26.4第2课时 最大利润问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4第2课时 最大利润问题 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 26.4 第2课时 最大利润问题 专项练习 ## 知识点梳理 ### 核心公式 1. 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 2. 总利润 = 单件利润 × 销售量 ### 解题步骤 1. 设未知数：一般设**涨价/降价的金额**或者**售价**为$x$； 2. 表示出：单件利润、现在的销售量； 3. 列出总利润$W$的二次函数关系式； 4. 确定自变量$x$的实际取值范围（价格不能负数、销量不能负数）； 5. 利用二次函数性质求最值： - $\(a<0\)$，开口向下，顶点处取得最大值； - 若顶点横坐标不在自变量取值范围内，在区间端点求最大利润。 > 易错提醒 1. 涨价，销量减少；降价，销量增加，不要写反； 2. 求出最值后，一定要检验$x$是否符合实际； 3. 题目有限价条件（如售价不能超过某个数），要注意定义域限制。 ## 一、选择题（每题4分，共\(\boldsymbol{20}\)分） 1. 某商品每件进价\(\boldsymbol{20}\)元，售价$x$元，可卖出$(100-x)$件，则总利润$W$为（） A. $\(W=\)x(100-x)$ B. $\(W=\)(x-\(\boldsymbol{20}\))(100-x)$ C. $\(W=\)(\(\boldsymbol{20}\)-x)(100-x)$ D. $\(W=\)(x-\(\boldsymbol{20}\))x$ 2. 利润函数$\(W=\)-2(x-15)^2+450$，则最大利润是（） A. 15　B. 450　C. 30　D. 225 3. 某商品每件成本30元，每涨价1元，少卖5件。原售价每件40元，每周卖\(\boldsymbol{20}\)0件。设涨价$x$元，则销售量为（） A. $\(\boldsymbol{20}\)0-5x$　B. $\(\(\boldsymbol{20}\)0+5x\)$ C. $\(40+x\)$　D. $10(\(\boldsymbol{20}\)0-5x)$ 4. 利润$\(W=\)-x^2+\(\boldsymbol{20}\)x-75$，$a=-1<0$，则获得最大利润时，$x$等于（） A. 10　B. \(\boldsymbol{20}\)　C. 75　D. 5 5. 利润$\(W=\)-(x-8)^2+1\(\boldsymbol{20}\)$，规定售价$x\ge10$，则最大利润为（） A. 1\(\boldsymbol{20}\)　B. 116　C. 104　D. 96 ## 二、填空题（每题4分，共\(\boldsymbol{20}\)分） 6. 一件商品进价10元，售价$x$元，卖出$(50-2x)$件，总利润$\(W=\)$________________。 7. 利润$\(W=\)-5x^2+\(\boldsymbol{20}\)0x+100$，当$\(x=\)$____时，总利润最大。 8. 进价每件50元，售价每件80元，每周卖100件；每降价1元，多卖10件。设降价$x$元，则单件利润=________，销售量=________。 9. $\(W=\)-4(x-6)^2+160$，$0\le x\le5$，则最大利润是________。 10. 某商品利润$\(W=\)-0.1x^2+10x$，最大利润为________。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）某纪念品每件进价\(\boldsymbol{20}\)元，售价每件30元，一周可售出\(\boldsymbol{20}\)0件。市场调查：每涨价1元，每周少卖5件。设涨价$x$元，总利润为$W$元。 (1) 写出$W$与$x$的函数关系式； (2) 涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 12.（16分）某服装店销售T恤，每件成本40元，售价60元，每月卖300件。每降价1元，销量增加\(\boldsymbol{20}\)件。设每件降价$x$元，月利润$W$元。 (1) 求$W$关于$x$的函数关系式； (2) 降价多少元时利润最大？最大利润是多少？ 13.（16分）某超市销售一款礼盒，进价每件40元，规定售价不低于40元，且不高于60元。当售价50元时，每周卖\(\boldsymbol{20}\)0件；每涨价1元，每周少卖10件。设售价为$x$元，总利润$W$元。 (1) 求$W$与$x$的函数关系式； (2) 售价定为多少时，利润最大，最大利润是多少？ 14.（16分）某工厂生产产品，每件成本\(\boldsymbol{20}\)元，售价$x$（$\(\boldsymbol{20}\)\le x\le40$），月销量$y=-10x+600$件。设月总利润$W$元。 (1) 写出$W$与$x$的函数解析式； (2) 售价定为多少元，总利润最大，最大利润多少？ --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. B 解析：单件利润$(x-\(\boldsymbol{20}\))$，总利润=单件利润×销量 2. B 解析：顶点纵坐标就是最大值450 3. A 解析：涨价，销量减少，减少$5x$件 4. A 解析：对称轴$\(x=\)-\dfrac{b}{2a}=10$ 5. B 解析：对称轴$\(x=\)8$，不在$x\ge10$范围内；$\(x>8\)$时$W$递减，$\(x=\)10$，$\(W=\)-(10-8)^2+1\(\boldsymbol{20}\)=116$ ### 填空题 6. $\boldsymbol{\(W=\)(x-10)(50-2x)}$ 7. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{20}\)}$ 8. $\boldsymbol{(30-x)}$；$\boldsymbol{\(\boldsymbol{(100+10x)}\)}$ 9. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{156}\)}$（$\(x=\)5$代入） 10. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{250}\)}$ ### 解答题 11. (1) 单件利润：$(30+x-\(\boldsymbol{20}\))=10+x$，销量：$\(\boldsymbol{20}\)0-5x$ $$ \begin{align*} W&=(10+x)(\(\boldsymbol{20}\)0-5x)\\ &=-5x^2+150x+\(\boldsymbol{20}\)00 \end{align*} $$ (2) $a=-5<0$，对称轴$\(x=\)15$，$\(x=\)15$在取值范围。 $W_{max}=-5\times15^2+150\times15+\(\boldsymbol{20}\)00=3125$ 答：涨价15元，最大利润3125元。 12. (1) 单件利润：$(60-x-40)=\(\boldsymbol{20}\)-x$，销量：$300+\(\boldsymbol{20}\)x$ $$ \begin{align*} W&=(\(\boldsymbol{20}\)-x)(300+\(\boldsymbol{20}\)x)\\ &=-\(\boldsymbol{20}\)x^2+100x+6000 \end{align*} $$ (2) 对称轴$\(x=\)2.5$ $W_{max}=-\(\boldsymbol{20}\)\times(2.5)^2+100\times2.5+6000=6125$ 答：降价2.5元，最大利润6125元。 13. (1) 涨价：$(x-50)$元，销量：$\(\boldsymbol{20}\)0-10(x-50)=700-10x$ 单件利润：$x-40$ $$ \begin{align*} W&=(x-40)(700-10x)\\ &=-10x^2+1100x-28000\quad(40\le x\le60) \end{align*} $$ (2) 对称轴$\(x=\)55$，$55$在$40\le x\le60$范围内。 $W_{max}=(55-40)(700-550)=2\(\boldsymbol{250}\)$ 答：售价55元，最大利润2\(\boldsymbol{250}\)元。 14. (1) 单件利润$x-\(\boldsymbol{20}\)$ $$ \begin{align*} W&=(x-\(\boldsymbol{20}\))(-10x+600)\\ &=-10x^2+800x-1\(\boldsymbol{20}\)00\quad(\(\boldsymbol{20}\)\le x\le40) \end{align*} $$ (2) 对称轴$\(x=\)40$，正好在区间端点。 $\(x=\)40$时，$W_{max}=(40-\(\boldsymbol{20}\))(-400+600)=4000$ 答：售价定为40元，最大利润4000元。 > 本节小结 最大利润题固定套路：**总利润=单件利润×销量**； 注意涨价/降价对销量的影响；看清题目**售价限制**，顶点不在定义域，就取端点。 下一课：**26.4 第3课时 抛物线型实际问题（拱桥、喷水）**，继续写配套练习吗？也可以只导出纯题目无答案版本。 1 2 3 掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型. 能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润； 经历 “分析利润关系→建立二次函数模型→分类讨论求解→得出最优方案” 的过程，进一步提升数学建模能力。 素养目标 回顾 上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？ 1. 建立二次函数模型 2. 确定自变量取值范围 3. 求解函数最值： (1)若顶点横坐标在自变量取值范围内，利用求出； (2)若横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性求出. 4. 解释实际意义 今天我们继续学习二次函数在商业中的应用 —— 最大利润问题. 情境导入 3 情境导入 在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求.如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？ 探究新知 探究1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 先确定n的取值范围 解：设每件涨价n元，利润为y1. 则y1=(60+n-40)(300-10n) 即y1=-10n2+100n+6000 利润=（售价－进价）×销量 可得：0≤n≤30. (0≤n≤30,n为整数) y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30, n为整数） 根据上面的函数，填空： 当n=_______时，y1最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. =-10(n2-10n)+6000 =-10(n-5)2+6250 5 5 65 6250 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 涨价 40 60+n 300-10n 降价 40 60-m 300+20m 先确定m的取值范围 解：设每件降价m元，利润为y2. 则y2=(60-m–40)(300+20m) 即y2=-20m2+100m+6000 利润=（售价－进价）×销量 可得：0≤m≤20. (0≤m≤20,m为整数) y2=-20m2+100m+6000 (0≤m≤20, m为整数) 根据上面的函数，填空： 当m=_______时，y1最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________元. 2或3 2或3 58或57 6120 =-20(m2-5m)+6000 =-20(m-2.5)2+6125 （2）降价情况下，定价57或58元时，有最大利润6120元. （1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. 综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元. 进价/元 售价/元 数量/件 利润/元 现价 40 60 300 6000 涨价 40 65 250 6250 降价 40 57/58 360/340 6120 1. 返回 某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系式是y＝－2x2＋60x＋800，则最大利润为(　　) A．15元 B．400元 C．800元 D．1 250元 D 举一反三 12 返回 2. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　) A．24元 B．25元 C．28元 D．30元 B 举一反三 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元. (1)求每天的销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间的函数关系式. (2)销售单价为多少元时,每天的销 售利润最大?最大利润是多少? 练一练 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)] =- 5x2 + 800x-27500， 即y=-5x2 +800x-27500( 50≤x≤100). 成本 (元/件) 销售单价 (元) 销售量 (件) 降价前 50 100 50 降价后 50 x 50+5(100-x) (2)y=-5x2+800x-27500 =-5(x-80)2+4500. 因为-5<0，50≤x≤100， 所以当x=80时，y有最大值4500， 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元. 返回 3. [石家庄期末]嘉嘉投资销售一种进价为每件30元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看成一次函数y＝－10x＋400，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的50%. (1)设嘉嘉每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； 举一反三 解：根据题意，得w＝(x－30)(－10x＋400) ＝－10x2＋400x＋300x－12 000 ＝－10x2＋700x－12 000. ∵销售单价不低于成本价30元，而每件的利润不高于 成本价的50%， 即30×(1＋50%)＝45(元)，∴30≤x≤45. 返回 举一反三 返回 (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ 解：在w＝－10x2＋700x－12 000中， a＝－10，b＝700，c＝－12 000， ∵30≤x≤45，－10<0，∴当x＝35时，w取最大值， 即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． 举一反三 返回 4. 某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 举一反三 [烟台中考]改编每年5月的第三个星期日为全国助残日，为践行“科技助残，共享美好生活”理念，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； 5. 返回 举一反三 (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，解得x≤20. ∵y＝ x2＋20x＋12 000＝ (x－25)2＋12 250， ∴当x＝20时，y取得最大值，为 ×(20－25)2＋12 250＝12 240. 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大， 最大利润为12 240元． 返回 举一反三 某商店购进一批单价为20元/件的日用商品，如果以单价30元/件销售，那么每天可以售出400件，根据销售经验可知，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售利润为y元，则可列关系式为y＝(30＋x－20)(400－20x)．对所列关系式中出现的代数式，下列说法错误的是(　　) A．(30＋x－20)表示涨价后每件商品的单价 B．20x表示涨价后每天少售出商品的数量 C．(400－20x)表示涨价后每天售出商品的数量 D．(30＋x)表示涨价后每件商品的单价 返回 6. A 举一反三 课堂小结 1.利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)根据数量之间的关系设未知数； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)回答实际问题. 2.常见数量关系：利润=售价-成本，总利润=每件商品的利润×销售量，利润率= ×100% 课堂小结 谢谢观看 THANKS ∴－＝－＝35. 解：由题意，得y＝(200－x)· ＝－x2＋20x＋12 000. － － － $