26.4 实际问题与二次函数 课时2 最大利润问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大利润问题，通过回顾二次函数最值决定因素衔接旧知，再以商场定价情境引入新知，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点是分涨价、降价情境构建函数模型，归纳解题步骤培养数学思维，小试牛刀和检测题分层设计提升数学应用意识。助力学生掌握建模方法，教师可高效开展教学。

二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 最小值 最大值 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. x y O x y O 新知导入 22051 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求. 如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？ 新知导入 22051 26.4 课时2 最大利润问题 22051 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 学习目标 22051 利用二次函数解决商品利润最大问题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 数量关系 （1）销售额= 售价×销售量； （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量； （3）单件利润=售价-进价. 新知讲解 22051 5 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 20 300 (20+x) (300-10x) (20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000. 6000 新知讲解 22051 6 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时，y=-10×52+100×5+6000=6250. 即涨价5元时，最大利润是6250元. 新知讲解 22051 7 降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 (20-x) (300+20x) (20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)， 即：y=-20x2+100x+6000. 6000 新知讲解 22051 综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0，因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ 当 时, 即降价2.5元时，最大利润是6125元. 即：y=-20x2+100x+6000， 由以上探索过程，说说如何定价能使利润最大? 在解决这类需要分类讨论的利润问题时，我们需要分别求出每种情况下的最大利润，然后进行比较，最终得出最优方案。 新知讲解 22051 求解最大利润问题的一般步骤： （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 归纳小结 22051 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件． (1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式； (2)每件小电器销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？ 解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000. ∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元． (2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800， ∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件， ∴75≤x≤90. 根据题意，确定自变量的取值范围 需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值 小试牛刀 22051 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课堂小结 22051 1.某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当 x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（ ） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 A 2.若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y=-2x2+4x+5，则盈利( ) A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 B 当堂检测 基础 22051 3.某青年公寓有 100 张床位，每张床位的日租价为 10 元时，公寓的床位可全部出租.若每张床位的日租价提高 1 元，则租出的床位就会减少 5 张，按此种情况，要想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高 元. 5 解：设每张床位的日租价提高x元，总收益为y元. 则y=(10+x)(100-5x) =-5(x-5)2 +1125. 所以当x=5时，总收益y取得最大值1125. 故每张床位的日租价需提高5元，才能获得最大收益. 当堂检测 基础 22051 4.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售. 已知西瓜的成本为 6 元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍. 经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价 x (元/千克)的函数关系如图所示： (1) 求 y 与 x 的函数解析式； (2) 求这一天销售西瓜获得的利润 W 的最大值. O 6 200 1000 8 x y 10 12 分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得 y 与 x 的函数解析式； 根据 总利润 = 每千克利润 ×销售量，列出函数关系式配方后根据 x 的取值范围可得 W 的最大值. 当堂检测 提升 22051 解：(1) 当 6≤x≤10，设 y 与 x 的关系式为y = kx + b (k≠0) 由题意得 6k + b = 1000， 10k + b = 200， ｛ k = -200， b = 2200. ｛ 解得 ∴ y = -200x + 2200. 当 10≤x≤12，y = 200 故 y 与 x 的函数解析式为 y = -200x + 2200 (6≤x≤10) 200 (10＜x≤12) ｛ O 6 200 1000 8 x y 10 12 当堂检测 提升 22051 解：(2) 由已知得： W = (x - 6)y 当 6≤x≤10，W = (x - 6)y = (x - 6)(-200x + 2200)= -200x2 + 3400x - 13200 又∵ -200＜0， ∴当 时，利润 w 有最大值. ∵对称轴 O 6 200 1000 8 x y 10 12 当 10＜x≤12，W = (x - 6)·200 = 200x - 1200. ∵ k = 200＞0，∴ W 随 x 的增大而增大. ∴ x = 12 时， W 有最大值. W最大值 = 200×12 - 1200 =1200. 综上所述，当销售价格为 8.5 元时，取得最大利润，最大利润为 1250 元. 当堂检测 提升 22051 $