2026-2027学年沪科版数学八年级上册 期中学情自测培优卷（第11～13章 平面直角坐标系、一次函数、三角形中的边角关系）

八年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材沪科版·改编变式） （解析版·教师、家长用） 说明：每题给出【答案】【解析】与【错因】；【错因】指向学生最易出现的失误，用于错题复盘。 一、选择题（10小题，每小题3分） 1．在平面直角坐标系中，点P(−4,3)关于y轴的对称点记为P′，则P′位于（　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】　第一象限 【解析】　关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号，P′(4,3)；横、纵坐标均为正，位于第一象限。 【错因】　关于哪个轴对称、哪个坐标变号记混，误选第二象限。 2．手工社团有四根木条，长度分别为6、6、13、7，从中选三根拼一个三角形，若要拼成等腰三角形，应选（　） A．6、6、13 B．6、6、7 C．6、13、7 D．以上三种都可以 【答案】　6、6、7 【解析】　6、6、13虽有两边相等，但6+6=12<13，不满足三边关系；6、13、7三边不等，不是等腰；6、6、7中6+6>7，能拼成等腰三角形。 【错因】　只看到6、6、13有两边相等就选，忽略“两边之和大于第三边”。 3．教室直饮水机的出水量与接水时间成正比例，接水3分钟出水6升，照此计算，接水9分钟出水（　） A．14升 B．16升 C．18升 D．20升 【答案】　18升 【解析】　每分钟出水6÷3=2升，9分钟出水2×9=18升。 【错因】　把正比例关系当成简单加固定量，或用9÷3后忘记乘6。 4．已知点A(2a−4,3)与点B(2,b+1)关于x轴对称，则（　） A．a=3，b=−4 B．a=3，b=4 C．a=−3，b=−4 D．a=−3，b=4 【答案】　a=3，b=−4 【解析】　关于x轴对称，横坐标相等：2a−4=2，a=3；纵坐标互为相反数：3+(b+1)=0，b=−4。 【错因】　横、纵坐标在对称时谁相等、谁相反记反。 5．一次函数y=(m−2)x+1中，y随x的增大而减小，点(−1,y1)、(3,y2)在其图象上，则（　） A．m>2，y1<y2 B．m<2，y1>y2 C．m<2，y1<y2 D．m>2，y1>y2 【答案】　m<2，y1>y2 【解析】　y随x增大而减小，比例系数m−2<0，即m<2；递减时x越小y越大，−1<3故y1>y2。 【错因】　由增减性反求m范围时不等号方向错；比大小时与递增混淆。 6．如图，在△ABC中，D、E是BC边上的三等分点（BD=DE=EC），F是AC的中点，连接AD、AE、EF。若△CEF的面积为4，则△ABC的面积为（　） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】　24 【解析】　D、E三等分BC，△AEC的底EC=BC、与△ABC同高，S△AEC=S△ABC；F是AC中点，△CEF与△AEF等底同高，S△CEF=S△AEC=S△ABC，故S△ABC=4×6=24。 【错因】　三等分后△AEC占、再由中点取半，连锁份数算错，误选20或28。 7．一次函数y=2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为9，则b的值为（　） A．6 B．−6 C．6或−6 D．3或−3 【答案】　6或−6 【解析】　图象与x轴交于横坐标为−的点、与y轴交于(0,b)，面积·|−|·|b|，化简得b2÷4=9，b2=36，b=±6。 【错因】　面积式中漏写或横坐标的；开方只得b=6，漏掉−6。 8．如图是一个由线段构成的五角星形图案，它的五个尖角分别记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，则这五个角的和为（　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】　180° 【解析】　利用三角形外角性质，把五个尖角逐步“转移”到同一个三角形中，五个角恰好凑成一个三角形的内角和，即180°。 【错因】　误按五边形内角和(5−2)×180=540计算，忽略星形不是简单五边形。 9．某市网约车计费规则为：起步价12元可乘坐3公里，超过3公里的部分每公里2元（不足1公里按1公里计）。一次乘车恰好行驶8公里，应付费（　） A．16元 B．20元 C．22元 D．24元 【答案】　22元 【解析】　超过起步里程8−3=5公里，加价5×2=10元，总费用12+10=22元。 【错因】　直接用8×2或把起步里程也算成加价，误得16或24。 10．如图，平面直角坐标系中有一组点按箭头规律排列，序号为偶数的点依次为(1,1)、(2,2)、(3,3)……，序号为奇数的点依次为(1,0)、(2,1)、(3,2)……，则序号为2024的点坐标为（　） A．(1012,1012) B．(1012,1011) C．(1013,1012) D．(2024,2024) 【答案】　(1012,1012) 【解析】　序号为偶数的点，第2、4、6个分别为(1,1)、(2,2)、(3,3)，横、纵坐标都等于序号的一半；2024÷2=1012，故为(1012,1012)。 【错因】　把坐标当成等于序号本身选(2024,2024)，或与奇数点规律混淆。 二、填空题（6小题，每小题3分） 1．在平面直角坐标系中，点P(3,−4)到x轴的距离为______。 【答案】　4 【解析】　点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值：|−4|=4。 【错因】　与到y轴距离（|横坐标|=3）混淆，误填3。 2．已知a、b、c是一个三角形的三边长，且满足|a−5|+(b−12)2+|c−13|=0，则这个三角形的周长为______。 【答案】　30 【解析】　绝对值与平方均为非负数，和为0则各项为0：a=5、b=12、c=13；周长5+12+13=30。 【错因】　非负性不会用、漏解；或误去用后面才学的知识判断形状而算错周长。 3．若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k______0，b______0（填“>”“<”或“=”）。 【答案】　k<0，b>0 【解析】　图象“从左上到右下”说明比例系数k<0；与y轴交于正半轴说明b>0。 【错因】　图象升降方向与k符号对应错，或把b的符号看反。 4．在平面直角坐标系中，A(0,2)、B(0,−3)，点P在x轴上，若△ABP的面积为10，则点P的坐标为______。 【答案】　(4,0) 或 (−4,0) 【解析】　AB=5且在y轴上，设P(x,0)，P到y轴距离|x|为高，×5×|x|=10，|x|=4，x=±4。 【错因】　底、高取错（应以|x|为高）；只写x轴正半轴的(4,0)，漏掉(−4,0)。 5．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______。 【答案】　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】　题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，据此改写。 【错因】　题设、结论位置写反，或写成“如果两个角相等，那么它们是对顶角”。 6．如图，将两块直角三角板的直角顶点O重合叠放，∠AOB=∠COD=90°，若∠AOC=20°，则∠BOD=______。 【答案】　20° 【解析】　∠AOC+∠COB=90、∠BOD+∠COB=90，∠AOC与∠BOD都是∠COB的余角，同角的余角相等，∠BOD=20。 【错因】　不会用“同角的余角相等”，绕去逐角相减时算错。 三、解答题（8小题，满分72分） 1．如图，在△ABC中，∠A=70°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD与CD相交于点D。 (1) 若∠ABC=60°，求外角∠ACE的度数，并求∠D的度数； (2) 直接写出∠D与∠A之间的数量关系。 【答案】　(1) ∠ACE=130°，∠D=35°；(2) ∠D=∠A。 【解析】　(1) 由外角定理，∠ACE=∠A+∠ABC=70+60=130；BD平分∠ABC得∠DBC=30，CD平分∠ACE得∠DCE=65；∠DCE是△BCD的外角，∠DCE=∠DBC+∠D，65=30+∠D，∠D=35。 (2) 同理一般地，∠D=∠A。 【错因】　外角∠ACE误算成180−60；角平分线取半后，不会再用一次外角定理求∠D。 2．已知一次函数的图象经过点A(−1,1)和B(2,7)。 (1) 求这个一次函数的表达式； (2) 点C(a,2a+3)在该函数图象上，且点C位于第一象限，求a的取值范围。 【答案】　(1) y=2x+3；(2) a>0。 【解析】　(1) 设y=kx+b，代入两点：−k+b=1、2k+b=7，两式相减得3k=6，k=2，b=3，表达式y=2x+3。 (2) 第一象限要求横坐标、纵坐标都为正：a>0且2a+3>0，取交集得a>0。 【错因】　待定系数解方程组时符号错；第一象限只要求纵坐标正，漏掉a>0。 3．如图，△ABC的三个顶点为A(−2,3)、B(−4,−1)、C(−1,−1)。 (1) 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标； (2) 求△ABC的面积； (3) 点P在y轴上，且△PB1C1的面积为6，直接写出点P的坐标。 【答案】　(1) A1(2,3)、B1(4,−1)、C1(1,−1)；(2) 6；(3) P(0,3)或(0,−5)。 【解析】　(1) 关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号：A1(2,3)、B1(4,−1)、C1(1,−1)。 (2) BC=3且水平，A到BC的距离为3−(−1)=4，面积×3×4=6。 (3) B1C1=3，设P(0,p)，P到直线B1C1（y=−1）距离|p+1|，×3×|p+1|=6，|p+1|=4，p=3或−5。 【错因】　对称时坐标变号方向错；第(3)问高应取|p+1|，去绝对值漏解。 4．某新能源汽车在充电桩快充，开始时电量为20%。前30分钟每分钟充2%，电量达到80%后电池进入保护，之后每分钟充1%，直到充满。 (1) 求前30分钟电量y（%）与时间x（分钟）的函数关系式； (2) 求30分钟后y与x的函数关系式，并求充满电的时刻； (3) 求第40分钟时的电量。 【答案】　(1) y=2x+20（0≤x≤30）；(2) y=x+50（30≤x≤50），第50分钟充满；(3) 90%。 【解析】　(1) 初始20、每分钟加2，y=2x+20，x=30时y=80。 (2) 30分钟后每分钟加1，y=80+(x−30)=x+50；令y=100得x=50，第50分钟充满。 (3) x=40代入y=x+50=90。 【错因】　第二段起点误用(0,80)而不减去30；充满时刻不回代检验。 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO的顶点为A(0,4)、B(3,4)、C(5,0)、O(0,0)。 (1) 过点B作BD⊥x轴于点D，求四边形ABCO的面积； (2) 点P在y轴正半轴上，若△PAB的面积为6，求点P的坐标。 【答案】　(1) 16；(2) P(0,8)。 【解析】　(1) D(3,0)，矩形ABDO面积3×4=12，△BDC中DC=2、BD=4，面积×2×4=4，四边形面积12+4=16。 (2) AB=3且在直线y=4上，设P(0,p)，P到AB距离|4−p|，×3×|4−p|=6，|4−p|=4，p=0或8；P在正半轴且与A、B不重合，取p=8。 【错因】　四边形不会割补、整体乱算；第(2)问去绝对值得p=0或8，未按“正半轴、不重合”舍去p=0。 6．如图，直线y=−x+4与x轴、y轴分别交于A(4,0)、B(0,4)。动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒，连接PB。 (1) 当P在线段OA上（0≤t≤4）时，求△PAB的面积S与t的关系式； (2) 当S=6时，求t的值及此时点P的坐标； (3) 当P运动到y轴左侧（t>4）时，求△POB的面积（用含t的式子表示）。 【答案】　(1) S=2t；(2) t=3，P(1,0)；(3) S△POB=2t−8。 【解析】　(1) P=(4−t,0)，PA=t，B到x轴距离4为高，S=×t×4=2t。 (2) 2t=6，t=3，P=(4−3,0)=(1,0)。 (3) t>4时P在O左，PO=t−4，S△POB=×(t−4)×4=2t−8。 【错因】　PA长度在P越过O前后误写成|4−t|；第(3)问PO应为t−4，符号或系数错。 7．如图，在△ABC中，设∠A=α，按下列三种方式取点P，分别探索∠BPC与α的关系。 (1) 如图1，P是∠ABC与∠ACB这两条内角平分线的交点； (2) 如图2，P是∠ABC的内角平分线与△ABC一个外角的平分线的交点； (3) 如图3，P是△ABC两个外角平分线的交点。 【答案】　(1) ∠BPC=90°+α；(2) ∠BPC=α；(3) ∠BPC=90°−α。 【解析】　(1) 两内角平分线交点（三角形内部）：∠BPC=180−(∠B+∠C)=180−(180−α)=90+α。 (2) 一内一外平分线交点：由外角定理相减，∠BPC=α。 (3) 两外角平分线交点，在△BPC中两个底角分别为(180−∠B)、(180−∠C)，故∠BPC=180−(180−∠B)−(180−∠C)=(∠B+∠C)=90−α。 【错因】　三种模型的结论互相套混，尤其图2(α)与图3(90−α)分不清。 8．甲、乙两个长方体蓄水池之间用管道连接，把甲池的水匀速注入乙池。图中两条直线分别表示甲、乙两池水量y（立方米）随时间x（小时）变化的情况，开始时甲池有水120立方米、乙池有水30立方米，6小时后甲池水流完。 (1) 求每小时的注水量及乙池原有水量； (2) 分别写出甲、乙两池水量y与x的函数关系式； (3) 求经过几小时两池水量相等； (4) 当甲池水量比乙池多30立方米时，求x的值。 【答案】　(1) 20立方米/时，乙原有30立方米；(2) y甲=120−20x，y乙=30+20x（0≤x≤6）；(3) 2.25小时；(4) 1.5小时。 【解析】　(1) 甲6小时减少120，每小时注水20；乙原有30。 (2) 甲y=120−20x，乙每小时增加20，y=30+20x。 (3) 令120−20x=30+20x，40x=90，x=2.25。 (4) (120−20x)−(30+20x)=30，90−40x=30，x=1.5。 【错因】　乙池水量忘记加上原有30；第(4)问“甲比乙多30”的差列反。 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期期中学情自测·培优卷（新教材沪科版·改编变式） （试题版·学生练习用） 时间：120分钟　满分：120分　测试范围：第11章 平面直角坐标系～第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．在平面直角坐标系中，点P(−4,3)关于y轴的对称点记为P′，则P′位于（　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．手工社团有四根木条，长度分别为6、6、13、7，从中选三根拼一个三角形，若要拼成等腰三角形，应选（　） A．6、6、13 B．6、6、7 C．6、13、7 D．以上三种都可以 3．教室直饮水机的出水量与接水时间成正比例，接水3分钟出水6升，照此计算，接水9分钟出水（　） A．14升 B．16升 C．18升 D．20升 4．已知点A(2a−4,3)与点B(2,b+1)关于x轴对称，则（　） A．a=3，b=−4 B．a=3，b=4 C．a=−3，b=−4 D．a=−3，b=4 5．一次函数y=(m−2)x+1中，y随x的增大而减小，点(−1,y1)、(3,y2)在其图象上，则（　） A．m>2，y1<y2 B．m<2，y1>y2 C．m<2，y1<y2 D．m>2，y1>y2 6．如图，在△ABC中，D、E是BC边上的三等分点（BD=DE=EC），F是AC的中点，连接AD、AE、EF。若△CEF的面积为4，则△ABC的面积为（　） A．20 B．24 C．28 D．32 7．一次函数y=2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为9，则b的值为（　） A．6 B．−6 C．6或−6 D．3或−3 8．如图是一个由线段构成的五角星形图案，它的五个尖角分别记为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，则这五个角的和为（　） A．180° B．270° C．360° D．540° 9．某市网约车计费规则为：起步价12元可乘坐3公里，超过3公里的部分每公里2元（不足1公里按1公里计）。一次乘车恰好行驶8公里，应付费（　） A．16元 B．20元 C．22元 D．24元 10．如图，平面直角坐标系中有一组点按箭头规律排列，序号为偶数的点依次为(1,1)、(2,2)、(3,3)……，序号为奇数的点依次为(1,0)、(2,1)、(3,2)……，则序号为2024的点坐标为（　） A．(1012,1012) B．(1012,1011) C．(1013,1012) D．(2024,2024) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1．在平面直角坐标系中，点P(3,−4)到x轴的距离为______。 2．已知a、b、c是一个三角形的三边长，且满足|a−5|+(b−12)2+|c−13|=0，则这个三角形的周长为______。 3．若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k______0，b______0（填“>”“<”或“=”）。 4．在平面直角坐标系中，A(0,2)、B(0,−3)，点P在x轴上，若△ABP的面积为10，则点P的坐标为______。 5．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______。 6．如图，将两块直角三角板的直角顶点O重合叠放，∠AOB=∠COD=90°，若∠AOC=20°，则∠BOD=______。 三、解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．如图，在△ABC中，∠A=70°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD与CD相交于点D。 (1) 若∠ABC=60°，求外角∠ACE的度数，并求∠D的度数； (2) 直接写出∠D与∠A之间的数量关系。 解： 　 　 　 　 2．已知一次函数的图象经过点A(−1,1)和B(2,7)。 (1) 求这个一次函数的表达式； (2) 点C(a,2a+3)在该函数图象上，且点C位于第一象限，求a的取值范围。 解： 　 　 　 　 3．如图，△ABC的三个顶点为A(−2,3)、B(−4,−1)、C(−1,−1)。 (1) 画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标； (2) 求△ABC的面积； (3) 点P在y轴上，且△PB1C1的面积为6，直接写出点P的坐标。 解： 　 　 　 　 　 4．某新能源汽车在充电桩快充，开始时电量为20%。前30分钟每分钟充2%，电量达到80%后电池进入保护，之后每分钟充1%，直到充满。 (1) 求前30分钟电量y（%）与时间x（分钟）的函数关系式； (2) 求30分钟后y与x的函数关系式，并求充满电的时刻； (3) 求第40分钟时的电量。 解： 　 　 　 　 　 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO的顶点为A(0,4)、B(3,4)、C(5,0)、O(0,0)。 (1) 过点B作BD⊥x轴于点D，求四边形ABCO的面积； (2) 点P在y轴正半轴上，若△PAB的面积为6，求点P的坐标。 解： 　 　 　 　 　 6．如图，直线y=−x+4与x轴、y轴分别交于A(4,0)、B(0,4)。动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒，连接PB。 (1) 当P在线段OA上（0≤t≤4）时，求△PAB的面积S与t的关系式； (2) 当S=6时，求t的值及此时点P的坐标； (3) 当P运动到y轴左侧（t>4）时，求△POB的面积（用含t的式子表示）。 解： 　 　 　 　 　 7．如图，在△ABC中，设∠A=α，按下列三种方式取点P，分别探索∠BPC与α的关系。 (1) 如图1，P是∠ABC与∠ACB这两条内角平分线的交点； (2) 如图2，P是∠ABC的内角平分线与△ABC一个外角的平分线的交点； (3) 如图3，P是△ABC两个外角平分线的交点。 解： 　 　 　 　 　 8．甲、乙两个长方体蓄水池之间用管道连接，把甲池的水匀速注入乙池。图中两条直线分别表示甲、乙两池水量y（立方米）随时间x（小时）变化的情况，开始时甲池有水120立方米、乙池有水30立方米，6小时后甲池水流完。 (1) 求每小时的注水量及乙池原有水量； (2) 分别写出甲、乙两池水量y与x的函数关系式； (3) 求经过几小时两池水量相等； (4) 当甲池水量比乙池多30立方米时，求x的值。 解： 　 　 　 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $