2026-2027学年青岛版数学九年级上学期10月第一次学情调研卷

九年级上学期10月第一次学情调研卷（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：九年级上册第1章-第2章第三节】（青岛版2026） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 3．已知方程的一个根是，且，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 4．如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 5．一元二次方程用配方法解该方程，配方后的方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A．B．C． D． 7．若一元二次方程有实数根，则m的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 8．如图，在矩形中，，，若，则线段的长为（    ） A． B．3 C． D．4 9．某经济开发区2026年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋转得到，交于点F，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程，化成一般形式是 ． 12．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 13．若一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为 ． 14.如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 15．若等腰的一边长为6，另两边长恰好是关于x的一元二次方程的两个根，的周长是 ． 16．在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 三．解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18题6分，19-20题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．解方程： (1)； (2)． (3) 18． 如图所示，，且，，．求，，的长． 19.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 20．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 21．如图所示某农户为了增加经济收入，购买了33米的铁栅栏，准备用这些铁栅栏在靠墙（墙长20米）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养猪场养猪． (1)若要建的矩形养猪场面积为72平方米，求猪场的边和的长度； (2)该农户想要建一个120平方米的矩形养猪场．这一想法能实现吗？请说明理由． 22．已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 23．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． (1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 24．(1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上学期10月第一次学情调研卷（解析版) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 【测试范围：九年级上册第1章-第2章第三节】（青岛版2026) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。) 1.下列方程中是一元二次方程的是（) A.y2+x=1 B.x2+1=0 c3++1=0 D.y=4 【答案】B 【详解】解：A、少+x=1该方程含有2个未知数，故不是一元二次方程； B、x2+1=0是一元二次方程，故符合题意； C、 3+r+1=0该方程左边不是整式，故不是一元二次方程； D、y=4该方程含有2个未知数，不是一元二次方程； 2.如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（) A.周长 B.面积 C.每个内角的度数 D.每条边的长度 1/27 【答案】C 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 3.已知方程x+mx+n=0的一个根是-n,且n≠0，则m-n的值为（) A.1 B.-1 C.0 D.-2 【答案】A 【详解】解：已知方程x+mx+n=0的一个根是-n,且n≠0， .n2-mn+n=0 两边同时除以n得，n-m+1=0, .m-n=1, 4.如图，AD∥BE∥CF,若AB=4,BC=8,DE=3,则DF的长是(） A D E A.1.5 B.6 C.9 D.12 【答案】C 2/27 【详解】解：·AD‖BECF AB DE .BC EF, .AB=4 BC=8 DE=3 4.3 .8EF, .EF=6 .DF=DE+EF=3+6=9 5.一元二次方程x2-2x-m=0用配方法解该方程，配方后的方程为() A.(x-1)2=m+1B.(x+1)2=m-1C.(x+1)2=1-mD.(1-x)2=m-1 【答案】A 【详解】解：x2-2x-m=0 把方程的常数项移到等号的右边，得到x-2x=m, 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=m+1, 配方得(x-1)2=m+1 6.如图，已知△ABC,∠B=60°，AB=6,BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴彩三角形 与△ABC不相似的是（) 3/27 A 60 B. K60° 60°人60° 人60° 人60° D B D 【答案】D 【详解】解：A、∠C=∠C,∠DEC=∠B=60° ∴.△DEC∽△ABC 故A不符合题意； B、'∠C=∠C,∠CDE=∠B, .△CDEC∽ACBA 故B不特合题意； C、由图形可知，BE=AB-AE=6-2=4」 BD=BC-CD=8-5=3 BE 4 1 BD 3 1 BC82,AB62, BE BD ..BC BA 又∠B=∠B, ∴.△BDEn△BAC 故C不符合题意； 4/27 D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似， 故D符合题意， 7.若一元二次方程(x+4x-)=m有实数根，则m的值不可能是() A.-7 B.-6 C.0 D.1 【答案】A 【详解】原方程可化为x2+3x-4-m=0, “该方程有实数根， ∴.△=32-4(-4-m)≥0 解得m≥-25 4, -7<-2 <-6<0<1 -7 “m的值不可能是， EF 1 8.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BD=5,若FC=4,则线段AE的长为(） E A.22 B.3 C.10 D.4 【答案】B 5/27 【详解】解：在矩形ABCD中，∠A=90°，AB=3,BD=5, .AD=BD2-AB2 =4. ..BC=AD=4 EF 1 AD∥BC,FC=4, .△DEF△BCF, 六BCF元-4，即DE=BCx}-L DE EF1 4 .AE=AD-DE=3 9.某经济开发区2026年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每 月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x,根据题意得方程为(） A.50(1+x)}=175 B.50+50(1+x)+50(1+x)}=175 C.50+50(1+x)}2=175 D.50(1+x)+501+x)}=175 【答案】B 【详解】解：二月份工业产值为50(1+) 三月份工业产值为50(1+x) 第一季度总产值为50+50(1+x)+501+x 报据题意，得50+501+x)+501+x=175 6/27 10.如图，在等边△ABC中，AB=7，,D为边BC上一点，BD=2,连接AD,将AD绕，点D顺时针旋转 DF 60得到ED,ED交AC于点F,则EF的值为（) B D 3V3 A.3 B.2 C.2 D.4 【答案】B 【详解】解：△ABC是等边三角形， .BC=AB=AC=7,∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°， .BD=2, .CD=BC-BD=5 由旋转的性质可得AD=ED,∠ADE=60°， ∴.△ADE是等边三角形， .AD=AE,∠DAE=60°， .∴.∠BAD=∠CAE=60°-∠CAD, :.△ABD≌△ACE(SAS), 7/27 .CE=BD=2,∠ACE=∠ABD=60°， 如图所示，过，点E作EH∥BC交AC于H, B D .∠CHE=∠ACB=60° .△CEH是等边三角形， .'EH=CE=2. ..EH//BC, ∴.△EFH∽△DFC, DF CD5 EF HE 2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，） 11.方程x+x-2)=-6,化成一般形式是 【答案】x2-x+4=0 【详解】(x+10(x-2)=-6 整理，得x2-2x+x-2=-6, 8/27 即x2-x+4=0. 故答案为：x2-x+4=0 12.如图，已知在△MBC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的，点，DE∥BC,EF∥AB,且 AD:DB=3:5 CF:CB 那么 等于 【详解】解：DE∥BC, ..AE EC=AD:DB=3:5 ..CE:CA=5:8 EF∥AB, ..CF:CB=CE:CA=5:8 故答案为：5：8 13,若一元二次方程x+2x-2025=0的两个根分别为m,n,则代数式m+5m+3n的值为 【答案】2019 【详解】解：一元二次方程2+2x-2025=0的两个根分别为m，,n, m+n=-2,m2+2m-2025=0,m2+2m=2025, 9/27 .m2+5m+3n=m2+2m+3m+3n=m2+2m+3(m+n）=2025+3×(-2)=2019 故答案为：2019. 14.如图所示，能判定△ABC△DAC的有 ①∠B=∠DAC;②LBAC=LADC;③AC2=DC·BC;④AD=BD.BC. A D 【答案】①②③ 【详解】解：由图可得：∠ACD=∠BCA, ∠DAC+∠ADC+∠ACD=180° ∠B+∠BAC+∠BCA=180° ①.∠B=∠DAC, .∠ADC=∠BAC, .△ABC∽△DAC, 故①能判定△ABC∽△DAC; ②：∠BAC=∠ADC, .·.∠B=∠DAC 10/27 .△ABC∽△DAC, 故②能判定△ABC∽△DAC； ③AC2=DC·BC, AC BC DC AC, 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴.△ABC∽△DAC, 故③能判定△ABC∽△DAC; ④AD'=BD·BC, 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定△ABC∽△DAC; 故答案为：①②③. 15.若等腰△ABC的一边长为6，另两边长恰好是关于x的一元二次方程r-(3k+)x+22+2k=0的 两个根，△ABC的周长是 【答案】16或22 【详解】解：设等腰△ABC三边分别为a,b,C; 若a=6为腰，则kc中还有一腰，即6是方程r-(3k+l)x+2k2+2k=0的一个根. 11/27 ·62-(3k+1)×6+2k2+2k=0 解得：=3，人，=5， 将k=3代入x2-(3k+)x+2k2+2k=0得：x2-10x+24=0, 解得：=4，x2=6 此时能构成三角形，△ABC的周长为：4+6+6=16， 当k=5时，方程为x2-16x+60=0, 解得：=6，x2=10 此时能构成三角形，△ABC的周长为：10+6+6=22， 若a=6为底，则b=c,即方程x-(3k+)x+2k2+2k=0有两个相等的实根. .△=[-(3k+1]-4×(2k2+2k)=0 解得：=k=1 将k=1代入2-(3k+1)x+2k2+2k=0得：x2-4x+4=0 解得：.=为=2， .2+2<6 ∴此时不能构成三角形，不能计算周长 综上可得：△ABC的周长为16或22. 故答案为：16或22 12/27 16.在△ABC中，M,点在AB上，N点在AC上，且MB=4,AB=12,AC=16.如图所示，若 AN △AMN与△ABC相似，则的长是· M N B 32 【答案】3或6 【详解】解：.△AMN与△ABC相似， 而∠BAC=∠MAN, 若△BAC∽aMAN, AM AN AB-BM AN 则AB=AC,即AB AC 4W=32 解得 3； 若△BAC∽ANAM AM AN AB-BM_AN 则AC=AB,即AC AB 解得AN=6; 32 综上所述，AN的长为3或6. 13/27 32 故答案为3或6. 三.解答题（本题共8小题，共72分，17题12分，18题6分，19-20题8分，21-22，每题9分，23- 24,每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.解方程： )2x--16=0 (②2(y-)+3=(0y+12 3)(3x-7y2=2(3x-7) 【1m=月 7 (2)y=2+V2,为=2-V2 (3)x=3,x32=3 【详解】(1)解：(2x-1-42x-1+4)=0, 2x-1-4=0,2x-1+4=0 或 5 所以x2,x) (2)解：方程化为一般式为y-4y+2=0 .a=1b=-4c=2 ∴.△=b2-4ac=(-4)2-4×1×2=8>0 4±V⑧ y= 2×1, 即y=2±2， 所以片=2+V2,为=2-V2. (3)(3x-7)2=2(3x-7) 14/27 (3x-7)2-2(3.x-7)=0 (3x-7)3x-7-2)=0 (3x-7)3x-9)=0 .3x-7=0或3x-9=0 7 4=3,为=3 18.如图所示，∥h∥%，且AB=2BC,DF=5cm,AG=4cm.求GF，A,EF的长. G 5 【答案】2cm、6cm、3 cm 【详解】解：∥， AG AB ∴.GFBC. 而AG=4cm,AB=2BC AG=2 .GF ∴.GF=2cm. ∴.AF=AG+GF=4+2=6cm. .AB=2BC, 15/27 AC=3 B 4∥21， DF AC 53 EF=BC,即EF=i, .EF=。cm 3 19.已知关于x的一元二次方程ar-2(a+)x+a-1=0有两个不相等的实数根. (1)求a的取值范围. (2)若该方程的两个实数根分别为，x2,且+号=8，求a的值. 1 【答案】(I)a>3且a≠0；（②a的值为2 【详解】(1)解：：关于x的一元二次方程r-2(a+l)x+a-1=0有两个不相等的实数根， .a≠0，△=4(a+1-4a(a-1)>0 即12a+4>0 1 解得a>- 3 .a> 3且a≠0 (2)解：由根与系数的关系，得 +6=--2(a+1) a, a, +号=(：+3)}-2xx2=8 4a+1y_2(a--8 .∴.a2 a 16/27 3a2-5a-2=0 (3a+1)(a-2)=0 .3a+1=0或a-2=0 1 1 解得4=3(a>-3且a≠0，故舍去)，4，=2， .a的值为2 20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=2AD,AC=2AE. E D (I)求证：△ADE∽△ABC; SACDE (2)若AD=3,AE=2,求S△0E的值. 【答案】(1)见详解 (2)6 【详解】(1)证明：AB=2AD,AC=2AE 4=2.4C=2 ·AD,AE AB AC ·ADAE, 又∠A=∠A, 17/27 .△ADE∽△ABC (2)解：AE=2,AD=3,AB=2AD,AC=2AE, .AC=4,AB=6, .DC=AC-CD=1,BE=AB-AE=4, Sm=4E_2=}Sm=4D=3-3 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：S.eBE42,S,cCD1 Bm,S.e=254m .S.CDE=3 'SACDE =3 。AED1 一= SABDE 2S.AED 6 21.如图所示某农户为了增加经济收入，购买了33米的铁栅栏，准备用这些铁栅栏在靠墙（墙长20 米)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养猪场养猪， B (I)若要建的矩形养猪场面积为72平方米，求猪场的边AB和BC的长度； (2)该农户想要建一个120平方米的矩形养猪场.这一想法能实现吗？请说明理由. 【答案】(I)猪场的边AB和BC的长度分别为9米和8米.(2)不能，理由见详解 【详解】(1)解：设BC=xm,则AB=(33-3x)m, 依题意可得：33-3x)=72,解得：=3，=8 18/27 当x=3时，33-3x=24>20,不符合题意，舍去. 当x=8时，33-3x=9,特合题意； 答：猪场的边AB和BC的长度分别为9米和8米 (2)解：不能，理由如下： 设BC=m,则AB=(33-3y)m 依题意，得：(33-3y)=120 整理得：y2-11y+40=0 .4=(-1-4×40=-39<0 .该方程无解， ∴.不能建成一个120平方米的矩形养猪场. 22.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形，DE∥BC, DE,AC △ADE∽△DBC 与交于点E, D (I)请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明； 19/27 (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 【答案】(1)∠ADB=2∠DBC,见详解(2)见详解 【详解】(1)解：∠ADB=2∠DBC, 证明：如图所示， E 2 B .△ADE∽△DBC, .∠5=∠4， DE∥BC, .∠5=∠6， .∠4=∠6=∠5， .∠ADB=2∠5， 即∠ADB=2∠DBC. (2)解：·.△ADE∽△DBC, .∠AED=∠DCB ·.:∠AED=∠EDC+∠3，∠DCB=∠I+∠3 20/27 .∠EDC=∠I. ,△ABC为等边三角形， .∠1=∠2=60°， AB∥CD .∠3=∠2=60° .∠3=∠EDC=60° :.△CDE为等边三角形， ..CE=DE CD △ABC为等边三角形， .AC=BC ·△ADE∽△DBC, AE DE ∴.CDBC, AE EC .CEAC,即EC2=AE·AC, 点E是线段AC的黄金分割点. 23,商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、 国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可 21/27 多售出2套，设这种拖把每套降价x元. ()降价后每套拖把盈利元，平均每天可销售套（用含x的代数式表示）； (②)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利 1242元？ (3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由， 【答案】(1)(40-x),(20+2x) (2)每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)不能，理由见详解 【详解】(1)解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加2x套，即每天销售(20+2x)套， 每套拖把盈利120-80-x=(40-x)元. 故答案为：(40-x),(20+2x; (2)解：设每套拖把降价X元，则每套的销售利润为(40-)元，平均每天的销售量为(20+2x)套， 依题意得：(40-x)(20+2x)=1242 整理得：x2-30x+221=0 解得：=13，x2=17 又需要尽快减少库存， 22/27 ∴.x=17, 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； (3)解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为(120-y-80)元，平均每天的销售量为(20+2y)套， 依题意得：(120-y-80)(20+2y)=1400 整理得：y2-30y+300=0 .△=3-4ac=(-302-4×1x300=-300<0 此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元. 24.(I)问题发现：如图1，矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABCD的边 AB布AD上，BCMB=1:5,连接CF.气段CP与DG的教量关系为： (2)拓展探究：如图2，将矩形AEFG绕，点A逆时针旋转，其它条件不变，在旋转的过程中，(I)中的 结论是否仍然成立，请利用图2送行说理， (3)解决问题：当矩形ABCD的边AD=AB时，点E为直线CD上异于D,C的一点，以AE为边作正方 形AEFG,,点H为正方形AEFG的中心，连接DH,若AD=4,DE=2,直接写出DH的长. 23/27 B E B 图1 图2 备用图 【答案】(1)CF=2GD (2)(1)中的结论仍然成立，理由见详解. (3)DH的长为V2或3V2 【详解】(I)解：如图1，延长EF,交CD于H,连接AF, B 4 F G H D 图1 ,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形， .∠D=∠AGF=∠EFG=90°， .∠D=∠FGD=∠HFG=90° ∴.四边形DGFH是矩形， .FH=GD,∠DHF=90° 24/27 . ,矩形AEFG与矩形ABCD相似，BCAB=1:V3, AB AE3 .BC EF 1, AB-AE AE3 .BC-EF EF 1, BE CH3 即FHFH1, 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF=VFH+(N3FH=2FH, ..CF=2GD 故答案为：CF=2GD (2)解：(1)中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接AF、AC 图2 :矩形AEFG与矩形ABCD相似， AG AD ·AFAC, 由旋转可得：∠CAF=∠DAG .△ACF∽△ADG 25/27 . CF AC ..DG AD BC:AB=1:3, .CD:AD=3:1. AC CD2+AD2 2 .∴.AD AD 1 CF2 ·DG1, ..CF=2GD; (3)解：①如图3，当，点E在线段CD上时，连接AC、AH, 图3 :四边形ABCD,四边形AEFG为正方形， AC AE= ·∠CAD=∠EAH=45°，ADAH .∠CAE=∠DAH, .△ACE∽△ADH DH AD .CE AC 2, 26/27 . AD=CD=4,DE=2, .CE=4-2=2, ..DH=2; ②如图4，当点E在线段CD延长线上时，连接AC、AH, G B H 图4 ·:四边形ABCD,四边形AEFG为正方形， AC_AE= ·∠CAD=∠EAH=45°，ADAH .∠CAE=∠DAH, .△ACE∽△ADH, DH AD .CE AC 2, ·AD=CD=4,DE=2, ∴.CE=4+2=6, .DH=32, 综上所述，DH的长为V2或3V2」 27/27