22.3.3相似三角形的性质课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.3　相似三角形 22.3.3　相似三角形的性质 学习目标 1.掌握相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长、面积的性质.(重点) 2.能利用相似三角形的性质解决实际问题.(重点、难点) 课堂引入 1.相似三角形的判定方法： (1)平行线法：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似； (2)三边法：三边成比例的两个三角形相似； (3)两边及其夹角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)两角法：两角分别相等的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等， 相似比等于对应边的比. 思考：一个三角形中有三类重要线段：高、中线、角平分线.如果两个三角形相似，除了对应边成比例，对应角相等外，那么这些对应线段有什么关系呢？相似三角形还有哪些性质呢？ 一、 相似三角形对应高、面积的比与相似比的关系 问题1　(1)如图，△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形，相似比为k，其中AD，A'D'分别为BC，B'C'边上的高，那么AD，A'D'之间有什么关系？ 提示　∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'， ∴∠ADB＝∠A'D'B'. 又∵△ABC∽△A'B'C'，∠B＝∠B'， ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴＝k. (2)(1)中△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的面积比是多少？ 提示　如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， 则＝k. ∴＝k2. 知识梳理 1.相似三角形对应边上的高的比等于_______. 2.相似三角形的面积的比等于_____________. 相似比 相似比的平方 例1　如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边形PQRS是正方形.  (1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？ 解　△ASR∽△ABC.理由如下： ∵四边形PQRS是正方形， ∴SR∥BC. ∴△ASR∽△ABC. 例1　如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边形PQRS是正方形.  (2)求正方形PQRS的边长. 解　∵四边形PQRS是正方形， ∴SR∥BC， ∵AD是△ABC的高， ∴AE是△ASR的高， ∵SR∥BC， ∴△ASR∽△ABC， 例1　如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边形PQRS是正方形.  (2)求正方形PQRS的边长. 解　∴SR∶BC＝AE∶AD， 设正方形PQRS的边长为x cm， 则AE＝AD－ED＝(40－x)cm，BC＝60 cm， ∴x∶60＝(40－x)∶40， 解得x＝24， ∴正方形PQRS的边长为24 cm. 跟踪训练1　(1)如图，正方形网格中每个小正方形边长都为1，点A，B，C都在格点上，AC，BC分别与网格线交于点D，E，则DE的长为  A. B. C.1 D. √ 解析　如图，取格点H，F，连结CH，BH，EF，  则CH，CF分别为△ABC，△DEC的高， ∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴，∴DE＝AB＝. (2)如图，在△ABC中，点D，E分别在边BA，CA上，DE∥BC， ，BC＝12，求DE的长. 解　∵， ∴， ∵DE∥BC，BC＝12，∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴或＝－(不符合题意，舍去)， ∴DE＝BC＝×12＝4. 二、 相似三角形对应角平分线、对应中线、周长的比与相似比的关系 问题2　如图，△ABC和△A'B'C'相似，AD，A'D'分别为对应边上的中线，BE，B'E'分别为对应角的平分线，那么它们之间有什么关系？这两个三角形的周长又有什么关系？ 知识梳理 相似三角形对应角的平分线的比等于_______. 相似三角形对应边上的中线的比等于_______. 相似三角形的周长的比等于_______. 相似比 相似比 相似比 例2　证明：相似三角形的周长比等于相似比. 已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，  求证：它们对应周长的比等于相似比. 证明　因为△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， 所以＝k， 因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'， 从而＝k. 所以△ABC与△A'B'C'的周长比等于相似比. 跟踪训练2　(1)若两个相似三角形对应高的比为1∶，则它们的相似比为　　　　，对应中线的比为　　　　，对应角平分线的比为　　　　，周长的比为　　　　，面积的比为　　　　；  1∶ 1∶ 1∶ 1∶ 1∶3 解析　若两个相似三角形对应高的比为1∶，则它们的相似比为1∶，对应中线的比为1∶，对应角平分线的比为1∶，周长的比为1∶，面积的比为1∶3. (2)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为　　　　，对应中线的比为　　　　；  1∶4 1∶4 解析　已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为1∶4，对应中线的比为1∶4. (3)若两个相似三角形的周长分别为15 cm和25 cm，则这两个相似三角形对应角平分线的比为　　　　.  3∶5 解析　若两个相似三角形的周长分别为15 cm和25 cm，则这两个相似三角形对应角平分线的比为3∶5. 课堂小结 1.两个相似三角形的一组对应高的长分别是2 cm和3 cm，其中较大三角形的周长为12 cm，则较小三角形的周长为 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 随堂演练 √ 解析　∵两个三角形相似，∴两个三角形的相似比为2∶3， ∴两个三角形的周边比为2∶3，∵较大三角形的周长为12 cm， ∴较小三角形的周长应为12×＝8(cm). 2.如图，△ABC是等边三角形，点E，F在AB上，点H，G在AC上，AE＝EF＝FB，EH∥FG∥BC，△ABC的面积为27 cm2，则四边形EFGH的面积为  A.9 cm2 B.3 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2 随堂演练 √ 随堂演练 解析　∵EH∥FG∥BC，∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∵AE＝EF＝FB， ∴，，， ∴， ∴S△AEH＝3 cm2， ∵， ∴， ∴S△AFG＝12 cm2， ∴S四边形EFGH＝S△AFG－S△AEH＝12－3＝9(cm2). 3.两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10 cm和20 cm，若它们的周长的差是60 cm，则较大的三角形的周长是　　　　cm，若它们的面积之和为260 cm2，则较小的三角形的面积为　　　　cm2.  随堂演练 120 52 解析　两对应角平分线的长之比为，因为周长的差是60 cm，所以较大的三角形的周长为120 cm，较小三角形的周长为60 cm. 因为对应角平分线的长之比为，所以面积之比为，所以小三角形的面积为260×＝52(cm2). 4.如图，已知△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'分别是∠ABC和∠A'B'C'的平分线，若BD＝16 cm，B'D'＝24 cm，且△A'B'C'与△ABC的面积差为220 cm2，分别求出△ABC和△A'B'C'的面积. 随堂演练 解　∵△ABC∽△A'B'C'，BD和B'D'分别是∠ABC 和∠A'B'C'的平分线，BD＝16 cm，B'D'＝24 cm， ∴，∴，∴S△ABC＝S△A'B'C'， ∵△A'B'C'与△ABC的面积差为220 cm2， ∴S△A'B'C'－S△A'B'C'＝220，∴S△A'B'C'＝396 cm2， ∴S△ABC＝176 cm2. 5.如图，在锐角三角形ABC中，AB，AC上的高CE，BF相交于点D.  (1)求证：△ABF∽△ACE； 随堂演练 证明　∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠AFB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△ABF∽△ACE. 5.如图，在锐角三角形ABC中，AB，AC上的高CE，BF相交于点D.  (2)连结EF，求证：△AEF∽△ACB. 随堂演练 证明　∵△ABF∽△ACE， ∴， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACB. 谢谢观看 $