第一、二章 解答题50题（一） 【期中备考】 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

【期中备考】第一、二章 解答题50题（一） 一、解答题 1．（2025八上·北仑期中）如图，在中，平分，若 （1）求的度数； （2）小明认为不需要知道的度数，只需要知道的度数，在其它条件不变的情况下，也能求出的度数．你认为可以吗？若能，请你求当时，直接写出的度数；若不能，请说明理由． 2．（2025八上·宁波期中）已知等边中，点D是射线上一点，作，交直线于点E． （1）如图1，当点D在线段上时，线段，，之间的数量关系是___________； （2）如图2，当D在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，的平分线交于F，过点A作于H，当，时，求的长． 3．（2025八上·杭州月考）如图1， 在等边△ABC中， 点D， E在边BC、AC上， 且BD=CE， 连结AD、BE交于点 F. （1）求证： △ABD≌△BCE； （2）如图2， 连结 CF， 过点A 作AG⊥BE交BE于点G， 当CF⊥AD 时， 请求出线段AF与BF的数量关系； （3）如图3， 延长BE到点 P， 当∠P=30°， PB=6FB时， 请求出的值. 4．（2025八上·杭州期中）一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，OA所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.2m和1.6m，且OB=OC=OA，∠BOC=90°. （1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由； （2）小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ （3）秋千静止时A点离地面的高度AM是多少m？ 5．（2026七下·深圳期中）如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： （1）； （2）． 6．（2026八下·天津期中） 如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°。求四边形ABCD的面积。 7．（2025八上·义乌期中）在等边△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点. （1）如图1，点P在△ABC内，以CP为边作等边△CPD，连AP，BD，延长AP交BD的延长线于点Q，求∠AQB的度数； （2）如图2，点P在△ABC内，且∠APC=120°，M为AC的中点，连PM，PB，求证：PB=2PM； （3）如图3，在（1）的条件下，将等边△CPD绕点C顺时针旋转至B，C，P三点共线，连AP，BD交于点E，连接EC，设AE=a，DE=b，CE=c，若BC=3CP，直接写出的值. 8．（2025八上·诸暨期中）如图是由 16个边长为1 的小正方形拼成的网格图，请用无刻度的直尺按照要求画图： （1）在图1中画一个面积为3的△ABC，要求顶点C是格点； （2）在图2中画一个面积为2的 Rt△ABC，要求顶点C是格点； （3）在图3中画一个面积为4的等腰△ABC，要求顶点C是格点. 9．（2025八上·杭州期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上(点F，C之间不能直接测量)，点A，D在直线l的异侧，测得AB=DE，AB // DE，AC // DF. （1） 求证：△ABC≌△DEF； （2） 若BE=13m，BF=4m，求FC的长度． 10．（2025八上·临平期中）如图，点P 是△ABC内部任意一点。观察可以发现AB+AC>PB+PC，你能通过推理证明这个发现吗?请填空完成证明过程。 证明：延长BP与AC 相交于点D， ∵AB+AD>BP+PD， PD+CD>　 　(三角形的任意两边之和大于第三边) ， ∴AB+AD+PD+CD>　 　， ∴AB+AD+CD>　 　(　 　)，即AB+AC>PB+PC。 11．（2025八上·柯桥期中）如图，在△ABC中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． （1）试判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，F是AC上一点。若∠EDF=90°，且，求证： 13．（2025八上·湖州期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； （2）在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线； （3）在图3中的格点上确定一点F，并画出，使是以为底的等腰三角形（画出一个即可）． 14．（2025八上·瑞安期中）已知：如图1，，为平面内直线右侧一点． （1）求的面积． （2）当在上且与面积相等时，求证：点为的中点． （3）如图2，当的面积为时，则的最大值___________． 15．（2025八上·瑞安期中）如图，，为上一点，，连接，且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 16．（2025八上·柯城期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： （1）； （2）． 17．（2025八上·金华期中） 如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于N． （1）若，求的度数． （2）连接，若，的周长是．求的长． 18．（2025八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，AB=AC，其中AC、AB边上的高BD、CE相交于点O. （1）求证：AD=AE； （2）请判断△BOC是等腰三角形吗？并说明理由. 19．（2025八上·瑞安期中）学完等腰直角三角形后，小慧归纳了等腰直角三角形的两种常见题型的特征和解法． 题型①：斜中和三线合一的组合．已知特点：等腰直角三角形斜边中点：图形特征：如图1，解题方法是连结斜边中线． 题型②：“K”型全等．已知特点：如图2，，；图形特征：如图2，解题方法是构造内“K”或外“K”全等，或者一内一外的“K”型全等． 请借鉴以上方法，解决下列问题： （1）如图3，在中，，点为中点，点在边上，连结，作交于点，连结，若，则______；______． （2）如图4，在中，，，点是边上一点，，连结，将绕点逆时针旋转到处，连结，求的长． 20．（2025八上·瑞安期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21．（2025八上·北仑期中）如图，点在同一直线上，若． （1）求证： （2）若，求的度数． 22．（2025八上·宁波期中）如图所示，在中，平分，． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，，求的度数． 23．（2025八上·嵊州期中）如图，已知是的中点，，求证． 24．（2025八上·宁波期中）已知 ，求证： ． 25．（2025八上·拱墅期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. （1）求证：≌； （2）若，求的度数. 26．（2025八上·拱墅期中）如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 27．（2025八上·宁波期中） 已知： 如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=90°， CD=7， AD=24， 点E是AC中点， 连结BE， DE， BD，且BE=12.5. （1） 求证： ∠ADC=90°. （2） 若∠BAD=30°， 求证： △BDE是等边三角形. 28．（2025八上·宁波期中） 如图1， 等腰三角形ABC中， AD是BC边上的中线， 延长BC至点E， 使AD=DE， 连结AE. （1）求证：△ADE是等腰直角三角形. （2）如图2，过点B作AC的垂线交AE于点P，试判断△ABP的形状，并说明理由. （3）如图3， 在(2)的基础上， AD=4， 连结CP， 若△CPE是直角三角形， 求CE的长. 29．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD为△ABC的中线， BE⊥AC， 垂足为点E，点F为AB中点， 连接EF， FD， DE. （1）求证： EF=FD. （2）已知∠BAC=50°， 求∠FED的度数. 30．（2025八上·宁波期中） 如图： 已知 ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AE ， 求证： BD=CE . 31．（2025八上·宁波期中） 如图， 在△ABC中， BE平分∠ABC， DE∥BC. （1）请判断△BDE的形状，并说明理由： （2）若∠A=55°， ∠C=70°， 求∠BDE的度数. 32．（2025八上·北仑期中）如图1， 在Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=3， BC=4， 点D在BC上， 连结AD， 将△ACD沿 AD 翻折得到△AED， △AED 落在△ABC 所在的平面. （1）如图2，当点E落在AB边上时，求 CD 的长； （2）如图3， 当点D与点B重合时， 过点A作AP∥CB交BE于点P， 求AP的长 （3）如图4，在(2)的条件下，点F是CB延长线上的一点，作∠EBF角平分线BG交AP 的延长线于点H， △AEP 的面积为S1， △PBH的面积为S2， 则 　 　. 33．（2025八上·北仑期中）如图， 已知在△ABC中， ∠B=90°， AB=8cm， BC=6cm， △ABC边上有一个动点P，从点B出发以每秒 1cm的速度沿B→C→A→B 的方向运动，最后回到点B.设出发的时间为 t秒. （1）当t=2秒时， BP 的长为　 　； 当t=11秒时， BP 的长为　 　； （2）求出发时间为几秒时，△BCP 是等腰三角形? 34．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=CB， ∠ABC=90°， F为AB延长线上一点， 点E在BC.上，且BE=BF. （1） 若∠ACF=60°， 求∠CAE的度数； （2） 若BE=1， CE= ，求证： AE平分∠CAB. 35．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AD⊥BC， AE平分∠BAC， 若∠B=75°， ∠C=35° （1） 求∠DAE 的度数； （2）小明认为不需要知道∠B，∠C的度数，只需要知道∠B-∠C的度数，在其它条件不变的情况下，也能求出∠DAE 的度数.你认为可以吗?若能，请你求当∠B-∠C=25°时，直接写出∠DAE 的度数；若不能，请说明理由. 36．（2025八上·北仑期中）如图， 点B， E， C， F在同一直线上， 若AB=DE， AC=DF， BF=CE. （1） 求证： △ABC≌△DEF （2） 若∠D=65°， ∠E=40°， 求∠COF 的度数. 37．（2025八上·玉环期中） 如图1， 已知在△ABC中， AB=AC， 点D是边AB上一点， ∠BCD=∠A. （1） 证明： CD=CB； （2） 如图2， 过点B作BE⊥AC， 垂足为点E， BE与CD相交于点F . ①证明： ∠BCD=2∠CBE； ②如果△BDF 是等腰三角形，求∠A的度数. 38．（2025八上·温州期中）如图1， △ABC是边长为4的等边三角形， O为BC中点. （1）求AO的长. （2）如图2， 点E在线段AC上， 连结BE并延长至点F， 使EF=BE， 连接AF， G为线段BC上一动点 ①当AE=1 时， 求AF 的长； ②若AG=AF，且∠BAF=150°，求AE+BG 的最小值. 39．（2025八上·温州期中）如图，在6×6的方格纸中，已知格点△ABC和格点线段DE，请按要求画出格点三角形（顶点均在格点上). （1）在图1中画△A'B'C， 使△A'B'C与△ABC关于直线DE 成轴对称. （2）在图2中画Rt△APC， 使Rt△APC与△ABC不全等. 40．（2025八上·温州期中）爱动脑筋的小华同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论： 如图1， 在△ABC中， ∠BAC=90°， 若AD平分∠BAC， 则有AB∶AC=BD∶DC. 对此结论，小华同学的证法如下： 过点D作DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F， 过点A作AG⊥BC于点G，因为AD是∠BAC的角平分线， 且DE⊥AB， DF⊥AC，所以 ▲ = ▲ ， 因为 所以 因为 所以 所以AB∶AC=BD∶DC 【尝试探究】 （1）请将小华同学的证明过程补充完整. （2）【迁移应用】 如图2， 在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=4， AC=3， AD平分∠BAC交BC于点D，AM⊥BC于点M 求DM的长. 41．（2025八上·温州期中）如图， 在等边三角形ABC边AC， BC上分别取点P， Q， 且AP=CQ， 连结AQ， BP交于点O. （1）求证： （2）求∠BOQ 的度数. 42．（2025八上·玉环期中）如图，在 中，AD是中线，AB=10，AC=6. （1） 求△ABD与 的周长差. （2） 点E在边AB上， 连接ED， 若△BDE与四边形ACDE的周长相等， 求线段AE的长. 43．（2025八上·金华期中） 如图， 在等腰Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 点M在线段BC上， 点N在BC的延长线上， 且满足CM=CN， 连结AM， AN，过点N作ND⊥AM于点E， 交AB于点 D. 记. （1） ∠ADN=　 　. (用含α的式子表示)； （2）判断△AND的形状，并说明理由； （3）在M点运动过程中， 的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 44．（2025八上·金华期中）用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在Rt△ABC中， （1）如图1，若O为AB的中点，求证：直线OC是 的等腰分割线； （2）如图2，已知△ABC的一条等腰分割线BP交边AC于点 P，且.PB=PA，求CP的长度； （3） 在△ABC， 点Q是边AB上的一点， 若直线CQ是 的等腰分割线，求线段 BQ 的长度. 45．（2025八上·金华期中）如图，在3×4的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段 AB，请按要求画出格点三角形(顶点在格点上). （1）在图1中画一个等腰△PAB. （2）在图2中画一个△AEF ，使得AB恰好平分△AEF 的面积. 46．（2025八上·金华期中）如图， AB=AC， D， E分别是AB， AC上的点， BE， CD交于点O，且BD=CE.求证： （1） △ABE≌△ACD； （2） OB=OC. 47．（2025八上·金华期中）如图， 在△ABC中， 点D， E在BC上， AD⊥BC，AE平分∠BAC， ∠B=70°， ∠C=30°. 求∠DAE的度数. 48．（2025八上·镇海区期中）一个三角形被一条中线分割成两个三角形，如果分成的这两个三角形中至少有一个为等腰三角形，则称这个三角形为奇妙三角形，这条中线为奇妙线. （1） 如图1，在△ABC中，已知AB<AC，AB=4，BC=10，AD为奇妙线，则△ABD的周长为　 　. （2） 如图2， 已知△ABC， AD⊥BC于点D， BD=2， CD=6， 求证： △ABC为奇妙三角形. （3） 已知△ABC为奇妙三角形， 且AD为奇妙线， AB=3， AC=5， 求BC的长. 49．（2025八上·温州期中）如图，已知△ABC，请按要求完成尺规作图： （1） 在图中， 画出△ABC的角平分线BD； （2）在图中，画出等腰三角形BCE，使点E在AC边上. 50．（2025八上·温州期中）如图， 点B， D分别在 AC的两侧， ∠BAC=∠DCA=90°， BC=AD. 求证： BC∥AD. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：∵ 平分， ， ， ， ； （2）解：可以，当时，． 【知识点】三角形内角和定理 【解析】【解答】（2）解：可以，理由如下： ∵，平分， ， ， ， ， ， ∴当时，． 【分析】（1）由三角形的内角和定理得，由角平分线的定义得， 由垂直定义得， 然后根据三角形内角和定理可求出∠BAD的度数，最后根据角的构成，由∠DAE=∠BAE-∠BAD可算出答案； （2）同理（1）可得，从而整体代入计算可得答案. （1）解：∵ 平分， ， ， ， ； （2）解：可以，理由如下： ∵，平分， ， ， ， ， ， ∴当时，． 2．【答案】（1） （2）解：过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【分析】（1）过点D作，交于点M，根据两直线平行，内错角相等，可得，进而可证是等边三角形，根据等边三角形的性质和平角得定义，可得，然后利用两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可证，所以，，所以； （2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，利用两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，可证，得，可得； （3）连接，证明，可得，利用两边及其夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的性质，得，可得，得，由，得． （1）解：∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．【答案】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE(SAS)； （2）解：结论： AF=2BF， 理由如下： ∵ AG⊥BE ， ∴△AFG是直角三角形， 又∵∠AFE=60°， ∴∠FAG=30°， ∴AF=2FG， 由①知， ∠BAD=∠CBE， ∴∠CAF=∠ABG， 又∵∠CAF+∠ACF =∠ABG+∠BAG=90°， ∵△ABD≌△BCE， ∴∠BAD=∠CBE， 又∵∠CAF+∠ACF =∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠CAF=∠ABG， ∴∠ACF=∠BAG， 在△CAF和△ABG中， ∴△CAF≌△ABG(ASA)， ∴AF=BG， ∴F为BG的中点， （3）解：过B作交PC的延长线于M，过A作A 于G， 是等边三角形， ∴∠ABF=∠CBM， ∵AG⊥BP， ∴∠AGB=∠CMB=90°， 在△BCM与△BAG中， ∴△BCM≌△BAG(AAS)， ∴BG = BM， ∴BG=PG， ∵PB=6FB， ∴设FB=x， PB=6x， ∴FG=2x， ∴AF=2FG=4x， 【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC=CA， ，根据全等三角形的判定定理即可证明结论 (2)根据30°的直角三角形的性质得到AF=2FG， 再根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CBE， 得到∠CAF=∠ABG，然后利用ASA证明△CAF≌△ABG，即可得到AF =BG，求得BG=2FG， 于是得到结论； (3)过B作BM⊥PC交PC的延长线于M， 过A作AG⊥BP于G，根据直角三角形的性质得到BM 根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°， AB=BC， 得到∠AGB=∠CMB=90°，根据全等三角形的性质得到BG= BM， 得到 设FB=x， PB=6x， 得到 求得FG=2x， AF =2FG=4x， 于是得到比值解答即可 4．【答案】（1）解：△OBD与△COE全等， ∵∠BOC=90°， ∴∠BOD+∠COE=90°， ∵BD⊥OD， ∴∠BDO=90°， ∴∠BOD+∠OBD=90°， ∴∠COE=∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS） （2）解：∵△OBD≌△COE ∴OE=BD=1.2m，OD=EC=1.6m ∴DE=OD-OE=1.6-1.2=0.4m ∵MD=0.9m ∴ME=MD+DE=0.9+0.4=1.3m （3）解：∵OC= ∴OD=EC=1.6m ∴AD=OA-OD=2-1.6=0.4m ∴AM=DM-AD=0.9-0.4=0.5m 【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题 【解析】【分析】(1)由互余关系知∠COE=∠OBD，再结合OB=OC得全等； (2)由全等的性质知OE和OD的长，得DE的长，即可得ME的长； (3)先求出半径OC，由此得AD的长，即可得AM的长. 5．【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）我们可以通过边角边判定定理，证明； （2）先根据全等三角形对应角相等的性质，得到，再结合已知条件利用角角边判定定理证明，最后根据全等三角形对应边相等的性质，即可推导出． （1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ． 6．【答案】解：如图， 在 中， 是直角三角形，且 =6+30 =36. 【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可. 7．【答案】（1）解：如图1中，设AQ交BC于J． ∵△ABC，△CPD都是等边三角形， ∴CA=CB，CP=CD，∠ACB=∠PCD=60°， ∴∠ACP=∠BCD， 在△ACP和△BCD中， ， ∴△ACP≌△BCD（SAS）， ∴∠CAP=∠CBD， ∵∠AJC=∠BJQ， ∴∠BQJ=∠ACJ=60°， ∴∠AQB=60° （2）证明：如图2中，延长PM到T，使得MT=PM，连接CT，延长AP到K，使得PK=PC，连接BK，CK． 在△AMP和△CMT中， ， ∴△AMP≌△CMT（SAS）， ∴PA=CT，AP=CT，∠PAM=∠MCT， ∴PA∥CT， ∵∠APC=120°， ∴∠CPK=∠PCT=60°， ∵PK=PC， ∴△PCK是等边三角形， 由（1）可知，△ACP≌△BCK（SAS）， ∴AP=BK，∠APC=∠CKB=120°， ∵∠CKP=60°， ∴∠PKB=∠PCT=60°，BK=CT， 在△PKB和△PCT中， ， ∴△PKB≌△PCT（SAS）， ∴PB=PT， ∵PT=2PM， ∴PB=2PM （3）解： 【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：（3）过点C作CW⊥PA于W，CR⊥BD于R，在EB上取一点L，使得EL=EA，连接AL，设BD交AC于O． ∵△ABC，△DCP都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CP，∠BCA=∠DCP=60°， ∴∠ACP=∠BCD， 在△ACP和△BCD中， ， ∴△ACP≌△BCD（SAS）， ∴∠CAP=∠CBD， ∵∠AOE=∠BOC， ∴∠AEO=∠BCO=60°， ∴∠BEP=120°， ∵CW⊥AP，CR⊥BD， ∴CW=CR（全等三角形对应边上的高相等）， ∴CE平分∠BEP， ∴∠CEB=∠CEP=∠PED=60°， ∵AE=EL， ∴△AEL是等边三角形， 同理（1）可证，△BAL≌△CAE， ∴EC=BL， ∴BE=EL+BL=AE+EC=a+c， 同法可证EP=b+c， ∵， ∴BE=3PE， ∴a+c=3（b+c）， ∴a-3b=2c， ∴． 【分析】(1)由手拉手模型可证△ACP≌△BCD，由此得∠AQB=60°； (2)延长PM到T，使得MT=PM，连接CT，延长AP到K，使得PK=PC，先证△AMP≌△CMT得△PCK为等边三角形，由此得△PKB≌△PCT，即得PB=2PM； (3)过点C作CW⊥PA于W，CR⊥BD于R，在EB上取一点L，使得EL=EA，可证△ACP≌△BCD得AEL为等边三角形得EP=b+c，EP=b+c，由面积关系得a-3b=2c，即可求值. 8．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；直角三角形的判定 【解析】【解析】 （1）构造一个底边长度为2、高度为3的等腰三角形即可。 （2）构造一个直角边长度分别为和的直角三角形即可。 （3）构造一个底边长度为、高度为的等腰三角形即可。 9．【答案】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC=∠DEF， ∴AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS） （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BF+FC=EC+FC， ∴BF=EC， ∵BE=13m，BF=4m， ∴FC=BE-BF-EC=13-4-4=5m． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】(1)由平行的性质知∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，由此可证△ABC≌△DEF； (2)由全等的性质知BC=EF，得BF=EC，代入数据即得FC的长. 10．【答案】PC；BP+PD+PC；PB+PC；不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立 【知识点】三角形三边关系；不等式的性质 【解析】【解答】解：(1)在PCD中，PD+CD>PC， AB+AD>BP+PD， PD+CD> PC两式相加得AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC 消去相同项得AB+AD+CD>BP+PC，理由是不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立 【分析】分别根据三角形三边关系、不等式的性质进行填写即可得结论. 11．【答案】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （2）解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 【知识点】三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】(1)由BE⊥AC，∠BAC=45°得EA=EB，由∠C与∠CAE和∠CAD互余知∠CAE=∠CAD，可证，即得AF=BC； (2)由∠ABC=67.5°得∠CBA=67.5°，由此得AC=AB，AD⊥BC，由此得AF=2BD. 12．【答案】证明：延长FD到点G，使GD=DF，连接BG，EG ∵D为BC的中点 ∴BD=CD 在△BDG和△CDF中 ∴△BDG≌△CDF(SAS) ∴BG=CF，∠C=∠GBD ∴BG∥AC ∵ED⊥DF ∴ED垂直平分GF ∴EG=EF ∵ ∴BG2+BE2=EG2 ∴△EBG是直角三角形，且∠EBG=90° ∵BG∥AC ∴∠A+∠EBG=180° ∴∠BAC=90° 【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】延长FD到点G，使GD=DF，连接BG，EG，根据线段中点可得BD=CD，再根据全等三角形判定定理可得△BDG≌△CDF(SAS)，则BG=CF，∠C=∠GBD，根据直线平行判定定理可得BG∥AC，根据垂直平分线判定定理可得ED垂直平分GF，则EG=EF，再根据边之间的关系可得BG2+BE2=EG2，根据勾股定理逆定理可得△EBG是直角三角形，且∠EBG=90°，再根据直线平行性质即可求出答案. 13．【答案】（1）解： 找格点D， 连接BD、CD， ， ， ∴， ∴； （2）解：找格点E，连接BE即为所求，如图所示： ∵，， ∴点为中点，连接即为所求 （3）解：找格点F，连接AF、FC，△ACF即为所求， ∵，， ∴，点即为所求 【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形的中线；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，点A左边两个单位长度处的格点确定为点D，连接BD、CD，根据勾股定理分别计算出AC、AB、BD、CD，即可得出AC=BD，AB=CD，结合公共边BC，从而用“SSS”可证△DCB≌△ABC； （2）利用方格纸的特点，确定格点E，连接BE，根据勾股定理算出AE、CE得长，然后根据三角形中线定义即可得出点E为AC的中点，BE就是所求的线； （3）开放性命题，答案不唯一，由于等腰三角形两腰相等，故利用方格纸的特点确定点F，使点F到A与C的距离相等即可. （1）解：由图可知，， 找格点D，， ∴， ∴； （2）解：找点，，， ∴点为中点，连接即为所求 （3）解：找点，，， ∴，点即为所求 14．【答案】（1）解：∵， ∴ ，， 设交于点，如图， ∵， ∴， ∴与关于直线对称， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵当在上且与面积相等时， ∴的面积也等于， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； （3）解：2. 【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理 【解析】【解答】解：（3）当的面积为时，与面积相等， ∴点到直线的距离等于的长1， 过点作直线交于点，连接，如图： 则， 由（2）知：为的中点，即有直线 垂直平分， ∴， 根据“两点之间，线段最短”可得：即，当且仅当点在线段延长线上时，取最大值， ∴ 故填：2. 【分析】（1）根据题意得出 ， ，证出是等边三角形，垂直平分，得出，再求出，然后利用三角形面积公式进行计算，即可得出的面积； （2）根据题意得出，得出，从而得出，即可证出点为的中点； （3）根据题意得出点到直线的距离等于的长1，过点作直线交于点，连接，证出，根据“两点之间，线段最短”得出，从而得出的最大值为，即可得出的最大值 . （1）解：∵ ∴ ， 设交于点，如图； ∵， ∴ ∴与关于直线对称 ∴是等边三角形，垂直平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2）证明：当在上且与面积相等时，的面积也等于， 此时， ∴ ∴ ∴点为的中点； （3）当的面积为时，与面积相等， ∴点到直线的距离等于的长1 过点作直线交于点，连接，如图： 则 由（2）知：为的中点，即有直线 垂直平分 ∴ 根据“两点之间，线段最短”可得：即，当且仅当点在线段延长线上时，取最大值， ∴ 故答案为：2. 15．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ​​​​​​ 【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】（1）根据，得出，再根据，利用即可证出； （2）根据，得出，根据三角形外角的性质得出，即可求得出的度数. （1）证明：因为， 所以， 又因为， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 16．【答案】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出，利用即可证出； （2）根据全等三角形的性质得出，再利用AAS证出，最后根据全等三角形的性质即可证出． （1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．【答案】（1）解：∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=70° ∵三角形内角和为180° ∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40° ∵MN是AB的垂直平分线 ∴∠AMN=90° ∴∠MNA=180°-∠A-∠AMN=180°-40°-90°=50° （2）解：∵MN垂直平分AB ∴NB=NA ∵C△NBC=NB+NC+BC=14cm ∴NA+NC+BC=14cm ∵NA+NC=AC，AB=AC=8cm ∴AC+BC=14cm ∴BC=14-8=6cm 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【分析】(1)先根据等腰三角形等边对等角得到∠ABC=∠C=70°，求出顶角∠A=40°；再由垂直平分线定义得直角∠AMN=90°；最后根据直角三角形两锐角互余求出∠MNA=50°； (2)先根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等得到NB=NA；再将三角形周长中的NB替换为NA，合并NA+NC得到AC=14cm；最后代入AC=AB=8cm计算BC=6cm． 18．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高， ∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）， ∴AD=AE． （2）解：△BOC是等腰三角形， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 由 得△ADB≌△AEC， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE， ∴∠DBC=∠ECB，即∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴△BOC是等腰三角形 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】(1)根据高线的定义得到∠ADB=∠AEC=90°，根据“AAS”证明△ADB ≌△AEC，即可得到结论；. (2)根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，利用全等三角形的对应角相等得得∠ABD=∠ACE，即可得到∠DBC=∠ECB，根据等角对等边证明即可. 19．【答案】（1）； （2）解：过点E作，交的延长线于点K， 由旋转的性质可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】（1）解：连接， ∵在中，，点为中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中， 即， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：；； 【分析】（1）连接CD，由等腰直角三角形的三线合一得出AD=CD=BD，∠ECD=∠B=45°，CD⊥AB，由垂直的定义及同角的余角相等推出∠FDB=∠EDC，从而由“ASA”证明△EDC≌△FDB，由全等三角形的对应边相等得出，，在Rt△ECF中，利用勾股定理求出EF，再在Rt△EDF中，利用勾股定理求出DE即可； （2）过点E作EK⊥BC，交BC的延长线于点K，由旋转的性质得出，，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠CAD=∠EDK，从而由“AAS”证△ACD≌△DKE，由全等三角形的对应边相等得出，，最后在Rt△EKC中利用勾股定理算出CE即可. （1）解：连接， ∵在中，，点为中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中， 即， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：；． （2）解：过点E作，交的延长线于点K， 由旋转的性质可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）由线段构成及等式性质推出AB=ED，从而可由“SSS”判断△ABC≌△EDF； （2）先根据邻补角求出∠CBA=45°，然后根据三角形内角和求出∠C=75°，最后根据全等三角形的对应角相等即可求出∠F的度数． （1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．【答案】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：∵， ∴∠DFE=180°-65°-40°=75°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ACB=∠DFE=75°， ． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）由线段构成及等量加等量和相等推出BC=EF，从而由“SSS”判断出△ABC≌△DEF； （2）先根据三角形内角和定理得出∠DFE=75°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠ACB=∠DFE=75°，最后再根据三角形的内角和定理可算出∠COF的度数. （1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：∵，， ． 22．【答案】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【分析】 （1）根据平分，，结合两直线平行，内错角相等，可推导出，通过等量代换得到从而可知是等腰三角形； （2）利用三角形内角和求出相关角度，再借助平行线的性质转化角，经过计算得到所求角的度数． （1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 23．【答案】解：为的中点， 在和中， ， ． 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】利用两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，证明，得出答案即可． 24．【答案】证明： ， ，即 ， 在 和 ， ， ， ． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】先根据，根据等量代换，求出，再根据两组对应角与一组对应对边分别相等，即可证明两个三角形全等证明，即可得出． 25．【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， . 【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL 【解析】【分析】（1）利用斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明，即可； （2）利用，全等三角形的性质，得，，从而求得，利用角的和差，求解即可. （1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ， ， . 26．【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵，，∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】 （1）按照尺规作图的方法，画出线段的垂直平分线，垂直平分线与相关直线的交点即为所求点； （2）由等腰三角形等边对等角；线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；再次利用等边对等角得到，通过角度推导，完成题目的证明． （1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 27．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，点E是AC中点，BE=12.5， ∴AC=2BE=25. ∵CD2+AD2=72+242=252=AC2 ∴∠ADC=90° （2）解：∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC中点 ∴AE=BE=DE. ∴∠ABE=∠BAE，∠DAE=∠ADE ∴∠BEC=∠BAE+∠ABE=2∠BAE ∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE. ∴∠BED=∠BEC+∠DEC=2∠BAE+2∠DAE ∴△BDE是等边三角形 【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的逆定理即可得到结论； (2)根据直角三角形斜边上的中线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理即可得到结论. 28．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC ∴∠ADC=90° 又∵AD=DE， ∴△ADE是等腰直角三角形 （2）解：△ABP是等腰三角形， 理由： ∵∠ADC=90°， ∴∠CAD+∠DCA=90° ∵BP⊥AC， ∴∠PBE+∠DCA=90° ∴∠CAD=∠PBE， ∵AB=AC，AD是BC边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BAD=∠PBE ∵△ADE是等腰直角三角形 ∴∠DAE=∠E=45° ∴∠BAD+∠DAE=∠PBE+∠，E即∠BAP=∠BPA， ∴BA=BP ∴△ABP是等腰三角形 （3）解：分两种情况：①∠PCE=90°， 在△ABD和△BPC中， ∴△ABD≅△BPC(AAS) ∴BC=AD=4. 设CE=x，则CD=4-x，BD=4-x，BC=8-2x， ∴8-2x=4 解得x=2，即CE=2； ②∠CPE=90°， 作PF⊥CE，同理可证△ABD≅△BPF(AAS) ∴BF=AD=4， 设EF=x，则CF=x，CD=4-2x，BD=4-2x，BC=8-4x，BF=8-3x， ∴8-3x=4. 解得 ∴ 综上所述，EC的长为2或 【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】(1)证出∠ADC=90°，则可得出结论； (2)证明∠BAP=∠BPA，由等腰三角形的判定可得出结论； (3)分两种情况，由直角三角形的性质可行最出答案. 29．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC上的中线 ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°. ∴△ABD是直角三角形， ∵点F为AB中点 ∴ ∵BE⊥AC， ∴∠AEB=90° ∴△ABE是直角三角形 ∵点F为AB中点 ∴ ∴EF=FD （2）解：∵∠BAC=50°，∠BAD=∠CAD. ∴∠BAD=∠CAD=25° ∴∠ADB=90° ∴∠ABC=65° 由(1)知FD=AF=BF ∴∠ADF=∠BAD， ∴∠ADF=∠CAD， ∴AC//DF ∵BE⊥AC ∴BE⊥DF ∵EF=DF=BF ∴DF垂直平分BE ∴BD=DE. ∴∠EBD=∠BED，∠FBE=∠FEB ∴∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABC=65° 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的判定 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质推出△ABD是直角三角形，由直角三角形的性质得到，再根据BE⊥AC，得到△ABE是直角三角形，同理得到，即可得出结论； (2)由直角三角形的性质求出∠ABC=65°，由(1)知FD=AF=BF，得到∠ADF=∠BAD，进而推出∠ADF=∠CAD，得到AC//DF，结合BE⊥AC，推出BE⊥DF，再根据EF=DF=BF，推出DF垂直平分BE，得到BD=DE，即∠EBD=∠BED，∠FBE=∠FEB，再根据∠FED=∠FEB+∠BED=∠ABD，即可解答. 30．【答案】证明：∵∠1=∠2 ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠CAE=∠BAD 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(AAS) ∴BD=CE 【知识点】三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】先根据∠1=∠2，求出∠CAE=∠BAD，再根据AAS证明△ABD≌△ACE，进而即可得出结论. 31．【答案】（1）解：△BDE是等腰三角形， 理由：∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠CBE ∵DE//BC， ∴∠DEB=∠CBE ∴∠ABE=∠DEB ∴BD=DE. ∴△BDE是等腰三角形 （2）解：∵∠A=55°，∠C=70° ∴∠ABC=180°-55°-70°=55° ∵DE//BC. ∴∠BDE+∠ABC=180° ∴∠BDE=180°-∠ABC=180°-55°=125° 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的概念 【解析】【分析】(1)根据BE平分∠ABC，DE//BC，可知∠ABE=∠DEB，所以BD=DE，从而可知△BDE是等腰三角形； (2)根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案. 32．【答案】（1）解：在直角△ABC中， 由勾股定理得： ∵AB>0， ∴AB=5 设CD长为x， 由折叠得DE=CD= x 解得： ∴CD的长为​​​​​​​ （2）解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴ （3）​​​​​​​ 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换 【解析】【解答】解：由（2）可得：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【分析】（1）根据勾股定理求得，然后根据折叠的性质和三角形的面积公式求出CD长即可； （2）由折叠可知：，设，即可得到，再根据勾股定理可建立方程进行求解； （3）由（2）可得：，则有，然后可得，则有，根据勾股定理可得，进而可得，最后问题可求解． 33．【答案】（1）2cm；5cm （2）解： 当点 P 在BC上时，不存在. 当点 P在边 AC上时， 当CB=CP=6时， t =12， 当BC=BP时， 过点B作BG⊥AC交AC于点G， 由面积法得 ， 在 R t△CBG中，由勾股定理得： ， ∴CG=GP= ， ∴BC+CP=13.2cm， ∴t=13.2， 当PC=PB时， ∠C=∠PBC， ∴∠PBC=90°-∠PBC=90°-∠C=∠A， ∴PB=PA=PC=5cm， ∴t =11， 当点P在边AB上时， 在Rt△CBP中， 只有CB=BP=6 cm， ∴t =18， 综上所述，当出发时间为12秒，13.2秒，11秒，18秒时，△BCP 是等腰三角形 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形-动点问题；等积变换 【解析】【解答】（1）解：当秒时，动点运动了， 此时还未到达点， ∴的长为， 当秒时，动点运动了， ∴此时点在的运动过程中， ∴， ∵， ∴， ∴在的中点上，同时为直角三角形， ∴此时的长为． 故答案为：2cm；5cm． 【分析】（1）根据题意可以得的长为点运行的速度与时间之积，当时需要考虑此时点已经运行在上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． （2）此处需要分情况讨论，①当在上时，显然无解．②当在上时，需要分三种情况讨论，即，，．时，作垂线，利用直角三角形面积公式得到，进而求得的值并完成求解；时，容易得到的值，进而完成求解；时，利用等腰三角形的性质可以得到，利用相似三角形对应线段成比例，可以求得，最后完成求解．③当在上，此时，即可得到答案． 34．【答案】（1）解：∵AB=CB， ∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠ACB=45°， ∴∠FCB=∠FCA-∠ACB=60°-45°=15°， ∵BE=BF， ∠ABE=∠CBF， AB=CB， ∴△ABE≌△CBF， ∴∠BAE=∠FCB=15°， ∴∠CAE=30° （2）证明：过点E作 EG⊥AC 交AC 于点 G， 则∠CEG=180°-∠CGE-∠ECG=45°， ∴∠CEG=∠GCE， ∴设CG=EG=x， 则在Rt△CEG中， ， ∵x>0， ∴x=1， ∴EG=BG=1， ∴AE 平分∠CAB 【知识点】勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）过点作交于点，由题意可得，设，然后根据勾股定理可得，进而根据角平分线的判定定理进行证明． 35．【答案】（1）解：∵∠B=75°， ∠C=35° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70° ∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠EAC=35° ∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15° ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=20° （2）解：可以 当∠B-∠C=25°时， ∠DAE=12.5° 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】（2）解：可以，理由如下： ∵，平分， ， ， ， ， ， ∴当时，． 故答案为：12.5°. 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）同理（1）可得，然后问题可求解． 36．【答案】（1）证明：∵BF=CE， ∴BC=EF， 又∵AB=DE， AC=DF， ∴△ABC≌△DEF （2）解： ∵△ABC≌△DEF， ， ∴∠FOC=180°-∠ACB-∠DFE=30° 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS 【解析】【分析】（1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 37．【答案】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BDC 是△ADC 的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠ACD， ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD， ∠BCD=∠A， ∴∠BDC =∠ACB， ∴∠ABC=∠BDC. ∴CD=CB （2）解：①∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠ACB=90°， 设∠CBE=α， 则∠ACB=90°-α， ∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α， ∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α， ∴∠BCD=2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α， 当BD=BF时， ∴∠BDC=∠BFD=3α， ∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α， ∴α=22.5°， ∴∠A=∠BCD=2α=45°； 当DB=DF时， ∴∠DBE=∠BFD=3α， ∴∠A=∠BCD=2α=36°； 当FB=FD时， ∴不存在FB=FD， 综上所述：如果△BDF 是等腰三角形，∠A的度数为45°或36° 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；分类讨论 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC=∠A+∠ACD，从而可得∠BDC=∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC=∠BDC.再根据等角对等边可得CD=CB，即可解答； (2)①根据垂直定义可得∠BEC=90°，从而可得∠CBE+∠ACB=90°，然后设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α，利用(1)的结论可得∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD=2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD=3α，然后分三种情况：当BD=BF时；当DB=DF时；当FB=FD时；分别进行计算即可解答. 38．【答案】（1）解：因为点O为BC中点. 所以 因为△ABC为等边三角形 所以AO⊥BC 在 Rt△ABO中， AB=4 由勾股定理知： 所以 （2）解：①取AC中点 D， 连结BD， 则 由(1)同理可得： 因为AE=1 所以AE=ED 因为EF=BE， ∠BED=∠AEF 所以△BED≌△FEA 所以 ②在AC上取点D， 使EH=AE 由 (2) 同理可得： △BEH≌△FEA 所以BH=AF 因为AG=AF 所以AG=BH 因为BD=AO 所以Rt△AOG≌Rt△BOH 所以DH=GO 所以BG=CH 所以AE+BG=CE 所以AC=CE+AE≤2CE 所以CE≥2 即AE+BG的最小值为2. 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得，AO⊥BC，再利用勾股定理解答即可求解； (2)①取AC中点D，连接BD，同理(1)可得，再证明ABEDAFEA(SAS)，得到AF-BD=2V3，即可求解； ②在AC上取点H，使EH=AE，同理(2)可得△BED≌△FEA，得到BH=AF，即得AG=BH，进而可得Rt△AOG≌Rt△BOH(HL)，得到GO=DH，即得到BG=CH，得到AE+BG=EH+CH=CE，再得到AO=CE+AE≤2CE，解得CE≥2，即可求解. 39．【答案】（1）解：如图1 （2）解：如图2 【知识点】尺规作图-作三角形；作图-画给定对称轴的对称图形 【解析】【分析】(1)要画出△A'B'C'与△ABC关于直线DE成轴对称的图形，需分别找出A、B、C三点关于直线DE的对称点，再依次连接这些对称点； (2)要画出Rt△APC与△ABC不全等的直角三角形，需根据直角三角形的定义，结合格点的特点，确定直角顶点和另外两个顶点的位置. 40．【答案】（1）解：DE，DF （2）解：因为Rt△ABC中， AB=4， AC=3， 所以由勾股定理得： 所以BC=5 因为AD平分∠BAC 所以BD： CD=AB： AC=4： 3 设BD=4x， CD=3x 所以4x+3x=5 所以 因为AM⊥BC， 所以AB×AC=AM： BC 所以 因为Rt△AMC中， 所以 所以 【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等积变换 【解析】【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. 故答案为：DE，DF. 【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可； (2)在Rt△ABC中可得BC长度，由题意进而可得BD：CD=AB：AC=4：3，设BD=4x，CD=3x，可得，由AM⊥BC可得AB×AC=AM×BC，解得，由勾股定理解得MC，即可求得DM. 41．【答案】（1）证明：∵△ABP为等边三角形 ∴∠BAP=∠ACQ=60°， BA=CA 又∵AP=CQ， ∴△ABP≌△CAQ. （2）解：因为△ABP≌△CAQ 所以∠ABP=∠CAQ 因为∠BOQ 是△AOB 外角 所以∠BOQ=∠ABO+∠BAQ 所以∠BOQ=∠ABP+∠BAQ 因为∠BAQ+∠CAQ=60° 所以∠BOQ=60° 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论； (2)利用(1)中全等三角形的对应角相等得到∠BOQ=∠BAC=60°. 42．【答案】（1）解：△ABD的周长=AB+BD+AD， △ACD的周长=AC+CD+AD， ∵AD是中线， ∴BD=CD， ∴△ABD与△ACD的周长差： (AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=4(cm) （2）解：由图可知： △BDE的周长=BE+BD+DE， 四边形ACDE 的周长=AE+AC+DC+DE， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE 的周长相等，D是BC的中点， ∴BD=DC， BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE， ∴BE=AE+AC， 又∵AB=10cm， AC=6cm， BE=AB-AE， ∴AE+AC=AB-AE， ∴10-AE=AE+6， ∴AE=2cm 【知识点】三角形的中线 【解析】【分析】的周长的周长 ，由中线的定义可得 即可解答； (2)由图可知三角形BDE的周长四边形ACDE的周长所以 据此解答即可 43．【答案】（1）45°+α （2）解：△AND是等腰三角形，理由如下： ∵∠ACB=90°，CM=CN， ∴AN=AM， ∴∠NAC=∠CAM=α， ∴∠NAD∠NAC+∠BAC=45°+α，由(1)得， ∠ADN=45°+α， ∴∠NAD=∠ADN， ∴NA=ND， ∴△ADN是等腰三角形； （3）解：如图，理由如下： 作于G，作于F， 设FM=BF=AG=DG=a，DF=b，则AB=3a+b， ​​​​​​ 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余 【解析】【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠ABC=45°， ∴∠DAE=∠CAB-∠MAC=45°-α， ∵ND⊥AM， ∴∠AED=90°， ∴∠ADN=90°-∠DAE=45°+α， 故答案为：45°+α； 【分析】(1)可得出∠CAB=∠ABC=45°，从而得出∠DAE=∠CAB-∠MAC=45°-α，进而根据直角三角形的两锐角互余解答即可； (2)可证得AN=AM，从而∠NAC=∠CAM=α，进而得出∠NAD=∠NAC+∠BAC=∠ADN=45°+α，从而得出△ADN得形状即可； (3)作于G，作FM⊥AB于F，可证得∠DNG=∠FAM，进而证得△AFM≌△NGD，从而BF=DG=AG，设FM=BF=AG=DG=a，DF=b，则AB=3a+b，则BM=，可得出+DF=a+b，从而求出比值解答即可. 44．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°， O为AB中点，在Rt△ACB中， ∴ △AOC和△BOC 都是等腰三角形. ∴ 直线OC 是△ABC的等腰分割线； （2）解：由题可知PA=PB， BC=6， 设CP=x， 则PA=PB=8-x，在Rt△BPC中， 解得， 即： （3）解：①若为等腰三角形， 如图(3)，当AC=AQ时，AQ=8，BQ=AB-AQ=2， 如图(4)，当QC=QA时，Q为AB中点，BQ 当CA=CQ时，Q不在线段AB上，舍去. ②若为等腰三角形. 如图(5)，当CQ=CB时，过C作于M，此时M为BQ的中点， 中， 如图(6)，当BC=BQ时，BQ=BC=6. 如图(7)，当QC=QB时，Q为AB中点，BQ 综上，BQ=2或5或或6. 故答案为：5或2或6或 【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的概念；等积变换 【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得两个等腰三角形； (2)设CP=x，则.PA=PB=8-x，根据勾股定理列方程得：解出即可； (3)分情况进行讨论：先分是等腰三角形时，分三种情况讨论；再分是等腰三角形时，同理分三种情况讨论. 45．【答案】（1）解：如图①， 点. 均满足题意. （2）解：△AEF 即为所求 (答案不唯一). 【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；三角形的中线 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的判定与性质确定点P的位置即可. (2)使AB为 的中线即可. 46．【答案】（1）证明： ∵AB=AC， BD=CE， ∴AD= AE。 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS)； （2）证明： 连接BC， ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD。 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB。 ∵∠ABC =∠ABE+∠OBC， ∠ACB=∠ACD+∠OCB， ∴∠OBC=∠OCB。 ∴OB=OC. 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）根据SAS得到两三角形全等即可； （2）连接BC，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABE=∠ACD，然后根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，根据角的和差得到∠OBC=∠OCB，根据等角对等边得到结论即可. 47．【答案】解：在△ABC中，∠BAC=180-∠B-∠C=80°， 又∵AE平分∠BAC ∴∠EAC = 40°， 在直角△ACD中， ∠DAC=90-∠C=60°， ∴∠DAE = ∠DAC-∠EAC = 20°. 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余 【解析】【分析】根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而求出∠EAC的度数，在直角△ACD中根据三角形内角和定理，得到∠DAC的度数，则∠DAE的度数就可以求出. 48．【答案】（1）13或14 （2）解： 取BC的中点E， 连接AE。 ∵BD=2，CD=6， ∴BE=CE=4， ∴DE=BD=2， ∵AD⊥BC， ∴AB=AE， ∴△ABC 为奇妙三角形 （3）解：①△ABD为等腰三角形时， 若AB=BD=3， 如图3， ∵D是BC中点， ∴BC=BD+CD=6， ②当△ABD为等腰三角形时， 若AB=AD=3， 如图4， ∵△ABD是等腰三角形， AB=AD=3， 设BC=x， 作AE⊥BC交BC于E， ∴∠AEB=∠AEC=90°， 在直角△AEB 和直角△AEC中， 由勾股定理得： 由勾股定理得： 解得 或 (舍去)， ； ③如图5， 当△ABD为等腰三角形时， 若AD=BD， ∵AD=BD且D是BC中点， ∴AD=BD=CD， ∴∠ABD=∠BAD， ∠DAC=∠DCA， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∠BAC=∠BAD+∠DAC， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC 是直角三角形， ∴由勾股定理得： ④△ACD为等腰三角形时， 则AD=CD 同③可求 综上所述，BC的值为4 ， 6， 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中线；分类讨论 【解析】【解答】解：(1)依题意BD=CD= 当△ABD为等腰三角形时，AD=BD=5或AD=AB=4 此时 △ABD的周长5+5+4=14或5+4+4=13 当△ACD为等腰三角形时，AD=CD=5 此时△ABD的周长5+5+4=14 综上所述，△ABD的周长为13或14；则 【分析】(1)根据“奇妙三角形”的定义，分两种情况讨论：当△ABD为等腰三角形时，AD=BD=5或AD=AB=4，进而可求△ABD的周长；当△ACD为等腰三角形时，AD=CD=5，可求△ABD的周长； (2)构造相等线段BE=CE=4，易证AB=AE，从而可知△ABC 为奇妙三角形； (3)当△ABD为等腰三角形时，则AB=BD或AB=AD或AD=BD，在三种情况中，根据奇妙三角形的定义以及勾股定理可分别求出BC的长度；当△ACD为等腰三角形时， 则AD=CD，可求BC长度。 49．【答案】（1）解： ∴BD即为∠ABC的角平分线. （2）解： ∴△BCE为所作等腰三角形，点E在AC边上. 【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形 【解析】【分析】 (1)作法：①以B为圆心，适当长度为半径画弧，交BA、BC于两点； ②分别以这两点为圆心，大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于点D； ③连接BD； (2)作法：①以B为圆心，BC的长度为半径画弧，与AC边交于点E； ②连接BE. 50．【答案】证明：∠BAC=∠DCA=90° 在Rt△ABC和Rt△CDA中， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA (HL) ∴∠BCA=∠CAD， ∴BC∥AD. 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】先根据直角三角形全等的判定HL，证明Rt△ABC≌Rt△CDA；再根据全等对应角相等，得出∠BCA=∠CAD；最后根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥AD. 学科网（北京）股份有限公司 $