函数模型及其应用 专项练-2027届高三数学一轮复习

函数模型及其应用 专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元．若日均销量Q（束）与销售单价（元）的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（    ） A．15元 B．13元 C．11元 D．10元 2．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 3．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 4．已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 5．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 6．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 7．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 8．现有两个函数模型如下，模型一：如果是碳14的初始质量，那么经过年后，碳14的质量为；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，是常数（是自然对数的底）.则下列说法错误的是（   ） A．经过5730年，碳14的质量变为初始质量的一半 B．碳14的年衰减率与初始质量有关 C．设，碳14的第年，第年，第年的衰减量分别为，，，则 D．以上两个模型都可以归结为模型“”（其中为自变量，，为常数，是自然对数的底） 二、多选题 9．某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的.由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，则（   ） A． B． C． D．排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm 11．一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 三、填空题 12．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 13．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 14．某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 四、解答题 15．为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为600元，侧面的造价为400元．（注：衔接处材料损耗忽略不计） (1)把水池的造价（单位：元）表示为水池底面边长（单位：m）的函数； (2)若（的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？ 16．已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 17．某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元，每生产x吨物资另需流动成本千元，当生产量小于20吨时，，当生产量不小于20吨时，．该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25千元．已知生产的物资能全部售出． (1)写出总利润（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入流动成本固定成本）； (2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：） 18．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 19．研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B D D D B AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 设每天获利元，则． 由，得，故，故当时，每天获利最大． 2．C 根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 3．A 首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 4．B ，将代入， 得， 整理得：， 两边取自然对数：， 解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 5．D 先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D 6．D 根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 7．D 根据题意分析可得，消去即可求解. 由题意得，则，即，所以. 故选：D. 8．B 选项A，计算出；选项B，求出年衰减率为，与初始质量无关；选项C，计算出；选项D，两个模型均可变形得到的形式，D正确. 对于A，模型一中，当时，， 即碳14的质量变为初始质量的一半，故A正确； 对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关. 模型一可改写为，1年后，， 年衰减率为，是常数，故B错误； 对于C，第年衰减量， 同理， ， 所以，故C正确； 对于D，模型一可转化为，模型二为，均符合形式，故D正确. 故选：B. 9．AC 根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 10．ACD 由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，算出，判断C与D． 由题意可设，则，此时为常数， 由题意，，则，即， 所以，故A正确，B错误； 因为刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了， 所以，又由，得， ， 解得，所以，故C正确； ，故排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 12． 设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可. 设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 13． 先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14． 4 32 分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长． 当时，此时， 代入原函数指数部分：， 所以，， 已知，则， 所以当时，指数是关于的减函数， 因此在上单调递减， 当时，此时，代入原函数指数部分： ， 所以，， 同理得在上单调递增， 综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减， 因此，病毒载量在时达到峰值． 在时，， 根据题意，对于任意，有：， 代入表达式：， 整理得，，， 所以， 病毒具有传染性的条件是，即， 整理得，， 当时，不等式变为：， 结合前提，得到； 当时，不等式变为：， 结合前提，得到， 综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为， 题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度， 故总时长为小时． 15．(1)水池的造价，其中（单位：元） (2)时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. （1）根据已知确定底面积、侧面积，进而写出水池的造价，注意自变量的范围； （2）利用导数求函数的最值，并确定对应自变量即可. （1）由题意，得水池的底面积为，侧面积为（单位：）， 所以水池的造价，其中（单位：元）； （2）对函数求导，得， 令，解得， 由，解得，故在区间上单调递减， 由，解得，故在区间上单调递增, 所以，时，取得最小值元， 时，取得最小值元， 因此，时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 时，当水池底面的边长为时，水池的总造价最低. 16．(1) (2)； （1）将代入，得，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可. （2）设从甲地到乙地耗油为，结合题意得到，再结合导数研究该函数的单调性即可求解. （1）将代入，得， 所以从甲地到乙地要耗油升. （2）设从甲地到乙地耗油为，则， 化简得， 而， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得最小值，此时， 即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升. 17．(1) (2)生产量为12吨时，总利润最小为56千元 （1）根据给定的函数关系式，及利润的计算公式即可求解， （2）根据二次函数、对数函数的单调性求最小值，比较大小即可求解. （1）由已知可得，又， 当时，， 当时，， 故； （2）当时，，． 当时，，易知函数单调递增， 故． 因为，所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元． 18．(1) (2)；. （1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值. （1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴， 建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 当时，，令， 得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值， 因为，所以无最大值， 所以当时，S取得最大值，最大值为. 19．(1)模型②，且 (2) (3) （1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数图象性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温． （1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； （2）令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； （3）由，即，所以进行实验时的室温约为 学科网（北京）股份有限公司 $