22.3.2相似三角形的判定(2)课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第22章　22.3　相似三角形 22.3.2　相似三角形的 　　　　判定(2) 学习目标 1.掌握相似三角形的判定定理2与判定定理3.(重点) 2.经历相似三角形的判定定理2与判定定理3的推导过程.(难点) 3.能熟练运用相似三角形的判定定理2，3证明三角形相似.(重点) 课堂引入 1.相似三角形的定义：对应边成比例、对应角相等的三角形叫作相似三角形. 2.已学的相似三角形判定方法： ①平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. ②两角分别相等的两个三角形相似. 思考：对照判定两个三角形全等的方法，你认为判定两个三角形相似还可能有什么方法？ 一、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 问题1　观察如图，如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢？回答问题，并写出你的猜想和证明. 提示　点E在如图所示的位置.， 连结DE，此时，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. 猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，. 求证：△ABC∽△A1B1C1. 证明：如图，在边AB(或它的延长线)上截取AD＝A1B1， 过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC. . ∵，AD＝A1B1， ∴AE＝A1C1. 又∵∠A＝∠A1，AD＝A1B1， ∴△ADE≌△A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1. 知识梳理 相似三角形的判定定理2：两边_______且夹角_____的两个三角形相似.  符号语言： 如图，在△ABC和△A1B1C1中， ∵∠A＝∠A1，， ∴△ABC∽△A1B1C1. 成比例 相等 例1　如图，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE. 证明　∵AB·AE＝AD·AC，∴. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE. 跟踪训练1　(1)如图，点P在△ABC的边AC上，若只添加一个条件，就可以判定△ABP∽△ACB，则添加的条件可能是  A. B.BP2＝AP·PC C. D.AB2＝AP·AC √ (2)如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6.求证：△ADE∽△ABC. 证明　∵AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6， ∴， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC. 二、 三边成比例的两个三角形相似 问题2　在如图所示的方格图中任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形三边长的相同倍数.画完之后，用量角器度量并比较两个三角形对应角的大小.你得出了什么结论？回答问题，并写出你的猜想和证明. 提示　画图如图所示. 结论：两个三角形对应角相等，两个三角形相似. 猜想：如果两个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，. 求证：△ABC∽△A1B1C1. 证明：如图，在边AB(或它的延长线)上截取AD＝A1B1，过点D作BC的平行线交AC于点E，则△ADE∽△ABC.  ∴. 又∵，∴DE＝B1C1，AE＝A1C1. 在△ADE与△A1B1C1中， ∵AD＝A1B1，DE＝B1C1，AE＝A1C1， ∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1. 知识梳理 相似三角形的判定定理3：___________的两个三角形相似.  符号语言： 如图，∵， ∴△ABC∽△A'B'C'. 三边成比例 例2　如图，在△ABC中，已知AB＝45，AC＝72，BC＝30.在△DEF中，已知DE＝30，EF＝20，DF＝48，求证：△ABC∽△DEF. 证明　∵AB＝45，AC＝72，BC＝30，DE＝30，EF＝20，DF＝48， 则，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF. 跟踪训练2　(1)如图，下列阴影部分的三角形与△ABC(顶点均在正方形网格格点上)相似的是 √ 解析　设正方形网格的边长为1， 则在△ABC中，AB＝，BC＝1，AC＝. A项，该三角形三边分别为，，4，则≠≠，故与△ABC不相似， 不符合题意； B项，该三角形三边分别为，，3，则≠≠，故与△ABC不相似， 不符合题意； C项，该三角形三边分别为2，，，则≠≠，故与△ABC不相似， 不符合题意； D项，该三角形三边分别为，2，，则，故与△ABC相似， 符合题意. (2)根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由. AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm， A'B'＝12 cm，B'C'＝18 cm，A'C'＝24 cm. 解　相似.理由如下： ∵，，， ∴， ∴△ABC∽△A'B'C'. 课堂小结 1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 3.判断三角形相似的思路 1.观察下列每组三角形，不能判定相似的是 随堂演练 √ 解析　由题意知，A中，能判定两个三角形相似； B中，58°＝58°，能判定两个三角形相似； C中40°＝40°，且对顶角相等，能判定两个三角形相似； D中35°＝35°，不能判定两个三角形相似. 2.在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A＝45°，AB＝12 cm，AC＝15 cm， ∠A'＝45°，A'B'＝16 cm，那么A'C'＝_______________时，△ABC与△A'B'C'相似.  随堂演练 20 cm或 cm 解析　当△ABC∽△A'B'C'时，， ∴， ∴A'C'＝20 cm； 当△ABC∽△A'C'B'时，， ∴，即A'C'＝ cm. 3.如图，在△ABC中，点D在AB上，连结CD.已知AC＝6，AD＝4，BD＝5，求证：△ACD∽△ABC. 随堂演练 证明　∵AC＝6，AD＝4，BD＝5， ∴AD∶AC＝4∶6＝2∶3，AC∶AB＝6∶(4＋5)＝2∶3， ∴AD∶AC＝AC∶AB， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴△ACD∽△ABC. 4.如图，在4×7的正方形网格中，小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在格点上.求证：△ABC∽△DEF. 随堂演练 证明　∵AB＝2，BC＝，AC＝， EF＝3，DE＝＝3，DF＝＝3， ∴，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF. 谢谢观看 $