25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过让学生计算三个具体方程的两根之和与积发现规律，结合判别式和求根公式回顾，搭建从特殊到一般的认知支架，引导探究一般形式下的关系。 其亮点在于以问题驱动探究，通过具体方程计算培养数学眼光，用求根公式和因式分解推导培养推理意识，例题中代数式变形（如x1²+x2²）体现数学语言应用。采用从具体到抽象的教学方法，归纳解题步骤和注意事项，帮助学生提升运算与应用能力，也为教师提供清晰的教学流程和实例支持。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 问题1 以下 3 个方程，请同学们自主选择其中的一个，快速算出它的两根之和与两根之积，看谁算得最快． ① x2－6x＋8＝0； ② x2－4x－6＝0； ③ 2x2－3x－2＝0． x1＋x2＝6，x1x2＝8． x1＋x2＝4，x1x2＝－6． x1＋x2＝ ，x1x2＝－1． 一元二次方程的两根之和、两根之积，可以直接由方程的系数算出来． 如何研究？ 问题2 当一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足什么条件时，方程有实数根？你能表示出它的实数根吗？ 当 Δ≥0 时，方程有实数根． 方程的根由什么确定？ 给定系数，可以通过求根公式计算方程的根．那么，根与系数之间，是否还存在其他简洁的关系？ 系数 问题 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别为 x1，x2，观察求根公式 它们之间有什么特点？你能获得什么启发？能得出哪些结论？ 同一个数加、减同一个根式． x1＝ ＋ ， x2＝ － . 问题 x1＝ ＋ ， x2＝ － . x1＝m＋n x2＝m－n m m n n 要想获得形式简洁的关系，就需要去掉 n 中的根号．看到 m＋n 和m－n 的形式，大家回忆整式运算的知识，什么样的代数运算可以去掉 n 中的根号？ 问题 x1＝ ＋ ， x2＝ － . x1＝m＋n x2＝m－n m m n n x1＝m＋n x2＝m－n x1＋x2＝2m＝ x1x2＝m2－n2＝ 还有其他获得根与系数关系的方法吗？ 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 问题 因式分解 a(x－x1)(x－x2)＝0 方程的根 x1，x2 左边展开 ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2＝0 －a(x1＋x2)＝b ax1x2＝c 问题 一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 Δ≥0 时，方程有实数根．两个实数根 x1，x2 与其系数 a，b，c 有如下关系： 例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2． 解：（1）x1＋x2 ＝－(－6)＝6，x1x2＝－15． （2）x1＋x2 ＝ x1x2＝ （3）方程化为 4x2－5x＋1＝0，所以 x1＋x2 ＝ x1x2＝ 先化成一般形式 确定a，b，c 的值 代入公式 注意系数的符号 归纳 运用一元二次方程根与系数的关系解题时，需注意以下几点 （1）先将方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定 a，b，c 的值； （2）注意各项系数的符号，避免符号错误； （3）利用根与系数的关系的前提是方程有实数根，即Δ≥0． 对于上述方程，能否利用根与系数的关系，求出 x12＋x22 和 的值？ 转化为用 x1＋x2 与x1x2 表示的形式 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， 把 x1＋x2，x1x2 的值代入，即可计算出结果． 归纳 巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值 （1）计算：计算出 x1＋x2，x1x2 的值； （2）变形：将所求的代数式变形为用 x1＋x2 和 x1x2 表示的式子； （3）代入：把 x1＋x2，x1x2 的值代入所求的代数式计算． 1．不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1）x2－3x＝15； （2）3x2＋2＝1－4x； 解：（1）方程化为 x2－3x－15＝0， 所以 x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15． （2）方程化为 3x2＋4x＋1＝0， 所以 解：（3）方程化为 x2＋x－1＝0， 所以 x1＋x2＝－1，x1x2＝－1． （4）方程化为 2x2－4x＋1＝0， 所以 1．不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （3）5x2－1＝4x2－x； （4）2x2－x＋2＝3x＋1． 一元二次方程的根与系数的关系 两根之和 两根之积 拓展应用 一些特殊代数式，可变形为用 x1＋x2 和 x1x2 表示的式子，再利用根与系数的关系计算 谢谢 $