22.3.3 相似三角形的性质（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，系统梳理对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等核心知识点。通过合作探究对应高的比、问题链引导周长关系思考，衔接相似三角形判定，搭建从性质推导到应用的学习支架。 其亮点在于以探究式推导（如对应高比的证明）和分层练习（选择、填空、解答题）为主，结合跨学科实例（物理小孔成像）与生活应用（蛋糕面积问题），培养学生推理能力、几何直观与模型意识。学生能深化对性质的理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章 图形的相似 22.3.3 相似三角形的性质 2026年8月4日 华东师大版九年级上册22.3.3 相似三角形的性质练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形的对应角、对应边的关系是（） A.对应角相等，对应边相等 B.对应角相等，对应边成比例 C.对应角成比例，对应边相等 D.对应角成比例，对应边成比例 2. 若两个相似三角形的相似比为$$2:3$$，则它们的周长比为（） A.$$2:3$$ B.$$3:2$$ C.$$4:9$$ D.$$9:4$$ 3. 相似三角形的面积比等于相似比的（） A.一倍 B.平方 C.立方 D.平方根 4. 已知$$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$$，相似比为$$1:4$$，则它们的面积比为（） A.$$1:4$$ B.$$4:1$$ C.$$1:16$$ D.$$16:1$$ 5. 两个相似三角形对应高的比为$$3:5$$，则对应中线的比为（） A.$$3:5$$ B.$$5:3$$ C.$$9:25$$ D.无法确定 6. 若两个相似三角形面积比为$$1:9$$，则它们的相似比为（） A.$$1:9$$ B.$$9:1$$ C.$$1:3$$ D.$$3:1$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形对应角________，对应边________。 2. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于________。 3. 相似三角形周长的比等于________，面积的比等于________。 4. 已知两相似三角形相似比为$$2:5$$，则周长比为________，面积比为________。 5. 两个相似三角形面积之比为$$4:25$$，则对应角平分线的比为________。 6. △ABC∽△DEF，周长之比为$$3:7$$，若△ABC周长为12，则△DEF周长为________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）已知$$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$$，相似比为$$2:3$$。 (1)若△ABC的周长为16，求△A'B'C'的周长； (2)若△A'B'C'的面积为36，求△ABC的面积。 14.（12分）两个相似三角形对应高分别为4cm和6cm。 (1)求这两个三角形的相似比与周长比； (2)求这两个三角形的面积比。 15.（14分）如图，在△ABC中，$$DE\parallel BC$$，$$AD:AB=1:3$$。 (1)求△ADE与△ABC的周长比； (2)求△ADE与四边形DBCE的面积比。 16.（14分）已知$$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$$，相似比为$$3:2$$，△ABC的周长是24，面积是45，求△DEF的周长和面积。 参考答案 1.B  2.A  3.B  4.C  5.A  6.C 7.相等、成比例  8.相似比  9.相似比、相似比的平方  10.$$2:5$$、$$4:25$$  11.$$2:5$$  12.$$28$$ 13.解：(1)相似三角形周长比等于相似比，设△A'B'C'周长为$$C$$， $$\dfrac{16}{C}=\dfrac{2}{3}$$，解得$$C=24$$。 (2)面积比为相似比平方$$4:9$$，设△ABC面积为$$S$$， $$\dfrac{S}{36}=\dfrac{4}{9}$$，解得$$S=16$$。 答：(1)周长为24；(2)面积为16。 14.解：(1)相似比=对应高之比$$=4:6=2:3$$，周长比等于相似比，即为$$2:3$$。 (2)面积比为相似比平方，即$$4:9$$。 答：相似比、周长比为$$2:3$$，面积比为$$4:9$$。 15.解：∵$$DE\parallel BC$$，∴$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$，相似比$$=1:3$$。 (1)周长比=$$1:3$$。 (2)面积比=$$1:9$$，设$$S_{\triangle ADE}=1$$，$$S_{\triangle ABC}=9$$， 四边形面积$$=9-1=8$$，∴$$S_{\triangle ADE}:S_{\text{四边形}DBCE}=1:8$$。 答：周长比$$1:3$$，面积比$$1:8$$。 16.解：相似比$$3:2$$，周长比$$3:2$$，面积比$$9:4$$。 设△DEF周长为$$C$$，$$\dfrac{24}{C}=\dfrac{3}{2}$$，得$$C=16$$。 设△DEF面积为$$S$$，$$\dfrac{45}{S}=\dfrac{9}{4}$$，得$$S=20$$。 答：△DEF周长为16，面积为20。 本节核心知识点总结 1. 基本性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2. 对应线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比 = 相似比。 3. 周长性质：相似三角形周长之比 = 相似比。 4. 面积性质：相似三角形面积之比 = 相似比的平方（最易考点、高频易错点）。 5. 解题关键：已知面积比求相似比要开平方，已知相似比求面积比要平方。 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B＝∠B' . 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. A B C A' B' C' D' D 由此得到结论： 相似三角形对应边上的高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比也等于相似比. 因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比. 知识点1相似三角形对应线段的比 1.若△ABC∽△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　　) A．9：4 B．4：9 C．81：16 D．3：2 1星题 夯实四基 A 举一反三 2．已知两个相似三角形的一组对应边的长分别为2 cm和4 cm，若它们对应的两条角平分线的长度之和为9 cm，则这两条角平分线的长度分别为____________． 3 cm，6 cm 举一反三 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？ A B C 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此，AB＝k·A'B'，BC＝k·B'C'，CA＝k·C'A' A' B' C' 相似三角形周长的比 从而 相似三角形周长之比等于相似比. 相似多边形周长之比等于相似比. 归纳 同理得： 4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的 2 cm 变成了 6 cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？ 解： 放大比例为 . 3. (跨学科·物理　上海模拟)物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据(如图)：物距为20 cm，像距为30 cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm，则蜡烛火焰的高度是______cm. 4 举一反三 如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为 k，它们的面积比是多少？ A B C A' B' C' D' D 解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD和A' D' ． ∵∠ADB =∠A' D' B' ，∠B＝∠B'， ∴△ADB∽△A' D' B' . 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 归纳 如图，四边形 ABCD 相似于四边形 A′B′C′D′，相似比为 k，它们面积的比是多少？ 相似多边形面积比等于相似比的平方. A B C A′ B′ C′ D D′ 延伸探究 1.如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC 的周长是 24，面积是 48，求△DEF 的周长和面积． A B C D E F 解：在△ABC 和△DEF 中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF， 又∵∠D＝∠A， ∴△DEF∽△ABC，相似比为 ∴△DEF 的周长 = △ABC 的周长， △DEF 的周长 = 12. 2.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍； 解：（1）一个三角形各边扩大为原来 5 倍，相似比为 1 : 5， 扩大 5 倍周长＝ 5×原周长 （2）一个四角形各边扩大为原来 9 倍，相似比为 1 : 9， 边长扩大 9 倍四边形 ＝ 81 倍原四边形的的面积 （2）一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． 3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 15 cm，一种半径是 30 cm，如果半径是 15 cm 的蛋糕够 2 个人吃，半径是 30 cm 的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同） 解：两种蛋糕是相似的， 相似比是1：2，面积的比为 设半径是 30 cm 的蛋糕够 x 人吃， 依题列方程 1 : 4＝2 : x， 解得 x = 8. 答：半径是 30 cm 的蛋糕够 8 个人吃． 举一反三 5.【思维生长】 若两个相似三角形的相似比为3：4，且较大的三角形的周长是16，则较小的三角形的周长为 ________． 向“等量转化”生长：如图①，将△ABC沿边BC向右平移得到△DEF，DE交AC于点G，若BC∶EC＝3∶1.△ADG的周长为16，则△CEG的周长为________． 12 8 举一反三 25 cm 举一反三 举一反三 7.【思维生长】 如图①，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是(　　) A．6 B．8 C．4 D．2 A 举一反三 举一反三 举一反三 (2)若AC＝4，BC＝8，△DAC的面积为9，求△ABD的面积． 举一反三 9．如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形 (顶点在格点上)，那么△ABC与△DEF的周长比为(　　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 A 2星题 提升四能 举一反三 10.【新情境】如图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB的宽度是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm C 举一反三 11．如图，等边三角形纸片ABC被矩形直尺DEFG所截，EF∥BC，边AB被截成三等份．若△ABC的面积为12 cm2，则图中阴影部分的面积为________ cm2. 4 举一反三 12．广东深圳模拟 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形， (1)若AB＝8，求线段AD的长； 举一反三 (2)若△ADE的面积为1，求▱BFED的面积． 举一反三 1.相似三角形的对应高，中线，角平分线的比等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比； 相似多边形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方; 相似多边形面积的比等于相似比的平方. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 知识点2 相似三角形对应周长的比 4．知识初练 已知△ABC∽△DEF，相似比是，则＝＝＝__________，因此＝______， 即 ＝______________. 向“方程思想”生长：如图②，在△ABC和△DBE中，＝＝＝，若△ABC与△DBE的周长差为10 cm，则△ABC的周长为________． 知识点3 相似三角形对应面积的比 6．知识初练已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的高．若＝，则＝________，因此＝________，所以＝________. 向“逆向推理”生长：如图②，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶3，BC＝，则DE的长为________． 2 8．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且＝. (1)求证：∠DAC＝∠B； 证明：∵∠ACD＝∠BCA，＝， ∴△ACD∽△BCA，∴∠DAC＝∠B. 解：∵AC＝4，BC＝8，∴＝＝. ∵△ACD∽△BCA，∴＝2＝. ∵S△DAC＝9，∴S△ABC＝4S△ACD＝4×9＝36， ∴S△ABD＝S△ABC－S△ACD＝36－9＝27. ∵四边形BFED是平行四边形， ∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝，∵＝，∴＝， ∴AD＝AB＝×8＝2. ＝. 解：由(1)知△ADE∽△ABC，∴＝2＝2＝. ∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝16.易知＝＝，∴＝. ∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC， ∴＝2＝2＝，∴S△EFC＝9， ∴S▱BFED＝S△ABC－S△EFC－S△ADE＝16－9－1＝6. $