广东实验中学2025-2026学年高一上学期中段模块考试数学试题

广东实验中学2025-2026学年(上)高一级中段模块考试 数学 满分:150分;考试时间:120分钟 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。 1.下列五个写法:①;②;③;④;⑤. 其中正确写法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.设,则“”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列是全称量词命题且是真命题的是( ) A. B. C. D. 4.若函数在R上为减函数,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.若,,,则、、的大小关系为( ) A. B. C. D. 6.已知函数,则函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 7.已知函数的定义域是A,则函数的最大值是( ) A. B. C.0 D.8 8.记表示,二者中较大的一个,函数,,若,,使得成立,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。 9.已知集合,,则( ) A. B. C. D.或 10.已知,,则( ) A.的最大值为 B.的最小值为9 C.的最小值为 D.的最小值为1 11.已知函数,,,则( ) A.的图象关于对称 B.的图象没有对称中心 C.对任意的,的最大值与最小值之和为 D.若,则实数的取值范围是 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若函数 ,且的图像恒过定点,则点的坐标为 . 13.函数的单调增区间为 . 14.设若方程有四个不相等的实根,且,则的取值范围为 . 四、解答题:本大题共5小题,共77分。(共77分) 15.(本题13分)(1)求值:; (2)求值:; (3)若,求下列各式的值: ①; ②. 16.(本题15分)已知全集为R,集合,. (1)求,; (2)若,且,求实数a的取值范围. 17.(本题15分)定义在上的函数满足:①当时,;②对任意实数x,y都有. (1)证明:当时,; (2)判断在上的单调性; (3)解不等. 18.(本题17分)某公司为了提升销售利润,准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位:万元)是销售利润x(单位:万元)的函数,并且满足如下条件:①图象接近图示;②销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元;③销售利润x为30万元时,总奖金y为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择: A.;B.;C.. (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由; (2)根据你在(1)中选择的函数模型,解决如下问题: ①如果总奖金不少于9万元,则至少应完成销售利润多少万元? ②总奖金能否超过销售利润的五分之一? 19.(本题17分)已知函数(且) (1)当时,解不等式; (2)若对任意的,都有,求实数的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在,使得在区间上的值域是,若存在,求实数的取值范围;若不存在,说明理由. 广东实验中学2025-2026学年(上)高一级中段模块考试 数学参考答案 满分:150分;考试时间:120分钟 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。 1.下列五个写法:①;②;③;④;⑤. 其中正确写法的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据与元素与集合的关系、集合与集合的关系以及空集的定义进行分析可得答案. 【详解】对于①,应该是,故①错误; 对于②,写法正确,故②正确; 对于③,写法正确,故③正确; 对于④,空集中没有元素,故④不正确; 对于⑤,元素与集合不能运算,故⑤不正确. 故选:B 2.设,则“”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】本题首先可求解,得出,然后求解,得出,最后通过充分条件与必要条件的判定,即可得出结果. 【详解】,即,解得, ,即,解得, 则“”可以证得“”,“”不能证得“”, 故“”是“”的充分而不必要条件, 故选:A. 3.下列是全称量词命题且是真命题的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假 【分析】利用全称命题的符号为以及命题的真假判断即可得出选项. 【详解】解:A､B､D中命题均为全称命题, 但A中,当时,不等式不成立; D中,,不等式不成立,即A、D命题是假命题. 故选:B. 【点睛】本题主要考查全称量词和全称量词命题的概念,属于基础题. 4.若函数在R上为减函数,则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得,解得, 所以实数a的取值范围为. 故选:A. 5.若,,,则、、的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数、幂函数单调性,结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为增函数,所以,即, 因为,, 函数在上为增函数,所以,即, 故. 故选:C. 6.已知函数,则函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、指数函数图像应用 【分析】利用特殊值代入和函数的单调性判断选项即可得到答案. 【详解】令,则,排除A,C选项; 当时,,, 所以在为减函数,排除B选项. 故选:D 7.已知函数的定义域是A,则函数的最大值是( ) A. B. C.0 D.8 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数函数在区间内的值域、具体函数的定义域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意,求得,令,得到,结合二次函数的性质,即可求解. 【详解】由函数有意义,则满足,即, 解得,即函数的定义域为,即, 又由函数, 令,可得且, 因为函数的图像开口向上,且对称轴为, 所以在上单调递减,在上单调递增, 又由,所以函数的最大值为,即函数的最大值为. 故选:C. 8.记表示,二者中较大的一个,函数,,若,,使得成立,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、利用函数单调性求最值或值域、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据函数的单调性求出的值域,数形结合,由题意确定在上的值域为值域的子集,从而列出不等式组,即可求得答案. 【详解】由于在R上单调递减,在单调递增, 当时,,故, 则在上单调递减,在单调递增, 故在上的最小值为,即; 由, 令,则,则或, 作出函数的图象如图: 由于,,使得成立, 即在上的值域为值域的子集, 故,解得,即, 故选:A 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集,从而求出二者的值域后,列出不等式组,即可求解. 二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。 9.已知集合,,则( ) A. B. C. D.或 【答案】AB 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、交并补混合运算 【解析】化简集合A,B,即得解. 【详解】,, 所以,,或, 故选:AB 【点睛】易错点睛:化简集合A时,容易漏掉函数的定义域,导致得到,导致后面运算出错,所以函数的问题必须要注意定义域优先的原则. 10.已知,,则( ) A.的最大值为 B.的最小值为9 C.的最小值为 D.的最小值为1 【答案】AB 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A,直接利用基本不等式,和定积最大即可计算判断;对于B,利用“1”的妙用和基本不等式即可求解判断;对于C,利用B项结论结合不等式性质即可判断;对于D,通过常值代换后,根据基本不等式求出其范围即可判断. 【详解】对于A,因,由可得, 当且仅当,即时等号成立,故A正确; 对于B,由, 当且仅当。即时,等号成立,故B正确; 对于C,因,由B项已得,当且仅当时,取得最小值为9,故此时取得最大值为,故C错误; 对于D,,当且仅当时等号成立, 因无解,故得,即D错误. 故选:AB. 11.已知函数,,,则( ) A.的图象关于对称 B.的图象没有对称中心 C.对任意的,的最大值与最小值之和为 D.若,则实数的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】根据函数的对称性直接可判断ABC,再结合函数的单调性解不等式,可判断D. 【详解】由题意知的定义域为,因为,所以的图象关于对称,故A正确; 因为的定义域为,且,所以的图象关于对称,故B不正确; 因为,所以的图象关于对称,所以对任意的,最大值与最小值之和为,故C正确; 由,得,又在上单调递减,且,所以或,解得或,故D正确, 故选:ACD. 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若函数 ,且的图像恒过定点,则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】因对数函数恒过点,令,求出,再将所求值代入表达式求,即可求出定点坐标. 【详解】令,得. 又, 所以的图像经过定点. 故答案为: 13.函数的单调增区间为 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性即得. 【详解】函数的定义域是, 在定义域内函数的单调增区间是, 而函数的单调增区间就是在定义域内函数的增区间, 所以函数的单调增区间为. 故答案为:. 14.设若方程有四个不相等的实根,且,则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用 【分析】画出函数的图象,根据对数函数的性质与运算及对称性可得,将转化为关于的代数式,利用换元法,根据的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解:∵时,, ∴在上的图象与上的图象关于对称, 不妨设,如图: 可得,. ∴ . ∴ ,. 令, 则原式化为,其对称轴为,开口向上, ∴在上单调递增.∴. ∴的取值范围为. 故答案为:. 四、解答题:本大题共5小题,共77分。(共77分) 15.(本题13分)(1)求值:; (2)求值:; (3)若,求下列各式的值: ①; ②. 【答案】(1);(2);(3)①;②. 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、对数的运算、指数幂的运算 【分析】(1)根据指数幂的运算性质,进行运算即可; (2)根据对数的运算性质即可求解; (3)①因为,代入即可求解; ②由,代入计算,再根据的取值进行分类,开根号即可. 【详解】(1); (2) ; (3)①因为,又, 所以; ②因为,又,则, 所以, 令,因为幂函数在上单调递增,在上单调递减, 所以函数在上单调递增,又, 所以当时,,即,所以; 当时,,即,所以; 综上所述,若,则. 16.(本题15分)已知全集为R,集合,. (1)求,; (2)若,且,求实数a的取值范围. 【答案】(1),(2) 【知识点】交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】(1)首先分别求集合,再求交,并,补集; (2)分和两种情况讨论,列不等式求的范围. 【详解】,. (1). 因为, 所以. (2)由于,若,则需,即; 若,要使,则需,解得, 综上,. 【点睛】本题考查了集合的运算,以及根据集合的包含关系求参数的取值范围,当时,不要忽略时的情况. 17.(本题15分)定义在上的函数满足:①当时,;②对任意实数x,y都有. (1)证明:当时,; (2)判断在上的单调性; (3)解不等. 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值 【分析】(1)赋值法可直接求出结果; (2)利用单调性得定义即可判断; (3)根据题意原不等式等价于,然后利用函数得单调性解不等式即可. 【详解】(1)令,则,所以. 当时,,则.在中, 令,则,所以 (2)设,则,所以. 于是, 故在上是增函数. (3)由题意知,原不等式等价于 由(2),在上是增函数得到,,且, 解得. 故原不等式的解集是. 18.(本题17分)某公司为了提升销售利润,准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位:万元)是销售利润x(单位:万元)的函数,并且满足如下条件:①图象接近图示;②销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元;③销售利润x为30万元时,总奖金y为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择: A.;B.;C.. (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由; (2)根据你在(1)中选择的函数模型,解决如下问题: ①如果总奖金不少于9万元,则至少应完成销售利润多少万元? ②总奖金能否超过销售利润的五分之一? 【答案】(1)模型C,理由见解析 (2)①210万元; ②不会. 【知识点】 对数函数y=log2x的图像和性质、由对数函数的单调性解不等式、对数函数模型的应用(2) 【分析】(1)根据函数的图象性质即可选择模型; (2)①令解对数不等式求解,②即,结合函数图象的增长速度解释. 【详解】(1)模型A.,因为,所以匀速增长, 模型B.,因为,先慢后快增长, 模型C.,因为,先快后慢增长, 所以模型C最符合题意. (2)因为销售利润x为0万元时,总奖金y为0万元, 所以,即, 又因为销售利润x为30万元时,总奖金y为3万元, 所以,即, 由解得,所以, ①如果总奖金不少于9万元,即, 即,即,解得, 所以至少应完成销售利润210万元. ②设,即, 因为与有交点, 且增长速度比慢, 所以当时,恒在的下方, 所以无解, 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. 19.(本题17分)已知函数(且) (1)当时,解不等式; (2)若对任意的,都有,求实数的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在,使得在区间上的值域是,若存在,求实数的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在,理由见解析 【知识点】函数与方程的综合应用、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)根据对数函数的性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解,注意对数函数的定义域; (2)根据对数函数性质求得在上的最大值,由求解即可; (3)由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在上有两个不相等的实根,由一元二次方程根的分布求解即可. 【详解】(1)当时,的定义域为, 由, 所以由知,, 化简得:,即,解得:,且, 所以不等式的解集为. (2)对于任意,都有,等价于, 因为, 且,设,, 则在上单调递增,下面按照的单调性分类讨论: 当时,在上单调递减,则, 解得:, 当时,在上单调递增,则, 解得:,与矛盾,故舍去. 综上: (3)由(2)知,,所以在上单调递减, 所以,即, 即关于的方程在上有两个不相等的实根, 设, 则,即, 所以, 综上:不存在这样的满足条件. 第7页(/共4页) 第8页/(共34页) 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网(北京)股份有限公司 $