贵州贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

数学（二） (120分钟150分) 本卷说明： 1.本卷测试内容：高考全部范围」 2.本卷侧重：高考评价体系之基础性。 3.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题2）；②考查数学基本技能（题15）；③考查数学基才思想 (题4). 4.本卷好题摘要：题19（关键题）、题8（创新情境题）、题2、5（牧考衔接题）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.若集合M=(x∈Z0≤x≤5}，P={x∈N|2r<15},则 A.∈M B.M∩P=M C.MUP=P D.PCM 2.已知一组数据1,2，x,6,7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为 A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 3设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,6.若a=2,c=2月，c0sA= 2,且6 <c,则b= A√3 B.2 C.2√2 D.3 4.设a,b,c为非零实数，且2=3°=6°，则 A.a=bc B.a tb=c C.6=atc 2 n+-月 5.在长方体ABCD-A,B1C1D1中，AB=2,BC=√2，AA1=a,对角线BD与截面 AB,D所成角的大小为45°，则a= A.2 B.3 C.22 D.25 1 6.已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件：对任意x,y∈R,有f(x十y)=f(x) +f(y)十3.若f(1)=4,且当x>0时，f(x)>一3，则不等式f(x2+x)+f(1 2x)>15的解集为 A.(-∞，-1)U(3,+∞) B.(-0∞，-1)U(2,+o∞) C.(-1,3) D.(-1,2) 双曲线二@>0，b>0)的左右焦点分别为F,F2,以F,F:为直径的哑 双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,O为坐标原点，F2N⊥OM,垂足为N,若 1MN=√2，且F2N·F=6,则双曲线的离心率为 A.√/3 B.6 C.2 D.2√2 8.一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装 有少量液体.如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点 的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2,3,4.若将该容器 放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大 约为 (参考数据：√6≈2.45,3≈1.44) A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 已知cosa十9)=-5os2a=其中。，P为锐角，则 A.tan 2a=3 B.tanatan=号 C.cos(a-B)-2/5 5 D.sin a sin B= 35 10 2 10.已知数列{an}满足a1十3a2十十3"-lam=n·3”,则 A.a=2n+1 B.数列{am}的前n项和为n2十n C.设bn=|an一10|，则数列{bn)的前10项和为52 D.设d,=0,一10，则数列}既有最大项，又有最小项 1.已知函数f)=2hlz一x2+是，则 A.函数f(x)在区间（一∞，0）上单调递减 B.函数f(x)的值域为R C.不等式f(mx)≥f(x2+1)恒成立，则m∈[-2,2] D.若f(a)+f(b)=0,则(|a+1)(|b|+1)的最小值为4 题序 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若复数x满足z2=2i(其中i是虚数单位)，则|x十z= 大y2 3.已知椭圆c:人 +6=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且垂直于 x轴的直线与C交于点M,连接MF1并延长与C交于点N,连接NF2.若|NF2| _4a2+62 MFl 3a ，则 NF 14.在△ABC中，BC=3,AB·CB=6,BC=3BM,当cos∠BAM最小时，则 AMI= 3 四、解钅题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=√3sin2x-cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间； (2)求x∈[0，]时函数f(x)的值域 4 16.（15分) 某科研团队研发新一代硫化物固态锂电池，测试了5块同批次电池的循环次数 x(单位：次)与剩余容量y(单位：Ah),得到如下数据： x/次 100 200 300 400 500 y/Ah 9.8 9.5 9.2 8.9 8.6 (1)求y关于x的线性回归方程，预测当循环次数为1000次时电池的剩余容量， 并计算样本相关系数？，据此说明线性回归模型拟合x与y关系的合理性 (2)该团队另有10块同批次电池，其中改性优化电池6块，普通电池4块，改性优 化电池中有4块循环寿命超过1000次，普通电池循环寿命均未超过1000 次，规定循环寿命超过1000次为达标.现从这10块电池中随机抽取3块进行 破坏性安全测试，记抽取的3块中达标的电池数为X,求X的分布列和数学 期望 参考公式：回归直线y=x十a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b= 2x-)- 1 a=y一bx,相关系数r= 含，- 2x-n 含(x-,-) 含(x,-)含，-)2 5 17.(15分) 已知A,B两点的坐标分别是（一1，一1），(1，一1)，直线AC,BC相交于点C,且直 线AC的斜率与直线BC的斜率的差是2. (1)求点C的轨迹D的方程 (2已知T上存在三点P,Q,R,且P,Q关于直线)y=2x十m对称 (1)求m的取值范围； (iⅱ)若△PQR为等边三角形，求|PQ. 6 18.(17分) 如图，在斜三棱柱ABC-A,B1C1中，AB=AC=2,∠BAC=90°，侧棱AA1=3, ∠A1AB=60°，∠A1AC=0(0为锐角). (1)当0=60时，求证：AA,⊥BC (2)定义：过点A,作直线A,O垂直底面ABC于点O,且O在∠BAC内部，记AG 与AB,AC所成的角分别为a,B,称d= tan a-tan B I tan a+tan BI 为斜三棱柱的投影偏 差率 (i)当0=60时，求斜三棱柱ABCA,B,C,的投影偏差率d(不需证明)，并求 此时平面A,BC与平面ABC夹角的余弦值； (i)d关于0的函数解析式记为d(0),若存在两个不同的锐角01,02使得 d(0,)=d0),求证：60s0,·cos0,=子 B 19.(17分) 已知函数f(x)=(x-a)e-bx2+a,x∈(0，十o∞)，a,b∈R. (1)当a=1时，若函数f(x)有一个零点，求b的取值范围 (2)当a=0,b=0且0<A<1时，令h(x)=f(x)(eosx+λsin工)，设tn是h(x) x 从小到大的第n个极值点，证明：数列h(tn)》是等比数列. (3)当a=一1且b=0时，令gm(x)=f(x)-n,且Hn∈N”,gn(x)有唯一的正零 点x,证明：2(Wn十2-2)<1十】++1<2十n十2nn. 8