精品解析：广东湛江市廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试高一数学试卷（B卷）

廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高一数学试卷（B）卷 分值：150分；考试时间：120分钟；命题人：师海超；审题人：李群英 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为幂函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 当时，函数和的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是R上的增函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 11. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 关于x的不等式的解集是 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 当时，函数的值域为_________． 13. 若是上的奇函数，且当时，，则当，______． 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. （1）； （2）． 16. 已知集合． （1）求； （2）若集合满足，求实数a的取值范围． 17. 已知函数（为常数，且）的图象经过点 ； （1）求函数的解析式； （2）若函数， 试判断函数的奇偶性，并说明理由． 18. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 19. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，也即是满足.已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廉江市实验学校2025-2026学年度第一学期期中考试试题 高一数学试卷（B）卷 分值：150分；考试时间：120分钟；命题人：师海超；审题人：李群英 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题“”的否定是特称量词命题“”可得. 【详解】因为全称量词命题“”的否定是特称量词命题“”， 所以全称量词命题“，”的否定是“”. 故选：C. 2. 已知函数为幂函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数解析式的特征列方程求解即可. 【详解】由幂函数定义得，解得. 故选：D 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 4. 当时，函数和的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 5. 已知且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 6. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 7. 已知是R上的增函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在R上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】在上单调递增， 要想是R上的增函数，需满足， 解得， 故的取值范围为. 故选：C 8. 已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增， 又对任意的恒成立 ，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A利用因式分解和配方法进行证明；选项B和D利用基本不等式进行判断；选项C利用不等式的性质分类讨论分析. 【详解】对于选项A. ，故选项A正确. 对于选项B. 当时，，因此，当且仅当，即或时等号成立，但，故无法取等号.故选项B错误. 对于选项C. 若或，即，则，故. 若，即，则，故.故选项C错误. 对于选项D. 当时，； 若，则，当且仅当时等号成立，故. 若，则，当且仅当时等号成立，故. 综上，的最大值为.故选项D正确. 故选：AD 11. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 关于x的不等式的解集是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合，利用赋值法依次求出即可判断；对于B，通过选项A中的函数值的规律即可判断；对于C，运用定义法证明函数在上的单调性，将代入后，运用函数单调性将其化成一元二次不等式求解即得；对于D，令，代入已知式，根据递推性质即可证明结论. 【详解】对于A，在中，， 取，可得，解得， 再取，可得， 再取，可得，故A正确； 对于B，由A项可知，，故B错误； 对于C， 不妨设，则， 设，则，因当时，，则有， 由可得，即函数在上是增函数. 取易得，则， 故等价于，故得，解得或， 故不等式的解集是，故C正确； 对于D，将都取为，则得， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 当时，函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调函数计算得出函数的值域. 【详解】在上单调递增， 故． 故答案为：． 13. 若是上的奇函数，且当时，，则当，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义结合已知条件求解即可. 【详解】设，则， 所以， 因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 故答案为： 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1） . （2）原式 . 16. 已知集合． （1）求； （2）若集合满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由交集的定义计算即可； （2）由可得，结合集合大小范围求参数即可. 【小问1详解】 由条件可得， ∴． 【小问2详解】 由条件可得，而， 则，即实数a的取值范围为． 17. 已知函数（为常数，且）的图象经过点 ； （1）求函数的解析式； （2）若函数， 试判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1）；（2）偶函数，证明见解析.. 【解析】 【分析】（1）利用两点的坐标求得的解析式. （2）先求得的表达式，根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）由于函数的图象经过点， 所以， 所以. （2）由（1）得，定义域为 所以， 所以函数为奇函数. 18. 如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 【答案】（1），理由如下： 方法一：根据相似的性质可得， 所以，解得， 所以. 方法二：根据相似的性质可得，则，得， 所以. （2）240 【解析】 【分析】（1）方法一：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， 方法二：根据相似的性质可得，由此可求，结合矩形面积公式求， （2）由（1）可得，利用基本不等式求其最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，当且仅当，即时，等号成立， 故矩形面积的最小值为240. 19. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，也即是满足.已知函数. （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数在定义域上单调递增，证明如下： 因为， 任取且， 则， ，，，， ，即， 在定义域上单调递增； （2） 证明：，， ， 的图象关于点成中心对称图形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据作差法证明函数的单调性即可； （2）求出，即可得证； （3）结合（1）可得，结合（2）可得，从而得到，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即，又由（1）可知在定义域上单调递增， ， 又由（2）可知，即， ，即， ，即对恒成立， ，即，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $