26.4实际问题与二次函数（第1课时最大（小）值问题）（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数（第1课时最大（小）值问题） 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # (\boldsymbol{2})6.4 第(\boldsymbol{1})课时 生活中的最值问题 专项练习 ## 知识点梳理 ### 核心思路 实际问题转化为二次函数：$\boldsymbol{y=ax^(\boldsymbol{2})+bx+c\ (a≠0)}$ (\boldsymbol{1}). $\boldsymbol{(\boldsymbol{a>0})}$，开口向上，在顶点处取**最小值**； (\boldsymbol{2}). $\boldsymbol{(\boldsymbol{a<0})}$，开口向下，在顶点处取**最大值**。 > > ⚠️ 实际问题重点：**自变量x有取值范围** - 如果顶点横坐标在取值范围内，最值就是顶点纵坐标； - 如果顶点横坐标不在取值范围内，在区间端点取最值。 ### 解题步骤 (\boldsymbol{1}). 设变量，建立二次函数关系式； (\boldsymbol{2}). 确定自变量的实际取值范围； 3. 求顶点，判断顶点是否在取值范围内； 4. 求出最值，写出答案，检验是否符合实际意义。 > > 易错提醒 > (\boldsymbol{1}). 面积、利润问题，自变量不能是负数； > (\boldsymbol{2}). 不要直接套顶点公式，忽略自变量取值限制； > 3. 单位统一，结果要符合现实。 ## 一、选择题（每题4分，共(\boldsymbol{2})0分） (\boldsymbol{1}). 二次函数$y=-x^(\boldsymbol{2})+4x+5$，则函数的最大值是（） A. 5　B. (\boldsymbol{9})　C. (\boldsymbol{1})0　D. (\boldsymbol{1}) (\boldsymbol{2}). 用总长40m的篱笆围成矩形场地，矩形面积$S$随一边长$x$变化，$S$的最大值为（） A. $(\boldsymbol{1})00\mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$　B. $(\boldsymbol{2})00\mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$ C. $400\mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$　D. $(\boldsymbol{1})60\mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$ 3. 某商品利润$y=-(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})0x-800$（$x$为单价），要利润最大，则单价$x$为（） A. 30　B. 60　C. 40　D. (\boldsymbol{2})0 4. 矩形面积$y=x((\boldsymbol{1})0-x)$，$(0<x<(\boldsymbol{1})0)$，下列说法正确的是（） A. 有最小值0 B. 有最大值(\boldsymbol{2})5 C. 有最大值(\boldsymbol{1})0 D. 无最值 5. 已知二次函数$y=x^(\boldsymbol{2})-4x+3$，$(\boldsymbol{1})\le x\le4$，则函数最小值为（） A. $-(\boldsymbol{1})$　B. 0　C. 3　D. 8 ## 二、填空题（每题4分，共(\boldsymbol{2})0分） 6. 二次函数$y=-(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})+8x-(\boldsymbol{1})$，当$(x=)$****时，$y$取得最大值****。 (\boldsymbol{7}). 周长为(\boldsymbol{2})4的矩形，面积最大值为________。 7. 某喷泉水流高度$y=-x^(\boldsymbol{2})+6x$，$y$单位m，$x$水平距离，水流最大高度为____m。 (\boldsymbol{9}). 二次函数$y=-x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{2})x$，$0\le x\le3$，最大值是____，最小值是____。 (\boldsymbol{1})0. 两数之和为(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})，这两个数乘积的最大值为________。 ## 三、解答题（共60分） (\boldsymbol{1})(\boldsymbol{1}).（(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})分）用长(\boldsymbol{2})0m的篱笆，一面靠墙围成一个矩形菜园，墙足够长。设垂直墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，面积$S\ \mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$。 ((\boldsymbol{1})) 写出$S$与$x$的函数关系式，写出自变量取值范围； ((\boldsymbol{2})) 当$x$取何值时，菜园面积最大，最大面积是多少？ (\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2}).（(\boldsymbol{1})6分）某商店销售一款文具，每件进价4元，售价$x$元，销售量$y=-(\boldsymbol{1})0x+(\boldsymbol{1})00$件。设销售利润为$W$元。 ((\boldsymbol{1})) 写出$W$关于$x$的函数关系式； ((\boldsymbol{2})) 售价定为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ (\boldsymbol{1})3.（(\boldsymbol{1})6分）如图，在$\triangle ABC$中，$BC=(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})\mathrm{cm}$，高$AD=8\mathrm{cm}$。在三角形内截取矩形$EFGH$，$FG$在$BC$上，设矩形的高$(HG=x)\mathrm{cm}$，矩形面积为$S\mathrm{cm^(\boldsymbol{2})}$。 ((\boldsymbol{1})) 求$S$与$x$的函数关系式； ((\boldsymbol{2})) $x$取何值，矩形面积最大，最大面积是多少？ (\boldsymbol{1})4.（(\boldsymbol{1})6分）有一块直角三角形铁皮，两直角边分别为3m、4m。现从中剪出一个面积最大的矩形，矩形一边在直角边上，求矩形最大面积。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 (\boldsymbol{1}). B 解析：$y=-(x-(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{9})$，最大值(\boldsymbol{9}) (\boldsymbol{2}). A 解析：设一边$x$，另一边长$(\boldsymbol{2})0-x$，$S=x((\boldsymbol{2})0-x)=-x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{2})0x$，顶点$(x=)(\boldsymbol{1})0$，$S_{max}=(\boldsymbol{1})00$ 3. A 解析：$(x=)-\dfrac{b}{(\boldsymbol{2})a}=-\dfrac{(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})0}{(\boldsymbol{2})\times(-(\boldsymbol{2}))}=30$ 4. B 解析：$y=-x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{1})0x$，顶点$((5,(\boldsymbol{2})5))$，最大值(\boldsymbol{2})5 5. A 解析：$y=(x-(\boldsymbol{2}))^(\boldsymbol{2})-(\boldsymbol{1})$，顶点$(x=)(\boldsymbol{2})$在$(\boldsymbol{1})\le x\le4$范围内，最小值$-(\boldsymbol{1})$ ### 填空题 6. $\boldsymbol{(\boldsymbol{2})}$；$\boldsymbol{(\boldsymbol{7})}$ (\boldsymbol{7}). $\boldsymbol{(\boldsymbol{36})}$ 7. $\boldsymbol{(\boldsymbol{9})}$ (\boldsymbol{9}). $\boldsymbol{(\boldsymbol{1})}$；$\boldsymbol{-3}$ (\boldsymbol{1})0. $\boldsymbol{(\boldsymbol{36})}$ ### 解答题 (\boldsymbol{1})(\boldsymbol{1}). ((\boldsymbol{1})) 垂直墙边长$x$，平行墙边长$(\boldsymbol{2})0-(\boldsymbol{2})x$ $S=x((\boldsymbol{2})0-(\boldsymbol{2})x)=-(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{2})0x$，自变量范围$\boldsymbol{(0<x<(\boldsymbol{1})0)}$ ((\boldsymbol{2})) $a=-(\boldsymbol{2})<0$，对称轴$(x=)5$，在取值范围内。 当$\boldsymbol{(x=)5}$时，$S_{max}=50$ 答：垂直墙边长5m时，最大面积$50\mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$。 (\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2}). ((\boldsymbol{1})) 单件利润$(x-4)$元 $$ \begin{align*} W&=(x-4)(-(\boldsymbol{1})0x+(\boldsymbol{1})00)\ &=-(\boldsymbol{1})0x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{1})40x-400 \end{align*} $$ ((\boldsymbol{2})) $a=-(\boldsymbol{1})0<0$，对称轴$(x=)(\boldsymbol{7})$ 当售价$\boldsymbol{(x=)(\boldsymbol{7})}$元，$W_{max}=-(\boldsymbol{1})0\times4(\boldsymbol{9})+(\boldsymbol{1})40\times(\boldsymbol{7})-400=(\boldsymbol{9})0$ 答：售价(\boldsymbol{7})元，最大利润(\boldsymbol{9})0元。 (\boldsymbol{1})3. ((\boldsymbol{1})) 矩形高$(HG=x)$，三角形上面小三角形高$8-x$，相似三角形： $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{8-x}{8}$，$BC=(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})$，得$EF=(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})-\dfrac{3}{(\boldsymbol{2})}x$ $S=x\left((\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})-\dfrac3(\boldsymbol{2})x\right)=-\dfrac3(\boldsymbol{2})x^(\boldsymbol{2})+(\boldsymbol{1})(\boldsymbol{2})x\quad(0<x<8)$ ((\boldsymbol{2})) 对称轴$(x=)4$，$a=-\dfrac3(\boldsymbol{2})<0$ $(x=)4$时，$S_{max}=(\boldsymbol{2})4$。 答：$(x=)4\mathrm{cm}$，最大面积$(\boldsymbol{2})4\mathrm{cm^(\boldsymbol{2})}$。 (\boldsymbol{1})4. 设矩形垂直于3m直角边的边长为$x$，另一边为$y$。 由相似得：$\dfrac{4-y}{4}=\dfrac{x}{3}$，$y=4-\dfrac43x$ 面积$S=xy=x\left(4-\dfrac43x\right)=-\dfrac43x^(\boldsymbol{2})+4x$ 对称轴$(x=)\dfrac{3}{(\boldsymbol{2})}$，代入，$S_{max}=3$ 答：矩形最大面积$3\mathrm{m^(\boldsymbol{2})}$。 > > 本节小结 > 生活最值问题核心：**列函数，找定义域，看顶点是否在取值范围**； > 顶点在范围内，顶点取最值；顶点不在范围，看区间端点。 下一课：**(\boldsymbol{2})6.4 第(\boldsymbol{2})课时 二次函数在销售利润问题中的应用**，继续写配套练习吗？也可以只导出纯题目无答案版本。 1 2 3 能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，掌握利用二次函数顶点公式求实际问题中最值的方法. 能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值； 经历 “实际问题→建立二次函数模型→求解最值→解释实际意义” 的全过程，培养数学建模能力和分析解决问题的能力。 素养目标 回顾 1.二次函数 () 开口方向由什么决定？ 2.二次函数的顶点坐标是什么？ 3.当和时，函数分别在什么位置取得最大值或最小值？ 开口方向 时，开口向上 时，开口向下 顶点坐标 顶点横坐标： 顶点纵坐标： 最值 当时，函数有最小值； 当时，函数有最大值。 情境导入 探究新知 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=－4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 知识点一 已知二次函数解析式 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度. 即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 函数h=－4.9t²+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ (0.3, 11.4) . 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 x= 时，二次函数有最小（大）值 . 归 纳 利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？ 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度. 练习 【选自教材P52 练习第2题】 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 1. 返回 [甘肃中考]如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线形路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋ (x>0)，则水流喷出的最大高度是(　　) A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m B 举一反三 11 返回 2. “科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h＝－t2＋12t＋1.则“水火箭”升空的最大高度为________． 37 m 举一反三 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少? 知识点二 建立二次函数模型 (0< x <10). 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m². 解：设垂直于墙的边长为xm， 则平行于墙的边长为(20−2x)m， 矩形菜园的面积 ， 即 20-2x x x 思考 如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ (0< x <10) (5,50) 解：平行于墙的边长20-2x ≤ 8， 解得 x ≥ 6. 所以6 ≤ x <10. 当x=6时， S最大值=-2×62+20×6=48 20-2x x x (6 ≤ x <10) 6 因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48m². 【选自教材P52 练习第1题】 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函 数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范 围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围 内的最大值或最小值. 返回 3. 如图是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系 　 (1)铅球推出的水平距离OA的长是多少？ 解得x＝10或x＝－2(舍去)， ∴铅球推出的水平距离OA的长是10 m. 举一反三 返回 (2)铅球推出的过程中最大高度是多少？ 解：∵y＝ ∴顶点的坐标为(4，3)． ∵ <0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3， ∴铅球推出的过程中最大高度是3 m. 举一反三 返回 4. [教材P51例2变式]泰安中考]改编如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是(　　) A．420 m2 B．450 m2 C．480 m2 D．500 m2 B 举一反三 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B出发沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)BP＝________cm，BQ＝________cm. (用含t的代数式表示) 返回 5. (12－2t) 4t 举一反三 返回 (2)t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 解：由(1)得BP＝(12－2t)cm，BQ＝4t cm， ∴S＝ ×(12－2t)×4t＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36. ∵－4<0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 cm2. 举一反三 用总长为a米的材料做成如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边长为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②所示，则a的值是(　　) A．16 B．12 C．8 D．4 返回 6. B 举一反三 返回 7. 如图，将小球沿着与地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示，根据相关信息解答下列问题． 飞行时间t/s 0 0.5 2 飞行高度h/m 0 8.25 24 举一反三 返回 (1)求小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式(不写自变量取值范围)； 解：由题意可设h关于t的二次函数关系式为h＝at2＋bt， 将(0.5，8.25)，(2，24)代入得 ∴h关于t的二次函数关系式为h＝－3t2＋18t. 举一反三 返回 (2)若小球飞行时间不超过4 s，则小球飞行高度能否达到15 m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由； 解：能．当h＝15时，－3t2＋18t＝15， 解得t1＝1，t2＝5(舍去)． ∴若小球飞行时间不超过4 s，小球飞行高度能达到15 m， 此时t＝1. 举一反三 返回 (3)当t的值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？ 解：h＝－3t2＋18t＝－3(t－3)2＋27. ∵－3<0， ∴当t的值为3时，小球飞行的高度最大，最大高度是27 m. 举一反三 2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 课堂小结 课堂小结 谢谢观看 THANKS 解：将y＝0代入y＝－x2＋x＋， 得0＝－x2＋x＋，整理得(x－10)(x＋2)＝0， y＝－x2＋x＋. －x2＋x＋＝－(x－4)2＋3， － 解得 $