACG. ∴. ∴. 跟踪训练2　如图，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB，AC于点E，F，若AB＝7，AC＝4，BE＝3，求CF的长. 解　如图，过点D作DH∥AB交AC于H，交EF于N， ∵AB＝7，BE＝3， ∴AE＝4， ∵DH∥AB，点D为BC中点， ∴△CDH∽△CBA，△DGN∽△AGE，DH为△ABC的中位线， ∴，， ∴DH＝，CH＝AH＝2，DN＝AE＝2， 跟踪训练2　如图，在△ABC中，D是边BC的中点，G是△ABC的重心，过点G的直线分别交边AB，AC于点E，F，若AB＝7，AC＝4，BE＝3，求CF的长. 解　∴NH＝DH－DN＝－2＝， ∵NH∥AB， ∴△FNH∽△FEA， ∴， ∴，即， ∴FH＝， ∴CF＝CH－FH＝2－. 课堂小结 利用相似三角形证明等积式的步骤： 1.如图，G是△ABC的重心，则下列结论正确的是  A.AD⊥BC B.BD＝CD C.∠BAD＝∠CAD D.BD＝CD且AD⊥BC 随堂演练 √ 解析　∵三角形的重心是三角形三条中线的交点， ∴AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD. 2.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连结EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝8，则线段CM的长为  A.7 B.8 C.9 D.10 随堂演练 √ 解析　∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝×8＝4， ∴△DEF∽△BMF，∴＝2， ∴BM＝2，∴CM＝BC＋BM＝10. 3.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E，点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC＝16，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于　 . 随堂演练 随堂演练 解析　如图， ∵点E，F分别是△ABD和△ADC的重心， ∴DG＝BD，DH＝CD，AE＝2GE，AF＝2HF， ∵BC＝16， ∴GH＝DG＋DH＝BC＝8， ∵AE＝2GE，AF＝2HF，∠EAF＝∠GAH， ∴△EAF∽△GAH， ∴，∴EF＝. 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交AC于H，交BC的延长线于点F.求证：FD2＝FB·FC. 随堂演练 证明　如图，连结AF， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2， ∵FE是AD的垂直平分线， ∴FA＝FD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)， ∴∠FAD＝∠FDA(等边对等角)， ∵∠BAF＝∠FAD＋∠1，∠ACF＝∠FDA＋∠2， 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交AC于H，交BC的延长线于点F.求证：FD2＝FB·FC. 随堂演练 证明　∴∠BAF＝∠ACF， 又∵∠BFA＝∠AFC， ∴△BAF∽△ACF， ∴， ∴FA2＝FB·FC， ∴FD2＝FB·FC. 谢谢观看 $