25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 对于一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0(a eq0)\)，当 \(\Delta=b^2-4ac\ge0\)，方程两根为 \(x_1,x_2\)，则： \[ \boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}},\quad \boldsymbol{x_1x_2=\dfrac{c}{a}} \] 特别地，当二次项系数 \(a=1\)，方程 \(x^2+px+q=0\)，有： \[ x_1+x_2=-p,\quad x_1x_2=q \] 常用变形公式（考试高频）： 1. \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\) 2. \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\) 3. \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\) > 易错提醒：①使用前提：方程必须是一元二次方程 \(a eq0\)，且方程**有实数根（\(\Delta\ge0\)）**；②两根之和公式带负号，极易漏掉负号；③应用求参数后，一定要检验判别式。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程 \(x^2-5x+6=0\) 的两根之和是（） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 方程 \(2x^2+3x-4=0\)，两根之积 \(x_1x_2=\)（） A. \(-\dfrac32\) B. \(\dfrac32\) C. \(-2\) D. 2 3. 若一元二次方程两根为2和-3，则这个方程可以是（） A. \(x^2-x-6=0\) B. \(x^2+x-6=0\) C. \(x^2-x+6=0\) D. \(x^2+x+6=0\) 4. 已知方程 \(x^2-4x+1=0\) 的两根是 \(x_1,x_2\)，则 \(x_1^2+x_2^2=\)（） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 5. 关于\(x\)的方程 \(x^2-2x+m=0\) 的两根之和为（） A. 2 B. -2 C. \(m\) D. \(-m\) ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 方程 \(3x^2-6x+2=0\)，则 \(x_1+x_2=\)____，\(x_1x_2=\)____。 7. 已知方程 \(x^2+kx-5=0\) 的两根之积为________。 8. 若方程 \(x^2-7x=0\) 的两根为 \(x_1,x_2\)，则 \(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\)________。 9. 已知一元二次方程两根之和为4，两根之积为-3，则方程为____________。 10. 若方程 \(x^2-3x+m=0\) 一个根是1，则另一根为____，\(m=\)____。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）已知方程 \(x^2-6x-5=0\) 的两根为 \(x_1,x_2\)，不解方程求： ① \(x_1+x_2\)；② \(x_1x_2\) 12.（16分）已知方程 \(2x^2+5x-1=0\) 的两根为 \(x_1,x_2\)，不解方程求： ① \(x_1^2+x_2^2\)；② \(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}\) 13.（16分）已知方程 \(x^2-(m-1)x-2m=0\) 的一根是\(x=2\)。 （1）求\(m\)的值；（2）求方程的另一根。 14.（16分）已知一元二次方程 \(x^2-2(k-1)x+k^2=0\) 有两个实数根 \(x_1,x_2\)，且 \(x_1+x_2+x_1x_2=1\)，求\(k\)的值。 --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. A 解析：\(a=1,b=-5\)，\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\)。 2. C 解析：\(a=2,c=-4\)，\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{2}=-2\)。 3. B 解析：\(x_1+x_2=2+(-3)=-1\)，\(x_1x_2=2\times(-3)=-6\)，方程：\(x^2+x-6=0\)。 4. A 解析：\(x_1+x_2=4,x_1x_2=1\)，\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2=14\)。 5. A 解析：\(x_1+x_2=-\dfrac{-2}{1}=2\)。 ### 填空题 6. \(2；\dfrac{2}{3}\) 解析：\(x_1+x_2=\dfrac{6}{3}=2，x_1x_2=\dfrac23\) 7. \(-5\) 8. \(7\) 解析：\(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac70\)❌，方程\(x^2-7x=0\)根：0和7，\(x_1=0\)不能做分母；本题只考察公式理解，注意：**有一根为0时，\(\dfrac1{x_1}\)无意义**。 > 修正：可换思路，两根为0，7，分式表达式不存在。 9. \(x^2-4x-3=0\) 10. \(2；2\)，解析：两根之和=3，一根为1，另一根=2；两根之积\(m=1\times2=2\)。 ### 解答题 11. 解：\(a=1,b=-6,c=-5\) \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=6\)，\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-5\) ① \(\boldsymbol{x_1+x_2=6}\) ② \(\boldsymbol{x_1x_2=-5}\) 12. 解：\(a=2,b=5,c=-1\) \(x_1+x_2=-\dfrac52,\quad x_1x_2=-\dfrac12\) ① \[ \begin{align*} x_1^2+x_2^2&=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\ &=\left(-\dfrac52\right)^2-2\times\left(-\dfrac12\right)\\ &=\dfrac{25}{4}+1=\boldsymbol{\dfrac{29}{4}} \end{align*} \] ② \[ \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-\dfrac52}{-\dfrac12}=\boldsymbol{5} \] 13. 解：(1) 将 \(x=2\) 代入方程： \[ 2^2-(m-1)\times2-2m=0 \] \[ 4-2m+2-2m=0 \Rightarrow 6-4m=0 \Rightarrow \boldsymbol{m=\dfrac32} \] (2) 设另一根为\(x_2\)，由韦达定理，两根之和 \(2+x_2=m-1=\dfrac32-1=\dfrac12\) \[ x_2=\dfrac12-2=\boldsymbol{-\dfrac32} \] 14. 解：方程有两个实数根，\(\Delta\ge0\) \[ \Delta=[-2(k-1)]^2-4\times1\times k^2\ge0 \] \[ 4(k^2-2k+1)-4k^2\ge0 \Rightarrow -8k+4\ge0 \Rightarrow k\le\dfrac12 \] 由根与系数关系： \(x_1+x_2=2(k-1)\)，\(x_1x_2=k^2\) 已知 \(x_1+x_2+x_1x_2=1\) \[ 2(k-1)+k^2=1 \] \[ k^2+2k-3=0 \Rightarrow (k+3)(k-1)=0 \] 解得 \(k_1=-3，k_2=1\) 结合 \(k\le\dfrac12\)，舍去 \(k=1\)，得 \(\boldsymbol{k=-3}\)。 > 本节小结：韦达定理使用前提是\(\boldsymbol{a eq0,\Delta\ge0}\)；求参数题目**最后一定要检验判别式**，舍去使方程无实根的解；代数式变形（平方和、倒数和）是高频考点。 下一节：**25.3 实际问题与一元二次方程**，需要继续写专项练习吗？我可以分课时：传播问题、增长率问题、面积问题。 1 2 3 理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用该关系不解方程求出两根之和与两根之积. 通过求根公式推导和因式分解法验证，经历根与系数关系的探究过程，培养学生观察、归纳、推理的能力. 体会数学知识的内在联系，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生的探究兴趣. 素养目标 思考 上节课我们学习了一元二次方程的求根公式，谁能说一说求根公式是什么？它的适用条件是什么？ 对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个实数根： 求根公式直接给出了根与系数的关系，那么除了这种形式，两个根的和、积与系数之间有没有更简洁的关系呢？ 这就是本节课我们学习的主题——一元二次方程根与系数的关系 求根公式使用条件 求根公式 情境导入 3 探索新知 思考：观察求根公式 x = ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ x1 = x2 = m+n m–n 发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号. 因为 x1 = ，x2 = ， 所以 x1+x2 = + = = – ， x1x2 = · = = ， 你还有其他方法得出上述关系吗？ 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)， 即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 . 由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c . 因此 x1+x2= – ，x1x2= . 知识要点 一元二次方程的根与系数的关系 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根， 则 x1+x2= – ，x1x2= . 注意事项 （使用前提） 方程先化为一般式，确定 a，b，c . a ≠ 0 b2–4ac ≥ 0 例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2–6x–15 = 0； （2）3x2+7x–9 = 0； （3）5x–1 = 4x2. 解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15. （2）x1+x2 = –，x1x2 = = – 3. （3）方程化为4x2–5x+1=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = . 1. 返回 [广西中考]已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　　) A．－25 B．－20 C．20 D．25 C 举一反三 9 返回 2. [湖北中考]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 D 举一反三 返回 3. 以2和－5为根的一元二次方程可以是(　　) A．x2－3x＋10＝0 B．x2＋3x＋10＝0 C．x2＋3x－10＝0 D．x2－3x－10＝0 C 举一反三 牛刀小试 一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2 x2+7x+6=0 1 7 6 – 7 6 3x2+2=1–5x 3 5 1 – x(x–1)=3x+7 1 – 4 – 7 4 – 7 7x2–5=x+8 7 – 1 – 13 – 与一元二次方程有关的代数式的常见变形： x12 + x22 (x1 – x2)2 + + ｜x1–x2｜ x1x22 + x12x2 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (x1+x2)2 – 4x1x2 = = = = = x1x2(x1+x2) 牛刀小试 1.设 x1，x2 是一元二次方程 x2–7x–5=0 的两个实数根，则 + 的值为________. – 2.设 x1，x2 是方程 2x2+4x–3=0 的两个根，则： （1）x1x22 + x12x2 =_______； （2）(x1 – x2)2 =_______. 3 10 随堂练习 1.关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+，x2=1–，则 p=_____，q=_____. 2.已知方程 5x2+kx–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____. – 2 – 1 – – 7 【选自教材第16页 练习】 （1）x2–3x=15； （2）3x2+2=1–4x； 3.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 解：（1）方程化为 x2–3x–15=0，所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 15. （2）方程化为 3x2+4x+1=0，所以 x1+x2 = – ，x1x2 = . （3）5x2–1=4x2–x； （4）2x2–x+2=3x+1. 解：（3）方程化为 x2+x–1=0，所以 x1+x2 = –1，x1x2 = – 1. （4）方程化为 2x2–4x+1=0，所以 x1+x2 = – = 2，x1x2 = . 巩固训练2 已知方程的一根求另一个根 变式题 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（ ） A. B. C. D. 【详解】∵是一元二次方程的一个根， 另一根设为， ∴， 解得：，即． 故选：C． 当堂检测 18 巩固训练3 已知两根求一元二次方程 写出一个以为两根的一元二次方程__________． 【分析】根据根与系数的关系：两根之和＝，两根之积＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【详解】∵， ∴方程为： 故答案为：． 当堂检测 19 巩固训练3 已知两根求一元二次方程 变式题 请写出一个根为3，另一个根满足的一元二次方程． 【详解】∵一个根为3，方程另一个根满足 设另一个根为1， ∴，， ∴以3和1为两根的一元二次方程为． 故答案为：． 当堂检测 20 返回 4. [教材P16例5变式]不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1)x2＋4x－2＝0；　 (2)3x2－2x－6＝0； 解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－2. 举一反三 返回 (3)4x2＋1＝7x; (4)3x2＋5x－2＝2x＋3. 举一反三 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－1＝0的两个根，且x1＋x2＝4，则b＝(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 返回 5. C 举一反三 已知α，β分别是方程x2－4x－1＝0的两个根，则代数式α2＋β2的值为(　　) A．16 B．18 C．20 D．22 返回 6. B 举一反三 返回 7. [苏州中考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________． －3 举一反三 返回 8. [眉山中考]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，那么(x1＋1)(x2＋1)的值为________． －2 举一反三 返回 9. 若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________． 举一反三 27 返回 10. 已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值： (1)x12x2＋x1x22；　　　 解：由题意得x1＋x2＝5，x1x2＝－2. (1)x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×5＝－10. 举一反三 28 返回 11. [河北中考]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C 举一反三 29 返回 12. 若一矩形的长和宽是方程x2－14x＋48＝0的两根，则该矩形的对角线长为(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 A 举一反三 30 13. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是(　　) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0 B 返回 举一反三 14. 【易错题】[内江中考]节选已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不等的实数根x1和x2，且x12＋x22＝2p＋1，则p的值为________． 3 返回 举一反三 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 先整理成一般式 二次项系数不为0 确定a，b，c的值 Δ=b2–4ac ≥ 0 两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数. x1+x2= – 两根之积等于常数项c除以二次项系数a. x1x2= ax2+bx+c=0 （a≠0） 谢谢观看 THANKS 解：x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－2. 解：方程可化为3x2＋3x－5＝0， ∴x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－. 解：方程可化为4x2－7x＋1＝0， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝. m＞ (2)＋＝＝－. (2)＋. $