25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决循环问题、数字问题及其他问题，以排球邀请赛单循环情境导入，承接方程解法知识，通过问题引导学生从实际中抽象数量关系，搭建知识应用的学习支架。 其亮点是分类探究结合生活实例，如单循环比赛、握手问题培养数学眼光，分析数量关系发展数学思维，用方程模型表达问题体现数学语言。归纳表格与步骤总结助学生系统掌握，教师可借实例提升教学效率，学生能增强实际问题解决能力。

人教版九年级（上） 第25章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题 人教版九年级（上） 1 1. 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2. 通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤.(重、难点) 素养目标 问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 情境导入 探究点1：一元二次方程解决循环问题 类型1：单循环问题 问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛一场)，受场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ n 1 2 3 n-1 ... n 个球队 × (n - 1)个球队 2 (循环) = 总场数 新知探究 思考：赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，也就是一共要比赛 场，比赛的总场次用含 x 的代数式表示为 场， 解：设应邀请 x 支球队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场. 28 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 解方程，得 x1＝8，x2＝−7(不合题意，舍去). 所以可列得方程 . 探究点1：一元二次方程解决循环问题 新知探究 【练一练】1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？ 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x −1) 次，但每人都重复了一次，故根据题意得 解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5. 答：共有 5 个人参加聚会． 探究点1：一元二次方程解决循环问题 新知探究 类型2：双循环问题 问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300. 他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛，如果有 n 支球队参赛，那么比赛的总场数为 n(n－1). 探究点1：一元二次方程解决循环问题 新知探究 假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300， 那么 n(n－1)＝300. 解方程，得 n＝. 由于 1201 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数. 因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对. 探究点1：一元二次方程解决循环问题 由总场数为 n(n－1) 可知，其必为两个连续正整数的乘积，如 2，6，12，20，···，240，272，306，···. 新知探究 【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得 x(x－1)＝72. 解得 x1＝9，x2＝−8(舍去). ∴ x＝9. 答：共有 9 个班级参赛． 归纳：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程. 探究点1：一元二次方程解决循环问题 新知探究 探究点1：一元二次方程解决循环问题 循环 问题 单循 环 x支球队进行比赛，每两队 之间比赛一场，共比赛a场. a＝ x人互相握手，共握手a次. x人每人与其他人合照一张 双人照，共合照a次. 双循 环 x人互送礼物或互发信息、 祝福等，总数为a. a＝x(x －1) 【归纳总结】 新知探究 探究点2：一元二次方程解决数字问题 问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的 3 倍，求这个两位数. 分析：设十位上的数字为 x (x为 1一9 的整数)，则个位上的数字为 x＋2 (x＋2＜9，即 x＜7)， 两位数表示为 10x＋(x＋2)＝11x＋2；两个数字乘积为 x(x＋2). 新知探究 列一元二次方程：11x＋2＝3x(x＋2). 解方程，得 x1＝2，x2＝− (舍去). 当 x＝2 时，个位数字为 2＋2＝4，两位数为 24， 验证：24＝3×(2×4)＝24，符合题意，故这个两位数为 24. 探究点2：一元二次方程解决数字问题 新知探究 【练一练】2. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数. 解：设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为 (5 - x)， 解得 x1 = 2 ，x2 = 3. 答：原来的两位数是 23 或 32. 依题意得 (10x + 5 − x)[10(5 − x) + x] = 736. 当 x = 2 时，5 − x = 3； 当 x = 3 时，5 − x = 2. 探究点2：一元二次方程解决数字问题 新知探究 【归纳总结】 数字 问题 (1) 两个连续整数：设较小的整数为 x，则较大的整数为 x＋1； (2) 三个连续奇数(偶数)：设中间的数为 x， 则较小的数为 ，较大的数为 ⁠ ⁠； (3)两位数：十位数字×10 ＋ 个位数字； (4)三位数：百位数字×100 ＋ 十位数字×10＋个位数字. x－2　 x＋ 2　 探究点2：一元二次方程解决数字问题 新知探究 探究点3：其他问题 问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一. 某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠. 调查发现，螃蟹的进价为 40 元/千克，售价为 50 元/千克时，每天可销售 100 千克.每千克每涨价 1 元，每天少销售 2 千克，若商家一天销售螃蟹获总利润为 1600 元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克? 新知探究 分析：设当天螃蟹的售价为 x 元/千克，则每千克的销售利润为 (x－40) 元，每天可售出 (200－2x) 千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量， 可列出关于 x 的方程，解之可得出 x 的值，再结合要为顾客谋实惠，即可确定结论. 探究点3：其他问题 新知探究 解：设当天螃蟹的售价为 x 元/千克，则每千克的销售利润为 (x－40) 元， 每天可售出 100－2(x－50)＝(200－2x) 千克， 根据题意得 (x－40)(200－2x)＝1600， 解得 x1＝60，x2＝80， 又∵要为顾客谋实惠，∴ x＝60. 答：当天螃蟹的售价为 60 元/千克. 探究点3：其他问题 新知探究 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得 (40 − x)(20 + 2x) = 1200， 整理得 x2 − 30x + 200 = 0. 解方程得 x1 = 10，x2 = 20. 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元. 【练一练】2. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 探究点3：其他问题 新知探究 1. 设未知数 x，用含 x 的代数式表示销量、单件利润； 2. 根据利润 = 销量×单件利润列方程； 3. 解方程； 4. 根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍； 5. 作答. 用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 探究点3：其他问题 新知探究 一元二次方程解决实际问题 循环问题 数字问题 其他问题 单循环： 双循环：n(n－1) 1.用未知数表示各数位的数 2.通过和、差等数量关系表示另外一个数 课堂小结 1.[教材变式]某校九年级组织一次篮球比赛， 每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该 校九年级共有班级个数为(　C　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 C 当堂反馈 2. 一个两位数的个位数字与十位数字的和为 11，并且个位数字与十位数字的平方和为 85，求这个两位数. 解：设个位数字为x，则十位数字为(11－x). 由题意得x2＋(11－x)2＝85，解得x1＝2，x2＝9.当x ＝2时， 两位数为92，当x＝9时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 解：设个位数字为 x，则十位数字为 (11－x). 由题意得 x2＋(11－x)2＝85，解得 x1＝2，x2＝9. 当 x＝2 时， 两位数为 92，当 x＝9 时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 当堂反馈 3.商场以每件 100 元的价格购进纪念品，以每件 150元的价格出售，平均每天可销售 30 件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高 1 元，平均每天的销售量就减少 10 件.若销售这种纪念品每天获得的利润为 520 元，求销售单价.x 解：设销售单价提高x元， 由题意得(150－100＋x)(30－10x)＝520. 化简得x2＋47x－98＝0，即(x－2)(x＋49)＝0. 当堂反馈 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 解得x1＝2，x2＝－49(舍去). 故150＋2＝152(元). 答：当销售单价为152元时，每天获得的利润为 520元. 3. 商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件.经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件.若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价.即(x－2)(x＋49)＝0. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $