25.3 第3课时　循环问题与其他问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章　一元二次方程 25.3 第3课时　循环问题与其他问题 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 25.3 第3课时 循环问题与其他问题 专项练习（人教版九年级上册） ## 知识点梳理 ### 1. 单循环问题（每两个对象只发生1次） 例如：比赛、握手、互签名字。 若一共有 \(n\) 个对象，总次数： \[ \boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}=\text{总次数}} \] > 理解：每个和其余\(n-1\)个交手，\(n(n-1)\)会重复计算，所以除以2。 ### 2. 双循环问题（每两个对象之间发生2次，主客场、互送贺卡） 若一共有 \(n\) 个对象，总次数： \[ \boldsymbol{n(n-1)=\text{总次数}} \] > 理解：A给B贺卡，B也要给A贺卡，不除以2。 ### 其他常见题型：数字问题、数位问题 两位数：十位数字\(a\)，个位数字\(b\)，两位数表示为 \(\boldsymbol{10a+b}\)。 连续整数：设中间数为\(x\)，相邻\(x+1,x-1\)；连续奇数/偶数相差2。 > 易错提醒： > ①分清单循环还是双循环，区分“握手（单循环）”和“互送贺卡（双循环）”； > ②求出未知数后，人数必须是正整数，舍去负数解； > ③数字问题，数位上数字取值范围0~9，十位不能为0。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一次聚会，所有人互相握手，一共握手28次，设有\(n\)人参加聚会，方程是（） A. \(n(n-1)=28\)　B. \(\dfrac{n(n-1)}{2}=28\) C. \(n(n+1)=28\)　D. \(\dfrac{n(n+1)}{2}=28\) 2. 小组内每人给其他人送一张贺卡，共送出42张贺卡，设小组\(n\)人，方程（） A. \(n(n-1)=42\)　B. \(\dfrac{n(n-1)}{2}=42\) C. \(n(n+1)=42\)　D. \(\dfrac{n(n+1)}{2}=42\) 3. 一个两位数，十位数字比个位小2，十位、个位数字乘积是24，设个位数字为\(x\)，则十位数字为\(x-2\)，方程（） A. \(x+(x-2)=24\)　B. \(x(x-2)=24\) C. \(10x+(x-2)=24\)　D. \(10(x-2)+x=24\) 4. 足球联赛，每两队之间都赛一场，一共比赛36场，则球队数量为（） A. 7支　B. 8支　C. 9支　D. 10支 5. 有若干同学，每两人互发一条短信，一共发90条短信，则人数为（） A. 7　B. 8　C. 9　D. 10 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 8个人两两握手，一共握手________次。 7. 某篮球联赛，实行单循环赛制，一共比赛21场，则参赛球队有____支。 8. 两个连续正整数的积是42，则这两个数是________。 9. 一个两位数，个位数字是3，十位数字是\(x\)，这个两位数可以表示为________。 10. 全班同学互赠照片，一共送出56张照片，则班级人数为____人。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）某次同学聚会，每两个人之间都握一次手，所有人一共握手45次，求参加聚会的人数。 12.（16分）一个两位数，十位数字比个位数字大3，十位数字与个位数字的乘积是28，求这个两位数。 13.（16分）学校组织篮球赛，采用单循环赛制（每两队之间只打一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参赛？ 14.（16分）新年到了，一个小组内同学互相赠送贺卡，所有人一共送出90张贺卡，求这个小组一共有多少人？ --- ## 参考答案与解析 ### 选择题 1. B 解析：握手属于单循环，除以2。 2. A 解析：互送贺卡，A送B，B送A，双循环，不除以2。 3. B 解析：题目是两个数字的乘积等于24，\(x(x-2)=24\)。 4. C 解析：\(\dfrac{n(n-1)}{2}=36\Rightarrow n^2-n-72=0\Rightarrow(n-9)(n+8)=0\)，\(n=9\)。 5. D 解析：互发短信是双循环，\(n(n-1)=90\Rightarrow n^2-n-90=0\Rightarrow n=10\)。 ### 填空题 6. 28 解析：\(\dfrac{8\times7}{2}=28\) 7. 7 解析：\(\dfrac{n(n-1)}{2}=21\Rightarrow n=7\) 8. 6，7 9. \(10x+3\) 10. 9 解析：\(n(n-1)=56\Rightarrow n=8\)（修正：\(n(n-1)=56，n^2-n-56=0,(n-8)(n+7)=0，n=8\)） ### 解答题 11. 解：设参加聚会有\(n\)人。 \[ \begin{align*} \dfrac{n(n-1)}{2}&=45\\ n^2-n-90&=0\\ (n-10)(n+9)&=0 \end{align*} \] \(n_1=10，n_2=-9\)（人数不能为负，舍去） 答：参加聚会一共10人。 12. 解：设个位数字为\(x\)，十位数字\(x+3\)。 \[ \begin{align*} x(x+3)&=28\\ x^2+3x-28&=0\\ (x+7)(x-4)&=0 \end{align*} \] \(x_1=4，x_2=-7\)（舍去，数字不能负） 个位是4，十位\(4+3=7\)，两位数为74。 答：这个两位数是74。 13. 解：设邀请\(n\)支球队。 \[ \begin{align*} \dfrac{n(n-1)}{2}&=28\\ n^2-n-56&=0\\ (n-8)(n+7)&=0 \end{align*} \] \(n_1=8，n_2=-7\)舍去。 答：应邀请8支球队。 14. 解：设小组一共\(n\)人。互送贺卡属于双循环。 \[ \begin{align*} n(n-1)&=90\\ n^2-n-90&=0\\ (n-10)(n+9)&=0 \end{align*} \] \(n_1=10，n_2=-9\)舍去。 答：小组一共10人。 > 本节小结： > ✅ 单循环（握手、球赛只打一次）：\(\boldsymbol{\dfrac{n(n-1)}{2}}\) > ✅ 双循环（互送贺卡、互发短信）：\(\boldsymbol{n(n-1)}\) > 数字问题：两位数 = \(10\times十位数字+个位数字\)，数位数字0~9。 本章25.3三个课时全部结束，接下来是**第25章一元二次方程 单元复习专项卷**，需要我直接出一套单元综合测试卷（含选择填空解答+答案）吗？也可以只要纯题目打印版。 1 2 3 理解单循环与双循环问题的本质区别，掌握两类问题的数量关系公式. 能正确列出一元二次方程解决循环类实际问题，并检验解的合理性. 通过对比单循环与双循环的比赛规则，经历 “抽象 — 建模 — 求解 — 验证” 的过程，提升数学建模能力. 素养目标 思考 上节课我们学习了传播问题与下降率问题，你还记得这两种实际问题的数量关系吗？ 传播问题：（单向、指数增长） 下降率问题：（连续变化） 以上问题都是一个元素影响多个元素的单向传播问题，今天我们来学习另一类“两个元素之间相互影响”的问题. 大家想一想，生活中哪些事情是每两个对象之间都要发生一次联系的？ 如：握手、比赛、互赠礼物等，这节课我们就一起来学习如何用一元二次方程解决这类问题. 情境导入 3 复习回顾 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 x(x−1) = 28. 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. 解方程，得 x1=8，x2= –7（不合题意，舍去）. 答：组织者应邀请 8 支球队参赛. 探索新知 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 每两支球队之间比赛2场. 分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1). 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么 n(n–1)=300. 解方程，得 n = . 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 1. 返回 问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少个人参加聚会？ 解题方案：设有x个人参加聚会．第1个人分别与其他______个人握手，第2个人分别与其他______个人握手……依次类推，共x个人，如此共握手________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此，x个人每两人之间握一次手共握了________次，我们就得到方程：____________． (x－1) (x－1) x(x－1) 举一反三 6 返回 2. 某学校组织女子冰壶比赛，有x支队伍参加了比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则可列方程为______________． 举一反三 返回 3. 某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意，得 x(x－1)＝15， 解得x1＝6，x2＝－5(不符合题意，舍去)． 答：应该邀请6支球队参加比赛． 举一反三 变式训练 1. 某县团委倡导“我运动，我健康，我快乐”的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？ 解：设该县团委应邀请 x 支足球队参赛. 根据题意，得 x(x−1)=9×5. 解得 x1=−9（不符合题意，舍去），x2=10. 答：该县团委应邀请 10 支足球队参赛. 变式训练 2. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 【选自教材第23页 练习 第1题】 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 知识要点 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n−1) 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场） n(n−1) 探究4 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 变式训练 3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 解：设每件售价应定为 x 元，则每件的利润为 (x−40) 元，日销售量为 20 + = (140−2x) 件. 依题意，得(x−40)(140−2x)=(60−40)×20. 整理，得x2−110x+3000=0. 解得x1=50，x2=60（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元. 知识要点 销售问题中常见的几个等量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = ×100% = ×100%； （3）售价 = 进价×（1+利润率）； （4）总利润 = 总售价−总成本=单件利润×销售总量. 随堂练习 1.生物兴趣小的学生组，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有_____名学生. 2.已知平面上有 n 个点，其中任意3个点都不在一条直线上.小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有_____个点. 14 19 巩固训练2 双循环问题 变式题 元旦期间，某班级同学互赠新年贺卡，每人都给其他同学送 1 张贺卡，全班共送出 210 张贺卡。求这个班级的学生人数。 解：设这个班级有 名学生。 列方程： 整理得： 因式分解： 解得：，（不合题意，舍去） 答：这个班级有 15 名学生。 当堂检测 18 巩固训练2 双循环问题 变式题 一条铁路线上有若干个车站，任意两个车站之间都有往返车票，铁路部门共印制了90种不同的车票。求这条铁路上车站的数量。 解：设这条铁路线上有个车站。 列方程： 整理得： 因式分解： 解得：，（不合题意，舍去） 答：这条铁路线上有10个车站。 当堂检测 19 返回 4. 【河北人文信息】[石家庄市城市轨道交通5号线一期工程，全长约19.9 km，站点设置依次为宫北路站－红旗南大街站－红旗桥站－…－谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计342种往返车票，则这条线路共有站点(　　) A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 C 举一反三 为号召学生加强锻炼，某校计划开展足球比赛活动，已知参赛球队进行双循环赛(每两队之间进行两场比赛)，总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛． 返回 5. 解：设有x支球队参加比赛， 依题意，得x(x－1)＝110， 解得x1＝11，x2＝－10(不符合题意，舍去)． 答：有11支球队参加比赛． 举一反三 【新考向 传统文化】“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意．”每年中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则每天可多售出2盒．设每盒降价x元，则降价后每盒盈利_______元，每天可多售出____盒，每天一共售出_________盒，所以每天可获利________________元，若要每天盈利1 650元，则可列方程为_______________________． 返回 6. (20－x) 2x (100＋2x) (20－x)(100＋2x) (20－x)(100＋2x)＝1 650 举一反三 返回 7. 如图，一艘轮船以10 n mile/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20 n mile/h的速度由南向北移动，距台风中心10 n mile的圆形区域(包括边界)都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且AB＝50 n mile.若这艘轮船从点A处按原速度继续航行，在途中 是否会遇到台风？请说明理由． 举一反三 解：在途中不会遇到台风．理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，设最初遇到台风时轮船从 点A处开始航行了t h，此时轮船位于点C处， 台风中心移动到点E处，连接CE， 则CE＝10 n mile，AC＝10t n mile，AE＝AB－BE＝(50－ 20t)n mile.易知AC2＋AE2＝EC2，∴(10t)2＋(50－20t)2＝102， 整理，得5t2－20t＋24＝0.∵Δ＝(－20)2－4×5×24＝－80<0， ∴方程无实数根，∴轮船在途中不会遇到台风． 返回 举一反三 返回 8. “这么近，那么美，周末到[河北．”某特产销售店购进一批贝壳画，进价为10元/幅，市场部门规定售价不能超过进价的3倍，店长整理了几天的销售情况，发现该贝壳画每天的销售量y(幅)与销售单价x(元/幅)之间满足一次函数关系，部分对应数据如下． x/(元/幅) … 15 25 … y/幅 … 600 400 … (1)y与x之间的函数关系式为_______________； y＝－20x＋900 举一反三 解：由题意，得(x－10)(－20x＋900)＝5 000， 解得x1＝20，x2＝35. ∵35>10×3，∴x＝35不合题意，舍去，∴x＝20. 答：该贝壳画的销售单价为20元/幅． (2)若销售该贝壳画每天的利润要达到5 000元，求该贝壳画的销售单价． 返回 举一反三 本节课你学到了什么？ 课堂小结 27 谢谢观看 THANKS x(x－1) x(x－1)＝10 x(x－1)＝45 $