精品解析：甘肃平凉市第七中学2026-2027学年九年级上学期阶段性检测数学试卷

平凉市第七中学2026－2027学年度第一学期阶段性检测试卷 九年级 数学 （时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断二次函数需满足：解析式为整式，自变量最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、，当时，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数的定义，符合题意； D、自变量最高次数为3，不是二次函数，不符合题意． 2. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后配方，将方程左边化为完全平方式． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 配方得：． 故选：A． 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律作答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得． 故选：B． 4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5-x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式． 【详解】解：一边长为x米，则另外一边长为：5-x， 由题意得：x（5-x）=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式． 5. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为( ) A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 【答案】A 【解析】 【分析】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】假设修建的路宽应x米， 利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程： ∴(20−x)(30−x)=551， 整理得： 解得：x1=1米，x2=49米(不合题意舍去)， 故选A. 【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 6. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 7. 一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是【 】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵a=1，b=1，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=1+8=9＞0． ∴方程有两个不相等的实数根．故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ 　） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数非零与判别式大于0两个条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 9. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染， 那么由题意可知1+x+x（1+x）=100， 整理得，x2+2x-99=0， 解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 【点睛】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解． 10. 一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ） A. 25 B. 36 C. 25或36 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 二、填空题（共8小题，每小题4分，计32分） 11. 二次函数的顶点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的结构特征，直接对应得到顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为， 将题目中的二次函数解析式变形，可得 由顶点式可得，， 该二次函数的顶点坐标为． 12. 二次函数的图象如图所示，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线开口向上可得k+1＞0，解出k的范围即可. 【详解】由题意得：k+1＞0，解得k＞﹣1. 故答案为k＞﹣1. 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系. 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为的条件，筛选得到符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， ∵原方程有一个根为， ∴将代入原方程，得 ， 解得或 ， ∵， ∴． 14. n是方程（）的一个根，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】将根代入原方程，结合的条件化简等式，即可得到的值． 【详解】解：是方程的根， 把代入方程得：， 等式两边同除以n，得 . 15. 参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____． 【答案】 x（x﹣1）=45 【解析】 【分析】利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）解决问题即可． 【详解】由题意列方程得， x（x-1）=45． 故答案为x（x-1）=45． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟知x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）这一基本数量关系是解题的关键. 16. 关于x的方程是一元二次方程，则m=_________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义回答即可 ． 【详解】解：方程是一元二次方程， 且． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 17. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1-每次降价的百分率）2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可． 【详解】设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得： 125(1−x)2=80 解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不合题意，舍去) 故答案为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出关系式是解题的关键． 18. 关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，完全平方公式，提公因式，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ， 若，则， 则， 即， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， 则或，即或，故③错误； ④若是方程的一个根， 则， ∵， ∴两边同除以得， ， 即， ∴是方程的一个根． 故④正确； 综上可知，①②④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）原方程无实数根 （4）， 【解析】 【分析】（1）提取公因式因式分解，令每个因式等于0求解； （2）用配方法，配方后开平方求根； （3）利用判别式判断根的情况，小于0，无实数根； （4）移项后直接开平方，得到两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 、； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 、； 【小问3详解】 解：在中、、， 判别式：， ∵， ∴该方程无实数根； 【小问4详解】 解：， ， ， 、． 20. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系． （1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根； （2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为x， 则，， 解得：，， ∴方程的另一个根为，k的值为1． 21. 已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个二次函数的解析式． 【答案】y＝x2－2x－3. 【解析】 【详解】试题分析：可设解析式为顶点式，根据图象经过点（0，-3）求待定系数，即可得解． 根据题意，设函数解析式为y=a（x-1）2-4． ∵图象经过点（0，-3）， ∴-3=a-4，a=1． ∴解析式为y=（x-1）2-4=x2-2x-3． 考点：二次函数的解析式． 22. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 【答案】2秒或4秒后的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，三角形面积公式及一元二次方程的建立与求解，先分析点P、Q的运动情况，表示出和的长度，根据三角形面积公式列出方程并求解方程即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． 四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽． 【答案】花边的宽为1米． 【解析】 【分析】首先设花边的宽为x米，根据题意可得等量关系为：（矩形图案的长+两个花边的宽）×（矩形图案的宽+两个花边的宽）＝地毯的面积，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设花边的宽为x米， 根据题意得（2x+8）（2x+6）＝80， 解得x1＝1，x2＝﹣8， x2＝﹣8不合题意，舍去． 答：花边的宽为1米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，再设未知数列方程． 24. 某种商品，原价元，受金融危机影响，月份降价，从月份开始涨价，月份的售价为元，求、月份价格的平均增长率. 【答案】、月份价格的平均增长率为. 【解析】 【分析】根据条件求出月份的售价为元，设、月份价格的平均增长率为，根据 “基期量乘以1加平均增长率和的平方等于末期量”列方程，解出即可得、月份价格的平均增长率. 【详解】解：根据题意得： 月份的售价为：（元） 设、月份价格的平均增长率为，则： ，解得：，（舍）， ∴、月份价格的平均增长率为：， ∴、月份价格的平均增长率为． 25. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天想盈利1200元，是否可能，若可能则每件衬衫应降价多少元？ 【答案】商场平均每天盈利1200元是可能的，每件衬衫应降价20元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则销售量为件，再由利润单价利润销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 由题意得，， 整理得：或， ∵要扩大销售， ∴， 答：商场平均每天盈利1200元是可能的，每件衬衫应降价20元． 26. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是米，离柱子的距离为米． 求这条抛物线的解析式； 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】（1）；（2）不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【解析】 【分析】（1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由A、P两点坐标求解析式； （2）求水池半径即时求当y＝0时x的值． 【详解】(1)由题意知：顶点A为，为， 设这条抛物线解析式为， ∴， 解之得． 所以这条抛物线的解析式为； (2)令，则， 解得， 所以若不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 27. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）4 （2） （3）当时，多项式有最大值，最大值为20 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉市第七中学2026－2027学年度第一学期阶段性检测试卷 九年级 数学 （时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为( ) A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 6. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 7. 一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是【 】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ 　） A. B. C. 且 D. 9. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 10. 一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ） A. 25 B. 36 C. 25或36 D. 或 二、填空题（共8小题，每小题4分，计32分） 11. 二次函数的顶点坐标为____________． 12. 二次函数的图象如图所示，则的取值范围为________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为______． 14. n是方程（）的一个根，则 ________． 15. 参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____． 16. 关于x的方程是一元二次方程，则m=_________． 17. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 18. 关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 三、解答题（本大题共4小题，共38分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 21. 已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)．求这个二次函数的解析式． 22. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽． 24. 某种商品，原价元，受金融危机影响，月份降价，从月份开始涨价，月份的售价为元，求、月份价格的平均增长率. 25. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天想盈利1200元，是否可能，若可能则每件衬衫应降价多少元？ 26. 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是米，离柱子的距离为米． 求这条抛物线的解析式； 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 27. 阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）用配方法因式分解：； （3）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $