精品解析：陕西西安市高新区第六初级中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

2026~2027学年度第一学期九年级数学试题（一） （总分：120分 用时120分钟） 一、单选题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（ ） A. B. C. D. 4. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56.25 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，如图，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 对二次函数的性质描述正确的是（ ） A. 函数图象开口朝下 B. 当时，随的增大而减小 C. 该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D. 该函数图象的对称轴在轴左侧 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 10. 在现代智能吉他的设计中，工程师发现，当上弦枕安装在琴弦的黄金分割点处时，弹奏出的音色最为均衡、悦耳．如图，一把吉他的琴弦长度为，上弦枕安装在点处，若此时用该吉他弹奏的效果最好，则在点下方的琴弦长为_____． 11. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 12. 如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为_________ 13. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为_____. 14. 如图，在中，，连接，，分别交于点M，N．则的值为______． 三、解答题（共12题，共78分） 15. 解不等式组： 16. 解一元二次方程： 17. 化简求值：，其中． 18. 如图，点E为矩形的边上一点，请用尺规作图法在对角线上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出的长为_________，的面积为_________． 21. 已知关于的一元二次方程，若、是方程的两根，且，求的值． 22. 如图，在中，，是的中线，分别过，作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 23. 隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 24. 如图，在中，点、分别在、上，连接、，，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 25. 已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）当时，直接写出y的取值范围． 26. 问题背景： 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： （1）小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2，的度数为_________； 迁移应用： （2）如图3，在中，将边绕点C顺时针旋转，得到，延长到点E，使，连接，求的值； 联系拓展： （3）如图4，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期九年级数学试题（一） （总分：120分 用时120分钟） 一、单选题（共8题，每题3分，共24分） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、是反比例函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选：． 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3. 若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为． 故选：C． 4. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56.25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 6. 某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 7. 已知，如图，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵​的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 8. 对二次函数的性质描述正确的是（ ） A. 函数图象开口朝下 B. 当时，随的增大而减小 C. 该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D. 该函数图象的对称轴在轴左侧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与轴（轴）交点是解决此类题的关键． ，可判断其开口方向向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，令，得，抛物线与轴交于点，分别判断即可． 【详解】解：．，开口向上，故不符合题意； ．因开口向上，对称轴为直线，时随的增大而减小，故不符合题意； ．当时，，即与轴交点为在轴正半轴，故不符合题意； ．对称轴为直线，在轴左侧，故符合题意； 故选：． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9. 已知方程的一个根为，则m的值为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】方程的根满足方程，将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得， 整理得， 解得． 10. 在现代智能吉他的设计中，工程师发现，当上弦枕安装在琴弦的黄金分割点处时，弹奏出的音色最为均衡、悦耳．如图，一把吉他的琴弦长度为，上弦枕安装在点处，若此时用该吉他弹奏的效果最好，则在点下方的琴弦长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】吉他的上弦枕安装在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， ∵吉他的琴弦长为 ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键，根据规律直接得到答案． 【详解】抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， 则平移后抛物线的解析式为, 故答案为． 12. 如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为_________ 【答案】##45度 【解析】 【分析】利用勾股定理求得和各边长，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：在小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上， 由勾股定理得：，，， ，，， ， ， ， ． 13. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为_____. 【答案】． 【解析】 【分析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，可证△ABE≌△AOE，可得AO=AB=BO=DO，由勾股定理可求AB的长． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴，且，， ∴≌（） ∴，且 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 14. 如图，在中，，连接，，分别交于点M，N．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．证明，是解的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，同理：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12题，共78分） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为.  16. 解一元二次方程： 【答案】， 【解析】 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ∴， 解：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 将代入得，原式． 18. 如图，点E为矩形的边上一点，请用尺规作图法在对角线上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点F即为所求. 【解析】 【分析】如图，作于点，则点为所求； 【详解】过点作的垂线，垂足为点，由于四边形为矩形，则，再根据平行线的性质得到，则可判断 【点睛】本题考查了作图-相似变换：灵活运用相似三角形的判定方法是解决问题的关键，也考查了矩形的性质. 19. 如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，．求证：． 【答案】 ∵，，，． ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】首先求出，的长，再求出出，又因为，根据相似三角形的判定可证得． 【详解】解：略． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； （2）直接写出的长为_________，的面积为_________． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2），8 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质，画出即可； （2）根据勾股定理求出的长，分割法求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理，得； 的面积为. 21. 已知关于的一元二次方程，若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和，即可用表示两根之和、两根之积，将其代入关于、的方程即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ． ， ， ， ， ． 22. 如图，在中，，是的中线，分别过，作，的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）连接，根据菱形的性质得出，，利用含角的直角三角形及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 23. 隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【答案】天堂的高度约为 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，先得出四边形和四边形都是矩形，进而可得的长，再证出，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∵，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：天堂的高度约为． 24. 如图，在中，点、分别在、上，连接、，，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵，且， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，且，推导出，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似“证明． （2）由，得，变形为，因为，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ， 的值是． 25. 已知二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）列表，描点，连线，画出函数图象即可； （2）由图象直接写出y的取值范围即可. 【小问1详解】 解：，故抛物线的顶点坐标为； 列表如下： 0 1 2 3 4 0 3 4 3 0 略 【小问2详解】 略 26. 问题背景： 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： （1）小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2，的度数为_________； 迁移应用： （2）如图3，在中，将边绕点C顺时针旋转，得到，延长到点E，使，连接，求的值； 联系拓展： （3）如图4，在四边形中，，，点E为的中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质以及邻补角的性质即可解答； （2）如图，过点D作交的延长线于点H．先证明可得，再证明，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （3）如图，连接，根据等腰三角形的性质可得；如图：将绕点B逆时针旋转得到，连接，则，再证明可得易得，然后证明，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得： ∵， ∴，即． 【小问2详解】 如图，过点D作交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，点E为的中点， ∴， 将绕点B逆时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中， ． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $