26.4 第2课时 商品利润最大问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数的商品利润最大问题，通过复习二次函数求几何面积步骤及销售利润公式导入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以例1（涨价降价）、例2（分段函数）为载体，引导学生抽象数量关系建立函数模型，体现数学眼光；通过分析自变量取值范围、推理最值求解过程，发展数学思维；小结步骤清晰，助力学生用数学语言表达。采用探究式教学，学生能提升解决实际问题能力，教师可获得结构化教学资源。

26.4 实际问题与二次函数 第 2 课时 商品利润最大问题 第26章 二次函数 人教版 九年级（上） 1 1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题；（重点） 2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点） 素养目标 1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤： 审→设→列→解→答 公式法：顶点坐标 配方法：y = a(x - h)2 + k 复习导入 利润 = 收入 - 成本 总收入 = 销售单价×销量 总成本 = 进货单价×销量 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 2. 销售问题中有关利润的公式： 复习导入 总利润 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 40 60 300 涨价 60 + 1 300 - 10 60 - 1 300 + 20 降价 20 20 + 1 20 - 1 例1 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件.市场调查反映，若调整单价(单价为整数)：每涨价 1 元，则每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件.已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少? 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 ①设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 20 300 20 + x 300 - 10x (20 + x)(300 - 10x) 所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. 6000 涨价销售 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，故自变量的取值范围是 0≤x≤30，x 为整数. ③每件涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y =-10x2 + 100x + 6000 = -10(x - 5)2 + 6250 (0≤x≤30). 当 x = 5，即每件涨价 5 元 (销售单价为 65 元) 时，有 y最大值 = 6250. ∴当销售单价为 65 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 6250 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 解：设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则单件利润为 20 − x 元，每星期可卖出 300 + 20x 元. 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 (20 − x) (300 + 20x) (20 − x)(300 + 20x) 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. 6000 降价销售 想一想，每一步应该怎么做？ ① 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 ② 根据题意，求出自变量的取值范围 ∵ 20 − x≥0，且 x≥0，∴ 0≤x≤20，x 为整数. ③ 将二次函数解析式化为顶点式 y = −20x2 + 100x + 6000 或求出顶点横坐标(对称轴) y = −20x2 + 100x + 6000 对称轴为 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 ④ 结合自变量的取值范围，求最大值 综上可知，定价为 65 元时，才有最大利润是 6250 元. 所以当每件降价 2 或 3 元时， 即定价为 58 或 57 元时，利润最大，最大利润是 6120 元. ∵ 0＜ ＜20，−20＜0，x 为整数. ∴当x = 2 或 3 时，y有最大值， 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 1. 一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 解：(1) 由题意，得 (2) 由题意，得 w = y(x − 8) = (−4x + 108)(x − 8) = −4x2 + 140x − 864 ∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361. ∵ ＞8，−4＜0， 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 例2 某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量 y (千克)与销售单价 x (元/千克) 的函数关系如图所示： (1) 求 y 与 x 的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润 W 的最大值. O 6 200 1000 8 x y 10 12 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式； 解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为 y = kx + b (k≠0) 由题意得 6k + b = 1000， 10k + b = 200， ｛ k = -200， b = 2200. ｛ 解得 ∴ y = -200x + 2200. 当 10＜x≤12，y = 200 故 y 与 x 的函数解析式为 y = -200x + 2200 (6≤x≤10) 200 (10＜x≤12) ｛ O 6 200 1000 8 x y 10 12 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 分析：根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值. (2) 由已知得： W = (x - 6)y 当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200) = -200x2 + 3400x - 13200 又∵ -200＜0， ∴当 时，利润 w 有最大值. ∵对称轴 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200. ∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大. ∴ x = 12 时， W 有最大值. W最大值 = 200×12 - 1200 =1200. 综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润， 最大利润为 1250 元. 探究点：利用二次函数解决商品利润最大问题 新知探究 最大利润问题 建立函数关系式 总利润 = 单利润×总销量 总利润 = 总售价-总成本 确定自变量的取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 课堂小结 1. 某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与 销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋ 1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22， 那么一周可获得最大利润是(　A　) A. 1558元 B. 1550元 C. 1508元 D. 20元 A 当堂反馈 2. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为 ⁠ ， w的最大值为 ⁠. w＝－5x2＋800x－27500 4500　 当堂反馈 3. [教材变式]某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为多少元？ 书写通关 解：设 ⁠， 根据题意得 ⁠ ⁠， x的取值范围为 ⁠， ∴当x＝ 时，利润取得最大值. 答： ⁠ ⁠. 利润为w元　 w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25 20≤x≤30　 25　 若要使利润最大，则每件的售价应为25元 当堂反馈 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求能获得的最大利润. 解：设总利润为w万元，在甲地销售了a辆， 则乙地销售了(15－a)辆， 则y1＝－a2＋10a，y2＝2(15－a). 由题意得w＝－a2＋10a＋2(15－a)＝－(a－4)2＋46， ∴当a＝4时，w最大＝46. ∴能获得的最大利润为46万元. 当堂反馈 5. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y＝－2x＋160，且规定商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元. (1)销售单价为多少元时每天能获得800元的利润？ 解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800， 整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70. ∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50 元，∴30≤x≤50.∴x＝40. 解：(1)由题意得(x－30)(－2x＋160)＝800， 整理得x2－110x＋2800＝0，解得x1＝40，x2＝70. ∵商品的销售单价不能低于成本价，但不高于50元， ∴30≤x≤50.∴x＝40. 答：销售单价为40元时每天能获得800元的利润. 当堂反馈 解：(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－ 55)2＋1250. ∵－2＜0，∴当x＜55时，w随x的增大而增大. ∵30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w ＝1200. 答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单 价应定为50元，最大利润为1200元. 解：(2)由题意得w＝(x－30)(－2x＋160) ＝－2(x－55)2＋1250. ∵－2＜0，∴当 x＜55 时，w 随 x 的增大而增大. ∵30≤x≤50， ∴当 x＝50 时，w 有最大值，此时，w＝1200. 答：要使销售该商品每天获得的利润最大，销售单 价应定为 50 元，最大利润为 1200 元. (2)[典型易错]要使销售该商品每天获得的利润w(元)最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $