精品解析：甘肃永靖县刘家峡中学2026-2027学年第一学期第一次质量监测九年级数学

绝密★启用前 刘家峡中学2026-2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学 （满分120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 8. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 12. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 13. 已知，是方程的两个根，则__________． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 15. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 16. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．其中：17题12分，18-23每题10分． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 19. 将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． （1）求a，h，k的值； （2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 20. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 21. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 22. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率． （2）某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元/件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？ 23. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，且．根据材料，求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：， ． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，求的值． （2）已知实数m，n满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 刘家峡中学2026-2027学年第一学期第一次质量监测 九年级数学 （满分120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后即可判断正确选项． 【详解】解：原方程为， 移项得， ∴方程两边同时加 ，得， 整理得． 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 5. 关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 7. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 8. 我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由竿长与门宽、门高的大小关系表示出门宽与门高，再结合勾股定理列方程． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高为尺. ∵ 斜放竿与门对角线恰好相等， ∴ 门对角线长为尺， 由勾股定理得． 9. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及图象与轴的交点位置，结合图象特征逐一判断即可求解． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点位置不同（一个在正半轴一个在负半轴），故、错误； 对于选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右下降，则，矛盾，故错误； 对于选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右上升，则，且与轴交于正半轴，则，符合图象特征． 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 12. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 13. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 15. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 16. 抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共72分．其中：17题12分，18-23每题10分． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），                      （2），             （3），                （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个实数根； （2）若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； （2）解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 【解析】 【分析】（1）计算值，再判断的符号即可； （2）先由求根公式求出，，则为正整数，故为整数，且，则的可能取值为，，再分别代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． （1）求a，h，k的值； （2）指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】（1）； （2）开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 20. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 21. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 22. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马月份销量为万件，月份销量已增至万件．求该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率． （2）某商铺以每件元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为元/件时，日销量为件．售价每降低元，日销量可增加件．借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到元，则每件应降价多少元？ 【答案】（1） 该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为 （2） 每件应降价元 【解析】 【分析】（1）根据月平均增长率的增长规律，结合月与月的销量列一元二次方程求解； （2）利用“日总利润单件利润日销售量”的等量关系列方程，结合尽快减少库存的条件选取符合题意的解． 【小问1详解】 解： 设该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为， ∵月份销量为万件， ∴月份销量为万件， 依题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商平台“哭哭马”月到月销量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元， ∵进价为元/件，原售价元/件，原日销量件，售价每降低元日销量增加件， ∴降价后单件利润为元，日销量为件， 依题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大， ∴选择更大的降价幅度，即． 答：每件应降价元． 23. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，且．根据材料，求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：， ． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，求的值． （2）已知实数m，n满足，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求分式通分后代入计算； （2）先判断m，n是方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，将所求代数式变形后代入计算． 【小问1详解】 解：∵，是方程的两个实数根 ， ∴由根与系数的关系得：， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∴， 将，代入得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $