29.2 圆的有关性质（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 (建议用时：30分钟) 1.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，AC与6.项目式学习根据素材解决问题. OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则 设计货船通过圆形拱桥的方案 BD的长为 ( 素材1：图①所示的是一座圆形拱桥的示意图.测 得水面宽AB=16m,拱顶离水面的距离CD= A.5 B.4 C.3 D.2 4m. 图① 图② 素材2：如图②，一艘货船露出水面部分的横截面 为矩形EFGH,测得EF=3m,EH=10m.因水 第1题图 第2题图 深足够，货船可以根据需要运载货物.据调查，船 2.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心 身下降的高度y(单位：m)与货船增加的载质量 的⊙0过点A(13,0),直线y=kx+12与⊙O x(单位：)满足函数关系式y 1 1002 交于B,C两点，则弦BC长的最小值为( 问题解决 A.24 B.10 C.8 D.25 任务1：求圆形拱桥的半径长。 3.如图，AB为⊙O的直径. 任务2：根据图②中的状态，货船能否通过圆形拱 (1)若弦CD⊥AB于点H,AB=10,CD= 桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能， 8,则OH的长度为 至少要增加多少吨货物才能通过 (2)若AB平分弦CD,AB=8,OH:OB= 3:4,则弦CD的长是 第3题图 第4题图 4.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC, 垂足为D.若⊙O的半径为2，则弦AB的长 为 5.如图，将纸条拉直紧贴杯口，纸条的上下边沿 分别与杯口相交于A,B,C,D四点.利用刻 度尺量得该纸条宽为4.2cm,AB=3.6cm, CD=4.8cm,则纸杯的直径为 B 第5题图 长4444 上册课外拓展提高 127 29.2.2圆心角（建议用时：30分钟） 1.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD的7.情境应用如图所示的是某酒店 四个顶点都在⊙O上.若BC=CD=DA= 的旋转门示意图，旋转门的三片 4cm,则⊙O的直径AB为 旋转翼OA,OB,OC把空间等分 R A A.5 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 成三个部分，相邻两片旋转翼之第7题图 间的夹角为120°.旋转门的出入口DE和 GH大小相同，在旋转过程中旋转翼可以形 成封闭的空间，空气无法流动，则通道DE 所对的圆心角∠DOE的最大值为 第1题图 第2题图 2.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE, 8.(2025一2026赣州信丰期中)如下图，已知 ∠COD=38°，则∠AEO的度数是( D,E分别为半径OA,OB的中点，C为AB A.52° B.57°C.66° D.78 的中点，连接CD,CE. 3.如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶 (1)求证：CD=CE. 点.若∠AOD=150°，∠A=75°，∠D=60°， (2)若∠AOB=120°，OA=6,连接OC,AC, 则劣弧BC所对圆心角的度数为( 求△OAC的面积. A.25° B.40° C.50° D.60° 第3题图 第4题图 4.如图，AB是半圆O的直径，将AC沿弦AC 翻折后恰好经过点O,则∠AOC的度数为 A.120 B.125 C.130° D.145° 5.如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB.若∠AOC =48°，则∠D的度数为 D C 第5题图 第6题图 6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足 为E,AB=BF,CE=1,AB=6,则弦AF的 长度为 128 九年级数学RJ版 29.2.3圆周角 冒第1课时圆周角 (建议用时：30分钟) 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长度. 的直径.若AB=AC,∠ACB=70°，则 ∠CBD= ( A.40° B.50° C.60 D.70° 第1题图 第2题图 2.如图，AB,CD是⊙O的两条直径，E是BC 的中点，连接BC,DE.若∠B=22°，则∠D 的度数为 ( A.44°B.34° C.32° D.22 3.（2025一2026聊城阳谷期中)如图，AB是圆 的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB 上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点 A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4的值为( 7.如下图，OA,OB,OC都是⊙O的半径， A.45° B.90° C.135°D.180 ∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC. (2)若AB=4,BC=5,求⊙O的半径， .O 第3题图 第4题图 4.如图，点A,B,C,D在⊙O上，CB=CD, ∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB的度 数为 5.如图，在⊙O中，直径AB 交弦CD于点E,AC= CD,连接BD.若∠D= 35°，则∠C的度数为 第5题图 6.（2025一2026赣州南康区期中)如下图，四边 形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径， ∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明. 长4444号 上册课外拓展提高 129 冒第2课时圆内接多边形（建议用时：30分钟） L.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB=BC, (1)求证：四边形DBCF是平行四边形 连接BD.若∠ABC=70°，则∠BDC的度数 (2)若D是AB的中点，求证：AC是⊙O的 为 ( 直径 A.20° B.35° C.55° D.70° 0 B 第1题图 第2题图 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,过点B作 BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°，则 ∠ABC的度数是 A.50° B.100° C.130° D.150° 3.如图，在以AB为直径的⊙O中，弦AC∥ OD.若∠CAB=70°，则∠ACD的度数为 ( 7.如下图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边 A.110°B.115°C.120°D.125° 的延长线分别交于点E,F. (1)若∠E=∠F,求证：∠ADC=∠ABC (2)若∠E=40°，∠F=42°，求∠A的度数. 第3题图 第4题图 4.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB= AD,∠E=130°，则∠C的度数为 5.如图，四边形ABCD是半 圆的内接四边形，AB是圆 的直径，DC=CB.若∠C= 0 110°，则∠ABC的度数为 第5题图 6.如下图，在△ABC中，D是AB上一点，⊙O 经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作 DF∥BC,交⊙O于点F,连接AF,EF,CF, AF=EF. 130 九年级数学RJ版I∠CAD=∠EAD, 在△ACD与△AED中，∠C=∠AED, AD-AD. △ACD≌△AED(AAS),∴.AC=AE. (2):△ABC是直角三角形，且AC=6,BC=8, .AB=√AC2+BC2=√/62+82=10. 由(1)知，AE=AC=6,∠AED=∠C=90°， .∠BED=90°，BE=AB-AE=4. 设CD=ED=x,则BD=8-x. 在Rt△BED中，由勾股定理，得BD=BE2十ED, 即(8-x)=4十x2,解得x=3,∴.CD=3. 又AC=6,△ACD是直角三角形， AD=√AC+CD=√6+32=35， 即△ACD外接圆的直径长为3√5. 29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 1.B 2.B【解析】对于y=kx十12，当x =0时，y=12,.直线y=k.x+12 恒过点(0,12)，记为点D.过圆内 定点D的所有弦中，与OD垂直 的弦最短，如图，连接OB. ,OB=OA=13,OD=12, ∴.在Rt△OBD中，BD=√/OB2-OD=/13-12=5, .∴.BC=2BD=10. 3.(1)3(2)2√74.2√3 5.6cm【解析】如图，设杯口所在圆 的圆心为O,CD的中点为M,AB 的中点为N,连接OD,OB,则MN B ⊥AB,MN⊥CD,且MN过圆心O,DM=2CD=2 X48=2,4(cm),BN=号AB=2X3,6=1,8(cm MN=4.2cm.设OM=xcm,∴.ON=MN-OM= (4.2-x)cm..OM +MD2 =OD2,ON BN2= OB2,∴.OM+MD=ON2+BN2,∴.x2+2.4=(4.2 -x)2+1.82,解得x=1.8,即OM=1.8cm,∴.OD= √OM+MD=3cm,∴.纸杯的直径为3×2=6(cm). 6.解：任务1：由题意，得拱高CD垂直平分AB, 则AD=BD=2AB=8m 记圆心为O,则点O在CD的延长线上，连接AO,如 图.设圆形拱桥的半径为rm,则OD=(r-4)m, (r-4)2十82=r2,解得r=10. 故圆形拱桥的半径长为10m. 任务2：不能： 当EH是⊙O的弦时，易知AB∥EH. AB⊥CD, ∴.EH⊥CD 记EH与OC的交点为M,连接OE,如图，则EM= 2EH-5m, ∴.OM=√OE-EM=5√3m. .OC=10 m,CD=4 m, ∴.OD=OC-CD=6m, ∴.DM=(55-6)m<3m, ,∴，货船不能通过圆形拱桥. 为了能顺利通过圆形拱桥，船露出水面部分至少需要 下降的高度为3-(5√3-6)=(9-5√3)m. 1 :y=1007, ..当y=9-5√3时，x=100×(9一5√3)=900- 500√5， ∴.至少需要增加(900一500√3)t的货物. 29.2.2圆心角 1.D2.B 3.D【解析】如图，连接OB,OC. .OA=OB=OC=OD, 0 ∴.△OAB,△OBC,△OCD都是等腰AN 32 三角形. ∠A=75°，∠D=60°，.∠1=180°-2∠A=180° 2×75°=30°，∠2=180°-2∠D=180°-2×60°=60°， :∠A0D=150°，∴∠3=∠A0D-∠1-∠2=150° 30°一60°=60°，则劣弧BC所对圆心角的度数为60° 4.A【解析】如图，取点O关于直线 Q AC的对称点Q,连接OQ交AC于点 M M,则AC垂直平分OQ,连接AQ,则A光 AQ=OA.,OQ=OA,∴.OQ=AQ=OA,∴.△AQ0 是等边三角形，∴.∠AOQ=60°. :AC⊥OQ,∴.∠AM0=90°，.∠OAM=90°- ∠AOQ=30°..'OA=OC,∴.∠OAM=∠OCM=30°， .∴.∠AOC=180°-∠OAM-∠OCM=120°. 48 5.24°6.5 7.60° 8.解：(1)证明：C为AB的中点， ..∠AOC=∠BOC. D,E分别为半径OA,OB的中点，OA=OB, ∴.OD=OE. 在△COD和△COE中， OD=OE. ∠DOC=∠EOC, OC=OC, .∴.△COD≌△COE(SAS), ..CD=CE. 上册详解详析 41 (2)如图，过点C作CF⊥OA于点F. ∠AOB=120°，C为AB的中点， ∴.∠FOC=60°. 在Rt△OFC中，∠OCF=30°，OC= OA=6, 1 1 0F=20C=2X6=3. 由勾股定理，得CF=√OC-OF2=√6-32=3√3 SaoNc ×6×3,5=95. 1 故△OAC的面积为9√3， 29.2.3圆周角 第1课时圆周角 1.B 2.B【解析】连接OE,如图所示。 ·OB=OC,∠B=22, ∴.∠C=∠B=22°， .∠C0B=136. ,E是BC的中点， ∴∠c0E=号∠c0B=68∠D=3∠c0E=3 3.B【解析】AB是圆的直径， .AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°. ∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆， 1 ∠1+∠2+∠3+∠4=z×180°=90° 4.70° 5.70°【解析】连接AD,如图. AB是⊙O的直径， ∠ADB=90 0 :∠BDC=35°， .∠ADC=∠ADB-∠BDC=55. .AC=CD. .∠CAD=∠ADC=55, ∴.∠C=180°-∠CAD-∠ADC=70°. 6.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明：，AC是⊙O 的直径，∴.∠ABC=∠ADC=90°. :∠ADB=∠CDB,∠ADB=∠ACB,∠CDB =∠CAB, .∠ACB=∠CAB, ∴△ABC是等腰直角三角形 (2)由(1)知△ABC是等腰直角三角形，∴.BC=AB =√2， .AC=√AB2+BC=2. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1,则CD= √AC-AD=√3. 故CD的长度为√3. 7.解：1)证明：由圆周角定理，得∠ACB=豆∠A0B, 142 九年级数学RJ版 1 ∠BAC=2∠BOC. :∠ACB=2∠BAC,∠AOB=2∠BOC. (2)如图，过点O作半径OD⊥AB于 点E,连接BD,则∠DOB= ∠AOB,AE=BE. 1 ,∠AOB=2∠BOC, ∴.∠DOB=∠BOC, ∴.BD=BC. AB=4,BC=5,.BE=2,BD=5. 在Rt△BDE中， DE=VBD*-BE=1. 在Rt△BOE中，OB2=OE2+BE, 即OB2=(OB-1)2+22, 0B=号00的半径是号 5 第2课时圆内接多边形 1.C2.C3.D4.100 5.55°【解析】如图，连接AC. ,四边形ABCD是半圆的内接四边形，∠DAB= 180°-∠DCB=70°.：DC=CB, 1 六∠CAB=∠CAD=2∠DAB=35,·AB是圆的 直径，∴.∠ACB=90°，.∠ABC=90°-∠CAB=55°. 0 6.证明：(1)如图，连接DE. 点D,E,C,F四点共圆， .∠EDF+∠ECF=180. AF=EF,∴.∠ADF=∠EDF :DF∥BC,∠ADF=∠B, ∴.∠EDF=∠B,.∠B+∠ECF 180°，∴.BD∥CF 又DF∥BC,∴.四边形DBCF是平行四边形. (2)如图，连接CD. 由(1)得四边形DBCF是平行四边形， ..∠BAC=∠DFC=∠B,.BC=AC. D是AB的中点，.CD⊥AB, ,.∠ADC=90°，.AC是⊙O的直径 7.解：(1)证明：：∠ADC和∠ABC分别是△CDE和 △BCF的外角， ∴.∠ADC=∠E+∠ECD,∠ABC=∠F+∠FCB. ,∠E=∠F,∠ECD=∠FCB, .∴.∠ADC=∠ABC. (2)如图，连接EF. ,四边形ABCD为⊙O的内接四边形， .∠DCB+∠A=180°. 又，∠DCB+∠ECD=180°， ∴.∠ECD=∠A. '∠ECD=∠1+∠2，∴∠A= ∠1+∠2. :∠A+∠1+∠2+∠AEB+ ∠AFD=180°， .2∠A+∠AEB+∠AFD=180°. ∠AEB=40°，∠AFD=42°， .2∠A=98°，∴∠A=49. 29.3弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形面积 1.C【解析】如图，连接OB,交AC于 点D. ,四边形OABC是平行四边形，OC =0A, .四边形OABC是菱形，∴.OB⊥AC. .OA=OB=AB. ∴.△OAB是等边三角形，∴.∠AOB=60°， ∴.∠AOC=120°，∠0AD=30°. 1 在R△OAD中，AD=2AC=5,OD=2OA. 0D+AD=0A,(20A）+(5)=0A, 解得OA=2, ÷C的长是10X2- 2.D【解析】如图，连接AC.:两弧有 D 且仅有一个公共点，AD=4,.AC= 2AD=8,∴.在Rt△ADC中，CD= √AC2-AD=√82-4=4V3,∴.S振形AcD=AD· CD=163.S,=S,∴.S白=S1+S:=2X 90XrX4=8不，SRs=S05m-Sa=16y5-8m 360 3.3V3一π【解析】由题意可知S阴影=S△Ax十SBACDE一 S形OB.如图，过点A作AH⊥OD于点H,则AH= 20A=5.:0C=AC,.∠0AC=∠AOB=30, ∴.∠ACB=60°，∴.CH=1,AC=2,.CD=CA=OC =2,S阴影=Sae十SBACDE-S0形0a=2X2XV5十 2X3-30×π×(25) -=√3+25-π=33-π. 360 4.解：(1)如图，连接BD. :矩形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°， BD是⊙O的直径. AB=8,AD=6, .BD=√AB2+AD=8+6=10, .⊙0的半径为5. (2)如图，连接OA,OE. 由(1)知⊙0的半径为5， ..OA=OE=5. :在△AOE中，OA2+OE2=50=AE2, .∠AOE=90°， 正的长为95-受 5.解：(1)证明：，OA=OB,∠AOB=120°，OC⊥AB, 1 ·∠AOC=∠BOC=2∠AOB=60, ,OD=OC,OC=OE,∴.△ODC和△OCE都是等边 三角形， ..OD=OC=DC,OC=OE=CE,..OD=CD=CE= OE,.四边形ODCE是菱形. (2)如图，连接DE交OC于点F. 四边形ODCE是菱形，.OF= 2OC=1,DE=2DF,∠OFD =90°. 在Rt△ODF中，OD=2,∴.DF=√OD-OF= √22-下=√5，.DE=2DF=2V3,.S刷影都分= 120π×22 1 S扇形ODE一S菱形ODCE= 360 Γ2 ×2X25=4 3 25图中阴影部分的面积为誓-25。 第2课时圆锥的侧面积和全面积 1.D2.C 3.D【解析】，∠A=90°，AB=AD, ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴.∠ABD=45°，BD=√AB+AD=√2AB. :∠ABC=105°，∴.∠DBC=60. 又，BC=CD, .△CBD为等边三角形， .BC=BD=√2AB. ,上面圆锥和下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比为AB: BC=1:√2， .下面圆锥的侧面积为√2×1=√2. 144 4. π 5.√3【解析】：六边形ABCDEF是正 六边形，.∠BAF=∠AFE=∠E= (6-2)×180° =120°，AB=AF=EF 6 =DE=6,∴∠AFB=∠ABF= 2X(180°-120)=30，∠EFD= 上册详解详析 43△