重庆市实验中学2026—2027学年高三上学期数学第5周快乐小卷（定时作业）

重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：62分 《市实验中学2026-2027学年上期高三数学快乐小卷（第五周)》 吕基础达标（62分) 1.(5分)函数f(c)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点 A(2 B(合) C.(0,2) D.(0,1) 【参考答案】A 解析：【分析】根据题意只需要a2x-1为定值即可，则2x-1=0,即可求得. 1 【详解】令2x-1=0,则x= 则f(分)-1+1-2， 所以函数f(x)=a2m-1+1(a>0)的图象一定过点 故选：A. x+二，x≥a 2.(5分)已知函数f(c)= 增函数，则a的最小值是 1 42+4,x<a 4 A B.2 C.4 D.5 【参考答案】C 解析：【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数α的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数y=+4在区间(0,2)上单调递减，在2，+0)上单调递增， 因为面效/回)在R上为增函豪，所以函数/回2+兰在+)上为增函数， 则[a,+∞)[2，+∞)，即a≥2， 又因为函数时()=4+4在(-∞，a)上为增函数，且函数f)在R上为增函数， 则有a+4≤a+产，因a≥2.则可得(a-4到a-到≥0.解得0≥4， 故实数a的取值范围是[4，+o),即a的最小值为4. 3.5分)设2，y≥1，a>1,b>1.若a2=b=3,a+b=2V3,则1+1最大值为 x y 3 1 A.2 B. 2 C.1 D. 2 【参考答案】C 解析：【分析】先利用指、对数的关系，用a,b表示c,,再利用基本不等式求最大值. 【详解】.'x,y≥1，a>1,b>1,a”=b=3, 1 ∴.x=loga3= ,10g3-10g36 log3a 1/6 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：62分 .-logsa+logsb-logsablogs a+b) 2W82=1, 2 =l093(2) 当且仅当a=b=V3,x=y=2时取等号， 日甘的敏大值为1 故选：C 知函数f(@)x3+2++6在区间m,n上的最小值为9，则函数对)在区间一九， 大值为 A.-6 B.-3 C.3 D.6 【参考答案】C 解析：【分析】构造函数h(x)=f(c)-6,易知h(x)为奇函数，根据已知条件确定在[m,n上的最小值 为9，再根据奇函数的性质判断h(x)在[-n,-m上的最大值，最终确定函数f(c)在区间[-m,-m上的 最大值· 【详解】由题可设，h()-fa-6=r3++云其定义域为(-o,0)U(0,+o), 易知：A(---:是-A(,则n(回)-f回)-6为奇函数， 又因为函数f(x)在区间[m,nl上的最小值为9 则h(x)在区间[m,nl上的最小值为3 由奇函数对称区间上的单调性相同：故h(x)在区间[-n,一m]上的最大值为-3. 所以f(x)在区间[-n,-m]上的最大值为3. 故选：C 5.(5分)直角三角形ABC中，斜边BC长为a,A是线段PE的中点，PE长为2a,当BP.CE最大时， PE与B心的夹角是 A.0° B.30° C.60° D.90° 【参考答案】A 解析：【分析】设PE与BC的夹角为0，由BP-APAB,C应=A应-AC, 可得 .c-((-d -a2+a2cos0,利用0的范围可得答案. 【详解】如图所示，设P正与BC的夹角为0(0∈0，，ABLAC,所以AB.AC =0, 因为A是线段PE的中点，PE张为2a,所以AP-A店， 正应-a 又因为BP-APAB,C应=A正-Ad,所以 醉.（刷（品-d应正店函心 2/6 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：62分 =-a2-AP.AC-AB.AB=-a2+AB.AC-AB.AB 7 =-2+A.Ad-A=-2+A.Bd +Bcow0-+con0. 因为9∈[0，x,所以cos0∈[-1,1，所以当cos0=1时BP.CE最大， 此时0=0，BP.CE最大的值为0. 故选：A. 6.(6分)（多选）下列不等式中，一定成立的是 2c A若a>b>0,c∈R,则< B.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2 C.若a<b<0,则a2>ab>b2 D.若a<b<0,则a2+a<b2+b 【参考答案】AC 解析：【分析】根据不等式基本性质判断A,通过作差法判断C,举例说明判断BD, 【详】对千4>b>0,公>0,0<日<行海答<会故AE痛 对于B,当c=0时，故B错误： 对于C,当a<b<0时，由a2-ab=a(a-b)>0,得a2>ab, 又ab-b2=b(a-b)>0,则ab>b2,故有a2>ab>b2,故C正确： 对于D,当a=-2,b=-1时，a2+a>b2+b,D中不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 7.(6分)（多选）已知一组样本数据c(i=1,2,3,·,20),其中x(亿=1,2,3，·，20)为正实数.满足 x1≤x2≤x3≤·≤x20,下列说法正确的是 A.样本数据的第80百分位数为16 B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 1 20 D.样本数据的方差2= 20 仁16，则这组样本数据的总和等于80 【参考答案】BCD 解析：【分析】由百分位数的定义即可判断A;由极差的定义即可判断B,由频 率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断；由方程计算公式即可 判断D 【详解】对于A,由20×80%=16，所以样本数据的第80百分位数为 C16十17，故A错误： 2 中位数平位数 对于B,由题意存在这样一种可能，若1=2≤g≤…≤20，则极差为20.1=20。一2 2 2 ,此时 样本数据的极差不变，故B正确： 对于C,数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边拖尾”，大致如下图， 3/6 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：62分 由于“右拖时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理， 向“左拖？时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故C正确： 20 20 20 (-到2， 20 20 20 20 则-320=(:-到2-》 x-2元+202--20元2， =1 i=1 =1 所以x=4,故这组样本数据的总和为20远=80，故D正确. 故选：BCD. 8.5分已知0，都是锐角，2+8g,tano.tan号2-V3,则a 【参考答案】 /1 4/不 解析：【分析】根据题意，利用tan(a+ 马)和条件求tana+tam号-V3V5-i小将tana,ta 看 成方程t2-√（√3-1）t+2-v√-0的两根，分解因式求得tana,tan 根据角的范围确定tana的值， 进而求出角a. B 【详解】2a+-经可有a+名-行放am(a+经- tana+tan 2 =V3, 1-tanatan2 B 因tana.ta 号-2-V3.代入解得ana+tam号=V3(v5-1), 可将tana,tan号看成方程t2-V3V3-1t+2-V3-0的两根，解得=2-V5或t=L, 0<a< 因a,B都是锐角，且2a+B= 2π 3，由、 0<3 <a<骨 2年2<7解得 而tan。tam(gYi32-v3,敌tama=1,则a= 故答案为：4 9.(5分)设函数y=V3sinx+cosx-m在x∈[0,2m]上恰有两个零点c1,x2,则x1十x2=· 【参考答案】行 解析：【分析】先将函数化简成g-2sm(红+召)-m,将函数有两个零点问题 转化成函数y=2si血（红+石）与y=m图象在x∈0,2m上恰有两个交点问题，然后 数形结合根据函数的图象性质即可得解 =2sin(x+) 【详解】由题得g=V8si血+os2-m-2sin(+君）-m, 因为函数y=√3sinx+cosx-m在x∈[0,2π]上恰有两个零点x1,x2, 4/6 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：62分 所以方程2s血(e+看)=m在z∈包，2闭上恰有丙个根21，， 所以函数y=2sin(e+石)与=m图象在x∈0,2m上恰有两个交点， 即函数g=2血(e+君)的对林轴方程为=+写k∈么， Γ3 3,如图， 所以在红∈0,2上2血(+君)有两条对称轴为=和红= 所以由肠气y-26血（十若）俗圆象性质可知三或智 31 故答案为： 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本 题先利用辅助角公式将函数化简成y=2s血(c+石)-m,再将题中所给条件函数有两个零点问题转化 成函数g=-2si血(+石)与y=m图象在z∈0,2m上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形 结合根据函数的图象性质即可得解， 10.(15分)某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 0 1 2 3 (1-a)2 ka k(1-a) 其中k>0,0<a<1. ()当α=2时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值： ②已知该种文创后盒分为封面款与卡封面款两美，且每个百盒为封面款的概率为分，每个甘盒是否为 封面款相互独立.若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸 运客户.现从顾客中随机选取一人， (①)求该顾客为幸运客户的概率f(): (问若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过号， 求a的取值范围. 【®考答案10日 (2)()f(a)= 2(5+a) 27(@2-2a+3）' a∈(0,1)：(i)a∈ (引 1 解析：【分析】(1)由分布列的性质得出= a2-2a+3’ 再利用期望公式求解即可： (2)(②)设事件A=“一次性购买i个文创盲盒(i=0,1,2,3)”,事件B=“顾客为幸运客户”，求出P(A:)、 P(BA)(位=0,1,2,3)，利用全概率公式可得出f(a)的表达式及a的取值范围； ()设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，求得P(CA)= 3) (位=1,2,3)，利用全概率 公式求出P(C的值，利用条件概率公式结合P(CB)≤可得出关于a的不等式，结合0<a<1可得 5/6 重庆市实验中学校高三数学教师讲义满分：62分 出a的取值范围. 1 【详解】(1)由题可知，k(1-a)2+ka+k+k(1-a)=1,化简可得k= a2-2a+3 当a时，k-号则E-a+2+31-a)-k6-2a)号×（6-2×》= 4 6 即顾客一次性则买文创后盒数量的平均值为 (2)()设事件A;=“一次性购买个文创盲盒（位=0,1,2,3）”，事件B=“顾客为幸运客户”， 则P(A0)=(1-a)2,P(A1)=ka,P(A2)=k,P(A3)=k(1-a). 依题意，得P(BAo)=0,P(B1A)=3 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所uPaA-()-行Pa-()'+G×号×()°-品 又由题意知，B=A0BUA1BUA2BUA3B,且AB、A1B、A2B、A3B两两互斥， 所以P(回-PA,-PA)-PgA0+a+日+7I- 3 2k(5+a) =0 =0 27 由(1)得，= 2(5+a) a2-2a+3' 代入化简可得P(B)=27(a2-2a+3) 所以f(a) 2(5+a) 27(a2-2a+3)’a∈(0,1： ()设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意， F(CA-( (位=1,2,3)，且BC=A1CUA2CUA3C,A1C、A2C、A3C两两互斥， 所以P(BC)=∑P(A:C)=∑P(A)·P(CA,= 4k(1+2a) 27 i-1 i=1 由（国得，P(B)= 2k(5+a) 27 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 P(BC)2(1+2a) P(CB)=F(B) -5+a 由您在P(C≤分，可行2+2a） 5+a 2≤解得a≤ 又因为0<a<1,所以a∈ 6/6 重庆市实验中学校高三上期数学第5周快乐小卷（定时作业） 本作业满分62分 完成时间40分钟 一、单项选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数的图象一定经过点     A. B. C. D. 2.已知函数为增函数，则a的最小值是     A. B. 2 C. 4 D. 5 3.设，，若，，则最大值为      A. 2 B. C. 1 D. 4.已知函数在区间上的最小值为9，则函数在区间上的最大值为      A. B. C. 3 D. 6 5.直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是     A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 6.下列不等式中，一定成立的是(     ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.已知一组样本数据，其中为正实数.满足，下列说法正确的是      A. 样本数据的第80百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 8.已知，都是锐角，，，则           .  9.设函数在上恰有两个零点，则           .  四、解答题（本大题共1小题，共15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 10.某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P k 其中， 当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； 已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． 求该顾客为幸运客户的概率； 若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在R上为增函数，所以函数在上为增函数， 则即， 又因为函数在上为增函数，且函数在R上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数a的取值范围是即a的最小值为 3.【答案】C  【解析】【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】，，，， ，， ， 当且仅当，时取等号. 的最大值为 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】构造函数，易知为奇函数，根据已知条件确定在上的最小值为9，再根据奇函数的性质判断在上的最大值，最终确定函数在区间上的最大值. 【详解】由题可设，，其定义域为， 易知：，则为奇函数， 又因为函数在区间上的最小值为 则在区间上的最小值为3 由奇函数对称区间上的单调性相同：故在区间上的最大值为 所以在区间上的最大值为 故选：C 5.【答案】A  【解析】【分析】设与的夹角为，由，可得 ，利用的范围可得答案. 【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以， 因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，， 又因为，所以 ， 因为，所以，所以当时最大， 此时，最大的值为 故选：   6.【答案】AC  【解析】【分析】根据不等式基本性质判断A，通过作差法判断C，举例说明判断 【详解】对于A，由，，知，得，故A正确； 对于B，当时，故B错误； 对于C，当时，由，得， 又，则，故有，故C正确； 对于D，当，时，，D中不等式不一定成立，故D错误． 故选： 7.【答案】BCD  【解析】【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断；由方程计算公式即可判断 【详解】对于A，由，所以样本数据的第80百分位数为，故A错误； 对于B，由题意存在这样一种可能，若，则极差为，此时样本数据的极差不变，故B正确； 对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图， 由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，故C正确； 对于D，由， 则， 所以，故这组样本数据的总和为，故D正确. 故选： 8.【答案】  【解析】【分析】根据题意，利用和条件求出，将看成方程的两根，分解因式求得，根据角的范围确定的值，进而求出角 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则 故答案为： 9.【答案】或  【解析】【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或 故答案为：或 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 10.【答案】 ，；   【解析】【分析】由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； 设事件“一次性购买i个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； 设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【详解】由题可知，，化简可得， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 设事件“一次性购买i个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，， 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由得，，代入化简可得， 所以，； 设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $