第9讲 视图 优等生讲义(知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册

第9讲 视图 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 了解视图的概念，能识别主视图、左视图、俯视图 · 会画简单几何体及组合体的三视图，掌握「长对正、高平齐、宽相等」 · 能由三视图还原几何体，判断小正方体个数的最少与最多 · 能根据三视图进行相关面积、体积计算 · 掌握圆锥侧面展开图，会求圆锥侧面积与全面积 📚 知识梳理 ☆ 1.三视图的基本概念 主视图：从正面看到的图；左视图：从左面看到的图；俯视图：从上面看到的图 三视图位置：主视图在左上方，左视图在主视图右侧，俯视图在主视图正下方 三视图对应规律：长对正、高平齐、宽相等 看得见的轮廓线画实线，被遮挡看不见的轮廓线画虚线 概念辨析例题：正方体的主视图、左视图、俯视图分别是什么图形？ 解析：正方体从正面、左面、上面看都是一个正方形 ☆ 2.简单几何体与组合体的三视图 圆柱：主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆 圆锥：主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆 球：三视图都是圆 组合体要逐层逐列分析小正方体分布，注意看不见的部分用虚线 概念辨析例题：U型磁铁的俯视图是从哪个方向看？能看到什么形状？ 解析：俯视图反映物体上面的形状，U型磁铁从上面看呈U形 ☆ 3.由三视图判断几何体 由俯视图确定底层小正方体的位置分布 由主视图确定每列的层数，由左视图确定每行的层数 每个位置小正方体个数取主视图与左视图对应要求的最小值 小正方体最多个数＝各位置层数都取最大；最少个数＝按对角线取层 概念辨析例题：由俯视图和左视图搭成几何体，俯视图有4个位置，左视图最高2层，求最少和最多小正方体个数 解析：底层4个全有共4个；第二层至少1个最多4个，故最少4+1=5，最多4+4=8 ☆ 4.圆锥的计算 圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径＝圆锥母线l 扇形弧长＝圆锥底面周长2πr 圆锥侧面积S侧=πrl，全面积S全=πrl+πr2 由扇形圆心角θ：弧长==2πr，得r= 概念辨析例题：圆锥母线长3cm，侧面展开扇形圆心角150°，求底面圆半径 解析：由=2πr，解得r==1.25cm 📋 知识总结表 【考点1】简单几何体的三视图（第1-7题） · 圆柱矩形+圆、圆锥三角形+带圆心圆、球全是圆 · 按正面、左面、上面三方向分别判断 · 注意看得见与看不见轮廓线的区别 · 熟记常见几何体三视图形状 1．（2026•宁波模拟）如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可 【解答】解：根据三视图的概念，可知U型磁铁的主视图为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题的关键是具有空间观念． 2．（2026•红花岗区模拟）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【解答】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形是： 故选：B． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 3．从三个方向看物体 分为从正面看、从　上面　 看、从　左面　 看． 【分析】要全面了解一个几何体的形状，常需要从正面、左面和上面三个不同的方向进行观察． 【解答】解：从三个方向看物体， 分为从正面看、从上面看、从左面看． 故答案为：上面，左面． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图．从不同的方向观察同一物体，由于方向和角度不同，通常可以看到不同的图形． 4．（2025秋•萧县期中）如图，水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形，它从左面看形状图的面积为4，则长方体的体积等于　16　 ． 【分析】根据从左面看的图形面积，得出长方体的高是2，进而得出长方体的体积即可． 【解答】解：∵长方体的左视图的面积为4， ∴长方体的高为4÷2＝2， ∴长方体的体积为：4×2×2＝16． 故答案为：16． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，得出长方体的高是解题关键． 5．（2023秋•尤溪县月考）如图，这是由6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在图1网格中画出该几何体从左面看到的形状图； （2）请在图2网格中画出该几何体从上面看到的形状图． 【分析】（1）根据从左边看到是图形是左视图画出相应的图形即可； （2）根据从上面看到是图形是俯视图画出相应的图形即可． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 【点评】此题主要考查了作图﹣三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 6．（2023秋•同步）正方体、球的主视图、左视图、俯视图分别是什么图形？ 【分析】分析每个几何体的三视图，即可得出答案． 【解答】解：正方体的主视图、左视图、俯视图都是大小相同的正方形； 球的主视图、左视图、俯视图都是大小相同的圆． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力． 7．画出下面几何体的三视图． 【分析】根据三视图的定义画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 【考点2】简单组合体的三视图（第8-16题） · 按列逐层数小正方体分布 · 主视图看列高，左视图看行高 · 组合体重叠部分注意虚实线 · 移走小正方体后判断视图是否改变 8．（2026•和平区三模）如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三视图的定义记叙判断． 【解答】解：立体图形的主视图为：． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 9．（2026•曲阜市模拟）中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看这个几何体，是一个圆． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 10．（2018秋•东台市月考）如图所示是一个由6个大小相同、棱长为1的小正方体搭成的几何体，那么它的俯视图的面积是 　5　 ． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上面看，底层左边是1个小正方形，上层是4个小正方形， 所以这个几何体的俯视图的面积为5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 11．（2024秋•中原区校级月考）如图是由同样大的小正方体拼成的图形． （1）请你将从上面和正面观察到的图形画在下面的方格图中． （2）至少再添上 　19　 个这样的小正方体，就能将原图拼成一个较大的正方体． 【分析】（1）根据题意画出从上面和正面观察到的图形即可； （2）求出在原来的基础上拼成大正方体所需要的小正方体的总数，进而求出答案． 【解答】（1）从上面和正面观察到的图形如图所示： （2）∵较大的正方体，至少需要小正方体的个数为：3×3×3＝27个，原来有8个， ∴至少还需要27﹣8＝19个小正方体， 故答案为：19． 【点评】本题考查简单组合体的三视图．理解三视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 12．（2025秋•重庆期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的上面、正面看到的形状图，这个几何体至少是用 　7　 个小立方块搭成的． 【分析】根据从正面看到的图形和从上面看到的图形可知该几何体靠右边的三列各有一个立方块，左边这列最小有4个立方块，据此可得答案． 【解答】解：从正面看，有两层，四列，其中左边一列有两层，右边三列只有一层， 从上面看，有四列，其中右边三列各1个立方块，结合从正面看到的，右边三列各有1个立方块，左边这列第二层最少1个立方块， ∴这个几何体中小方块的数量至少为6+1＝7（个）． 故答案为：7． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 13．（2025秋•金凤区校级期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭而成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加　4　 个小正方体． 【分析】根据从正面看和从左面看的形状图不变解答即可求解． 【解答】解：由图可知，第一排和第三排最下面各添加2个小正方体，可保持从正面看和从左面看的形状图不变， ∴保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加4个， 故答案为：4． 【点评】本题考查了从不同方向看几何图形，正确识图是解题的关键． 14．（2020秋•云岩区校级期中）从正面、左面、上面观察一个由小正方体构成的几何体依次得到以下的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有 　5　 个． 【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二层正方体的个数，相加即可． 【解答】解：根据题意得，构成的几何体的各个位置（按从上面看）小正方体的个数如图所示， 这个几何体的小正方体有2+1+1+1＝5（个）， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 15．（2026•巴中校级开学）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． （1）请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加　1　 块小正方体． 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图、俯视图即可； （2）在俯视图的相应位置标注所能添加的最多小正方体的个数即可． 【解答】解：（1）这个组合体从左面、上面看到的图形为： （2）如图，在俯视图的相应位置标注所能添加的最多小正方体的个数如图所示， 所以最多可以添加1个小正方体． 故答案为：1． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 16．（2023秋•紫金县期末）【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 （1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案 　②③　 （填序号）经过折叠能围成正方体纸盒． （2）小李刚好有一张边长为15cm的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为xcm，则这个纸盒的底面积是 x2 cm2，高是 　　 cm（用含x的代数式表示）． （3）小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为10cm的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体． ①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 　3　 个正方体纸盒． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可； （2）根据题意列代数式表示即可； （3）①先计算一个无盖正方体纸盒的体积，再用一个无盖正方体纸盒的体积乘以个数即可得到答案； ②可分别在第二排的第一，第三，第四个位置各添加1块． 【解答】解：（1）根据正方体的展开图，可知：你觉得图案②③经过折叠能围成正方体纸盒， 故答案为：②③； （2）设底面边长为xcm，则这个纸盒的底面积是x2 cm2，高是cm， 故答案为：x2，； （3）①103×6＝6000（cm3）； ②如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看的形状图不变，最多可以再添加3块小正方体，分别在第二排的第一，第三，第四个位置各添加1块． 故答案为：3． 【点评】本题考查了正方体的折叠问题及简单图形的三视图，能够根据图形进行抽象概括是解题的关键． 【考点3】由三视图判断几何体（第17-28题） · 俯视图定底层位置，主左视图定层数 · 每层个数取主视图列高与左视图行高较小值 · 最少个数按对角线布置，最多个数全部叠满 · 结合空间想象还原立体图形 17．（2025秋•大英县期末）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少个数与最多个数分别是（　　） A．7、8 B．7、9 C．8、9 D．9、10 【分析】根据左视图可确定上面一层最少有2个小正方体，根据俯视图可确定下面一层有5个小正方体，上面一层最多有3个小正方体，据此可得答案． 【解答】解：从俯视图可看出前后有三层，从左视图可看出最后面有2层高， 中间最高是2层，最少1层，最多就都是2层， 最前面的最高是1层， 所以最少有：2+3+2＝7（个）， 最多有：2+2×2+1×2＝8（个）． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，由两个视图想象几何体是解题的关键． 18．（2026•阳泉一模）榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【解答】解：如图所示，俯视图为：． 故选：B． 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 19．（2026•南阳模拟）柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮．如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形），则其左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【解答】解：从左面看，可得选项B的图形， 故选：B． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 20．（2025•昆明模拟）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颠有趣味，如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据立体图形的特点，结合三视图分析即可，能看到的线用实线，不能看到的，但存在的线用虚线表示． 【解答】解：由“刍童”形状的几何体的主视图和左视图可知，其俯视图是D， 故选：D． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，掌握立体图形三视图的特点，数形结合分析是解题的关键． 21．（2026•长葛市模拟）如图是三棱柱及其三视图，在俯视图△EFG中，EF＝8cm，EG＝14cm，∠EGF＝30°，则左视图中AB的长为（　　） A．4cm B．7cm C．8cm D．14cm 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面△EFG中顶点E到边FG的垂直距离，过点E作EQ⊥FG于点Q，则EQ＝AB，在Rt△EQG中，∠EGF＝30°，得到，从而求出AB长． 【解答】解：如图是三棱柱及其三视图，过点E作EQ⊥FG于点Q，则EQ是边FG上的高，且EQ＝AB， ∵EG＝14cm，∠EGF＝30°， ∴， 即AB＝7cm． 故选：B． 【点评】本题由三视图判断几何体，正确进行计算是解题关键． 22．（2026•思明区校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据俯视图得到这个几何体为锥体，再根据主视图和左视图得出该几何体是柱体和锥体的组合体． 【解答】解：根据三视图进行观察，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥． 故选：A． 【点评】本题考查由三视图判断几何体和学生的空间想象能力，结合三视图的特征想象空间图形是解题的关键． 23．（2023秋•青羊区校级期中）用立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图，最多需要 　17　 个立方体；最少需要 　11　 个立方体． 【分析】从两个方向看结合起来，几何体从左往右，找到每列的最少数与最多数，即可得结果． 【解答】解：从两个方向看结合起来，几何体从左往右，第一列最少5个，最多9个； 第二列最少4个，最多6个； 第三列前后各1个，共2个， 则最少5+4+2＝11（个），最多9+6+2＝17（个）； 故答案为：17，11． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，关键是从正面看与从上面看结合起来． 24．（2025秋•太谷区期末）如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，可得几何体的体积为 　270　 cm2． 【分析】由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，从而求出它的体积． 【解答】解：该几何体的形状是直四棱柱，由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为5cm，12cm． 所以棱柱的体积5×12×9＝270（cm3）． 故答案为：270． 【点评】此题考查的是几何体的表面积及由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其体积． 25．（2025•苏州校级二模）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知，∠C＝45°，则左视图的面积是 　2　 ． 【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为2，BC＝4，设CD＝m，由，求出m的值，进而确定AD＝1，即可解答． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为2，BC＝4，设CD＝m， 由条件可知AD＝CD＝m， ∵，BD＝4﹣m， ∴， 解得m＝1，即AD＝1， 则1×2＝2， ∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提． 26．（2024秋•市中区校级期末）如图是由小正方体组成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数． （1）请在网格中画出从正面看和从左面看该几何体得到的形状图． （2）如果使主视图和俯视图不变，最多添加 　4　 个小正方体． 【分析】（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2．据此可画出图形； （2）根据主视图和俯视图不变的定义解答即可． 【解答】解：（1）从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2． ； （2）如图所示： 如果使主视图和俯视图不变，最多添加4个小正方体． 故答案为：4． 【点评】本题考查由视图判断几何体，用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；组合几何体的最少个数是底层的正方体数加上主视图中第二层和第3层正方形的个数． 27．（2024秋•花溪区期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，3，左视图有2列，每列小正方数形数目分别为1，3，据此可画出图形． 【解答】解：图形如图所示： 【点评】本题考查由三视图判断几何体和作图﹣三视图，熟练掌握几何体的画法是解题的关键． 28．（2023秋•秦都区期末）如图，是由若干个小正方体所搭几何体从上面看得到的图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请你画出所搭几何体从正面和从左面看得到的图形． 【分析】从正面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列中下两层各有一个小正方形，第二列上中下三层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方；从左面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列上中下三层各有一个小正方形，第二列中下两层各有一个小正方形，第三列中下两层各有一个小正方，据此画图即可． 【解答】解：从正面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列中下两层各有一个小正方形，第二列上中下三层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方；从左面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列上中下三层各有一个小正方形，第二列中下两层各有一个小正方形，第三列中下两层各有一个小正方；看到的图形如下所示： 【点评】本题主要考查了从不同的方向看几何体，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 【考点4】作图−三视图（第29-37题） · 严格按长对正、高平齐、宽相等作图 · 先画主视图再补左视图与俯视图 · 被遮挡轮廓画虚线 · 去掉一角等变形要注意斜面投影 29．（2025•东阿县模拟）将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（　　） A．右视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图 【分析】根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，可得答案． 【解答】解：该图形的主视图为，左视图为， 故选：B． 【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 30．（2026•中阳县二模）榫卯结构是中国古代建筑中极具智慧的传统木作工艺．如图是一个经过加工的榫卯槽形构件的示意图及其主视图，则它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图：从上面看到的物体的形状图，根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【解答】解：俯视图如图所示： 故选：B． 【点评】此题考查作图—三视图，关键是根据三视图的定义求解． 31．画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与 　俯视图　 的长对正，主视图与 　左视图　 的高平齐，左视图与 　俯视图　 的宽相等． 【分析】根据画三视图的步骤可得答案． 【解答】解：画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等． 故答案为：俯视图；左视图；俯视图． 【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是掌握画三视图的步骤． 32．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱从三个不同的方向看到的形状图画出来，如图所示，则这堆货箱共有 　9　 个． 【分析】由图可判定这堆货箱共有三层，第一层有6个正方体货箱，第二层有2个正方体货箱，第三层有1个正方体货箱，进而可得答案． 【解答】解：由图可知，这堆货箱共有6+2+1＝9（个）． 故答案为：9． 【点评】本题考查作图﹣三视图、简单组合体的三视图、由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义． 33．（2024秋•晋中期中）如图是由8个大小相同的小立方块搭成的几何体． （1）请画出从三个方向看到的该几何体的形状图； （2）要保持从正面和左面看到的该几何体的形状图不变，最多可以移走　2　 个小立方块． 【分析】（1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可． （2）根据从正面和左面看到的图形不变求解即可． 【解答】解：（1）如图所示， （2）最多可以移走2个，此时从上面看为： 故答案为：2． 【点评】此题考查了作图﹣三视图，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． 34．（2025秋•息县校级期末）如图，由六个棱长为1cm的小正方体组成一个几何体． （1）分别画出这个几何体从正面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）的平面图形； （2）该几何体的表面积是　24　 cm2． 【分析】（1）根据从不同方向看到的图形形状作图即可； （2）根据表面积的概念计算各个面的面积再相加即可． 【解答】解：（1）画出这个几何体从正面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）的平面图形，如图所示： （2）该几何体的表面积是： （5×2+3×2+4×2）×12＝24（cm2）． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了从不同方向看几何体以及表面积的计算，熟练掌握作图方法以及表面积的计算是解决本题的关键． 35．（2025秋•宁阳县期末）根据要求完成下列题目： （1）图中有　7　 块小正方体； （2）请分别画出它从正面看、从左面看、从上面看的形状． 【分析】（1）结合几何体的形状得出答案； （2）直接利用左视图以及俯视图的观察角度分析得出答案． 【解答】解：（1）图中有7块小正方体， 故答案为：7； （2）主视图，左视图，俯视图如图所示： 【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义． 36．（2025秋•宁德期末）图1所示几何体是由七个大小相同的小立方块搭成． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； （2）请你将这七个小立方块重新搭成一个几何体，要求： ①从左面看这个几何体，看到的形状图如图2所示； ②所搭的几何体从正面、左面、上面看到的形状图面积之和最小． 请画出你所搭的新几何体从上面看到的形状图，并在所画的方格内标出该位置上小立方块的个数．（只要画出一种满足条件的图形） 【分析】（1）由题意观察图形可知，从正面看到的图形是3列，从左往右正方形个数依次是3，2，1，从左面看到的图形是2列，从左往右正方形个数依次是3，1，据此即可画图． （2）左视图为2×2的正方形，说明：①几何体有2行2列（前后2行、左右2列）；②每行每列的小立方块层数最多为2层（否则左视图会超出2层高度）．总小立方块数为7个，需在2×2的基底上分布，且使三视图（正面、左面、上面）的面积之和最小． 【解答】解：（1）这个组合体从正面、左面看到的图形如下： （2）所画的形状图如下： 或或或 【点评】本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是注意小立方块的数目及位置． 37．（2025秋•淄博期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加　4　 个小正方体； （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）分别从正面、左面、上面观察几何体，数出每一列（或行）的小正方体个数，从而画出主视图、左视图、俯视图；要保持主视图和左视图不变，意味着在添加小正方体时，每一列的高度（对应主视图）和每一行的高度（对应左视图）都不能超过原来的高度．通过对比俯视图中每个位置的现有高度与允许的最大高度，计算出每个位置最多能添加的数量，最后求和． （2）确定路灯位置：根据中心投影的特点，连接物体的顶端和其影子的顶端，这两条连线的交点就是点光源（路灯灯泡）的位置，连接路灯灯泡的位置和小树的顶端，将这条线延长直到与地面相交，交点到树根的线段就是小树的影子． 【解答】解：（1）作图如下： 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加4个，如下图： 故答案为：4； （2）根据题意作图如下． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图、中心投影的性质，解题的关键是熟练掌握三视图的定义以及中心投影中“三点一线”的作图原理． 【考点5】圆锥的计算（第38-43题） · 展开图扇形半径＝母线l · 弧长＝底面周长2πr · 侧面积πrl，全面积加底面积πr2 · 由圆心角θ求r= 38．（2026春•青浦区校级月考）如图所示，长方形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和长方形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，求圆锥的表面积．（保留π） 【分析】设AE＝AB＝BF＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，当裁出的圆的直径与长方形EFCD的宽（长大于宽）相等时，圆的半径最大，据此结合圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形的弧长建立方程求出x的值，最后根据圆锥的表面积等于其侧面积加上底面积列式求解即可． 【解答】解：设AE＝AB＝BF＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm， 根据题意可知裁出的圆的直径与长方形EFCD的宽（长大于宽）相等，即为（6﹣x）cm， ∵裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面， ∴， 解得x＝4， ∴AB＝BF＝4cm，DE＝2cm， ∴圆锥的表面积为． 【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握该知识点是关键． 39．（2026春•闵行区校级期末）蒙古包，是镌刻着游牧智慧、承载着民俗信仰的传统民居瑰宝，也是国家级非物质文化遗产“蒙古包营造技艺”的核心载体．如图是某种蒙古包的示意图，其下半部为圆柱，顶部为圆锥，营造好支架后，顶毡覆盖两层羊毛毡，围毡覆盖三层羊毛毡．（门窗处也要覆盖，拼接处忽略不计） 圆柱形的蒙古包在大风中阻力小，风可以顺利地从蒙古包的两旁通过，减少大风对建筑物的直接作用，圆锥形的包顶不积雨雪，寒气不易侵入，是保暖防寒防雨雪的安全住所． （1）如图，若底面圆周长为25.12米，求这个蒙古包占地面积．（π取3.14） （2）若DO＝3米，DS＝3.5米，DA＝1.6米，求所需羊毛毡的面积．（结果保留π） 【分析】（1）先利用圆周长求出圆半径，再求圆面积即可； （2）求出圆锥的侧面积乘以2，再求出圆柱的侧面积乘以3，然后相加即可． 【解答】解：（1）利用圆周长求出圆半径，再求圆面积可知： 设底面圆半径为r米， ∵底面圆周长为25.12米， ∴3.14×2r＝25.12， 解得：r＝4， ∴蒙古包占地面积：3.14×42＝50.24（平方米）； （2）顶毡所需羊毛毡的面积：（平方米）， 围毡所需羊毛毡的面积：3×1.6×2×π×3＝28.8π（平方米）， ∴共需21π+28.8π＝49.8π（平方米）． 【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握该知识点是关键． 40．（2026春•肇源县月考）在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）．现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？（π取3.14） 【分析】用圆锥的体积除以圆柱体的底面积即可． 【解答】解：（立方厘米）； 100.48÷（102×3.14）＝0.32（厘米）， 答：水面会下降0.32厘米． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算，掌握其相关知识点是解题的关键． 41．（2025秋•从化区期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条以C为圆心的圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣6，2），圆心C的坐标为（﹣2，0），请在网格图中进行如下操作并解决以下问题： （1）连接AC、BC，求⊙C的半径以及∠ACB的度数； （2）若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径．（结果保留根号） 【分析】（1）利用勾股定理即可求出⊙C的半径，再利用勾股定理的逆定理求出∠ACB的度数即可； （2）先求出弧AB的长，再根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等即可解决问题． 【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）， ∴AC， 则⊙C的半径为． 连接AB， ∵A（0，4），B（﹣6，2），C（﹣2，0）， ∴AB2＝（﹣6﹣0）2+（2﹣4）2＝40， AC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20， BC2＝[﹣6﹣（﹣2）]2+（2﹣0）2＝20， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°； （2）由题知， 弧AB的长为：， 令圆锥的底面圆的半径为r， ∴2πr， 解得r， ∴圆锥的底面圆的半径为． 【点评】本题主要考查了圆锥的计算及坐标与图形性质，熟知圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等及勾股定理是解题的关键． 42．（2025秋•久治县期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为　20　 cm，侧面积为　375π　 cm2（结果保留π）； （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【分析】（1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到：，求出n即可． 【解答】解：（1）∵母线长为25cm、底面半径为15cm， ∴圆锥的高20（cm）， 侧面积为πrl＝15×25π＝500π（cm2）， 故答案为：20；375π； （2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°， 由题意得：， 解得n＝288， 所以所需扇形卡纸的圆心角的度数为288度． 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为288度． 【点评】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． 43．（2024秋•连云港期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为　42π　 cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角∠APA'的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，DE＝7.5cm，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度． 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式求解即可； （2）①分别用PA和PC表示出的长和的长，即可证明结论成立；利用这个结论求得PC＝6，再利用弧长公式即可求得所对的圆心角∠APA'的度数； ②根据题意画出图形，利用垂径定理结合解直角三角形求解即可． 【解答】（1）解：根据题意得， 故答案为：42π； （2）证明：①设与所对的圆心角为n°， ∴的长•2π•，， ∴， ∵杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm， ∴的长＝9π，的长＝4π，PA＝PC+7.5， ∴， 解得PC＝6，PA＝13.5， ∴， 解得n＝120， 即所对的圆心角∠APA'的度数为120°； ②如图，连接MM′交PQ于T， 设ON＝acm，MN＝bcm，则OM＝（a+b）cm， 由①知，∠MOM′＝120°， 由对称性可知，P为DG中点，TM＝TM′，NR＝N′R，R为EF中点， ∴2π（a+b）π（a+b），πa，EREF＝6cm，PQ⊥MM′， ∴MM′∥EF， ∵∠MOM′＝120°，OM＝OM′， ∴∠NMM′＝∠ONN′＝30°， ∴ORONacm，MTOT（a+b）cm， ∴PR＝OP﹣OR＝（a+b）cm， ∴， 即， ∴， ∴ ∴b≤4.5， 即MN的最大长度为4.5cm． 【点评】本题主要考查了弧长、圆心角、半径之间的关系及利用特殊直角三角形求边长等内容．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记三视图：主视、左视、俯视，长对正高平齐宽相等 · 常见几何体：圆柱圆锥球的三视图形状要熟 · 由俯视图定位置，主左视图定层数求小正方体个数 · 作图时看不见的轮廓用虚线 · 圆锥展开图弧长等于底面周长，侧面积πrl 【作业 1】（2026•东河区二模）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：U型磁铁从上面看的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，D图符合． 故选：D． 【点评】本题考查了从不同方向看立体图形，解题的关键是具有空间概念． 【作业 2】（2025秋•南京期末）圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 　1.25　 cm． 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【解答】解：设底面圆半径为r，由题意可得： ∴， ∴r＝1.25． 故答案为：1.25． 【点评】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长． 【作业 3】（2025秋•沙坪坝区校级月考）奇思用一些小正方体拼了一个立体图形，从前面和上面看到的都是，他拼这个立体图形至少用了　6　 个小正方体． 【分析】可以从从前面和上面看到的图形还原几何体，进而可得答案． 【解答】解：从前面看到的图形可知，这个几何体有2层，上层至少有2个小正方体；从上面看到的图形可知，这个几何体的下层有4个小正方体， 故他拼这个立体图形至少用了6个小正方体． 故答案为：6． 【点评】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 4】（2024秋•云冈区期末）如图是由8个大小相同的小正方体搭成的立体图形，在该立体图形中取走一个小正方体，使得到的新立体图形同时满足以下两个要求：（1）从前面看得到的平面图形不变；（2）从左面看得到的平面图形不变．在不改变其他小正方体位置的前提下，可取走的小正方体的标号是 　3号，5号或6号　 ． 【分析】若要使从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同，则可取走的小正方体是3号或5号或7号；若要使从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同，则可取走的小正方体是1号或3号或5号；据此可得． 【解答】解：主视图是从正面看到的图形，若要使从正面看到的形状和原几何体从正面看到的形状相同，则可取走3，4，5，6，7，8中的任意一个； 左视图是从左面看到的图形，若要使从左面看到的形状和原几何体从左面看到的形状也相同，则可取走1，2，3，5，6中的任意一个． 综上所述，可取走的小正方体的标号是3号，5号或6号． 故答案是：3号，5号或6号． 【点评】本题考查由不同方向看几何体判断几何体，根据题意正确掌握从不同方向看图的观察角度是解题关键． 【作业 5】（2025秋•临淄区期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的棱长为1的小正方体搭成的． （1）请在方格纸中分别画出它从正面看与从左面看的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加　4　 个小正方体． 【分析】（1）根据三视图的定义作图即可． （2）根据题意，可以在第二列的最前面和最后面分别添加1个小正方体，在第三列的最前面和最后面分别添加1个小正方体，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图所示． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加2+2＝4（个）小正方体． 故答案为：4． 【点评】本题考查作图﹣三视图、简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义． 【作业 6】（2025秋•高陵区期中）如图是一个几何体的示意图，请画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【分析】按“长对正、宽相等、高平齐”画出三视图，即可求解． 【解答】解：按“长对正、宽相等、高平齐”画出三视图，如图： ． 【点评】本题考查作图—三视图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2023秋•细河区期末）如图1，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为2的小正方体堆成一个几何体． （1）在图2的网格中画出从正面、左面、上面看的形状图； （2）直接写出这个几何体的体积 　64　 ． 【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）数出正方体的个数即可得解． 【解答】解：（1）三视图如图所示： （2）根据小正方体堆成一个几何体，小正方体共有8个， ∴8×23＝64， 故答案为：64． 【点评】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【作业 8】（2025秋•竞秀区期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． （1）该几何体由　6　 个小立方块搭成； （2）图中已画出这个几何体从正面看到的形状图，请继续画出从左面、上面两个方向看到的形状图； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加　3　 个相同的小立方块． 【分析】（1）根据搭建图可直接得出答案； （2）根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图、俯视图即可； （3）在保持从左面、上面看到的图形不变，可在俯视图的相应位置标注所能添加的小正方体的个数即可． 【解答】解：（1）这个组合体是有6个小正方体组成的， 故答案为：6； （2）这个几何体从左面、上面两个方向看到的形状图如下： （3）添加小正方体，保持从上面和从左面看到的形状图不变，可在俯视图的相应位置标注所能添加的小正方体的个数， 所以最多可添加3个小正方体， 故答案为：3． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 视图 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年鲁教版(五四制)九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 了解视图的概念，能识别主视图、左视图、俯视图 · 会画简单几何体及组合体的三视图，掌握「长对正、高平齐、宽相等」 · 能由三视图还原几何体，判断小正方体个数的最少与最多 · 能根据三视图进行相关面积、体积计算 · 掌握圆锥侧面展开图，会求圆锥侧面积与全面积 📚 知识梳理 ☆ 1.三视图的基本概念 主视图：从正面看到的图；左视图：从左面看到的图；俯视图：从上面看到的图 三视图位置：主视图在左上方，左视图在主视图右侧，俯视图在主视图正下方 三视图对应规律：长对正、高平齐、宽相等 看得见的轮廓线画实线，被遮挡看不见的轮廓线画虚线 概念辨析例题：正方体的主视图、左视图、俯视图分别是什么图形？ 解析：正方体从正面、左面、上面看都是一个正方形 ☆ 2.简单几何体与组合体的三视图 圆柱：主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆 圆锥：主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆 球：三视图都是圆 组合体要逐层逐列分析小正方体分布，注意看不见的部分用虚线 概念辨析例题：U型磁铁的俯视图是从哪个方向看？能看到什么形状？ 解析：俯视图反映物体上面的形状，U型磁铁从上面看呈U形 ☆ 3.由三视图判断几何体 由俯视图确定底层小正方体的位置分布 由主视图确定每列的层数，由左视图确定每行的层数 每个位置小正方体个数取主视图与左视图对应要求的最小值 小正方体最多个数＝各位置层数都取最大；最少个数＝按对角线取层 概念辨析例题：由俯视图和左视图搭成几何体，俯视图有4个位置，左视图最高2层，求最少和最多小正方体个数 解析：底层4个全有共4个；第二层至少1个最多4个，故最少4+1=5，最多4+4=8 ☆ 4.圆锥的计算 圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径＝圆锥母线l 扇形弧长＝圆锥底面周长2πr 圆锥侧面积S侧=πrl，全面积S全=πrl+πr2 由扇形圆心角θ：弧长==2πr，得r= 概念辨析例题：圆锥母线长3cm，侧面展开扇形圆心角150°，求底面圆半径 解析：由=2πr，解得r==1.25cm 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 主视图 从正面看 反映长与高 左视图 从左面看 反映高与宽 俯视图 从上面看 反映长与宽 三视图规律 长对正、高平齐、宽相等 虚线画被遮挡线 圆锥侧面积 S侧=πrl l为母线 展开图弧长 =2πr 弧长=底面周长 ⚠️ 核心考点 【考点1】简单几何体的三视图（第1-7题） · 圆柱矩形+圆、圆锥三角形+带圆心圆、球全是圆 · 按正面、左面、上面三方向分别判断 · 注意看得见与看不见轮廓线的区别 · 熟记常见几何体三视图形状 1．（2026•宁波模拟）如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•红花岗区模拟）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 3．从三个方向看物体 分为从正面看、从_______ 看、从_______ 看． 4．（2025秋•萧县期中）如图，水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形，它从左面看形状图的面积为4，则长方体的体积等于_______ ． 5．（2023秋•尤溪县月考）如图，这是由6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在图1网格中画出该几何体从左面看到的形状图； （2）请在图2网格中画出该几何体从上面看到的形状图． 6．（2023秋•同步）正方体、球的主视图、左视图、俯视图分别是什么图形？ 7．画出下面几何体的三视图． 【考点2】简单组合体的三视图（第8-16题） · 按列逐层数小正方体分布 · 主视图看列高，左视图看行高 · 组合体重叠部分注意虚实线 · 移走小正方体后判断视图是否改变 8．（2026•和平区三模）如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 9．（2026•曲阜市模拟）中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（　　） A． B． C． D． 10．（2018秋•东台市月考）如图所示是一个由6个大小相同、棱长为1的小正方体搭成的几何体，那么它的俯视图的面积是 _____ ． 11．（2024秋•中原区校级月考）如图是由同样大的小正方体拼成的图形． （1）请你将从上面和正面观察到的图形画在下面的方格图中． （2）至少再添上 _______ 个这样的小正方体，就能将原图拼成一个较大的正方体． 12．（2025秋•重庆期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的上面、正面看到的形状图，这个几何体至少是用 _____ 个小立方块搭成的． 13．（2025秋•金凤区校级期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的小正方体搭而成．如果在该几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加_____ 个小正方体． 14．（2020秋•云岩区校级期中）从正面、左面、上面观察一个由小正方体构成的几何体依次得到以下的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有 _____ 个． 15．（2026•巴中校级开学）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体． （1）请画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果这个几何体上再添加一些大小相同的小正方体，并保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加_____ 块小正方体． 16．（2023秋•紫金县期末）【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 （1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案 _______ （填序号）经过折叠能围成正方体纸盒． （2）小李刚好有一张边长为15cm的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为xcm，则这个纸盒的底面积是 _______ cm2，高是 ____________________ cm（用含x的代数式表示）． （3）小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为10cm的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体． ①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 _____ 个正方体纸盒． 【考点3】由三视图判断几何体（第17-28题） · 俯视图定底层位置，主左视图定层数 · 每层个数取主视图列高与左视图行高较小值 · 最少个数按对角线布置，最多个数全部叠满 · 结合空间想象还原立体图形 17．（2025秋•大英县期末）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少个数与最多个数分别是（　　） A．7、8 B．7、9 C．8、9 D．9、10 18．（2026•阳泉一模）榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 19．（2026•南阳模拟）柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮．如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形），则其左视图是（　　） A． B． C． D． 20．（2025•昆明模拟）中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颠有趣味，如《九章算术》中的“刍童”，原指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（　　） A． B． C． D． 21．（2026•长葛市模拟）如图是三棱柱及其三视图，在俯视图△EFG中，EF＝8cm，EG＝14cm，∠EGF＝30°，则左视图中AB的长为（　　） A．4cm B．7cm C．8cm D．14cm 22．（2026•思明区校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 23．（2023秋•青羊区校级期中）用立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图，最多需要 _______ 个立方体；最少需要 _______ 个立方体． 24．（2025秋•太谷区期末）如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，可得几何体的体积为 ________ cm2． 25．（2025•苏州校级二模）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为△ABC，已知，∠C＝45°，则左视图的面积是 _____ ． 26．（2024秋•市中区校级期末）如图是由小正方体组成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数． （1）请在网格中画出从正面看和从左面看该几何体得到的形状图． （2）如果使主视图和俯视图不变，最多添加 _____ 个小正方体． 27．（2024秋•花溪区期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 28．（2023秋•秦都区期末）如图，是由若干个小正方体所搭几何体从上面看得到的图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，请你画出所搭几何体从正面和从左面看得到的图形． 【考点4】作图−三视图（第29-37题） · 严格按长对正、高平齐、宽相等作图 · 先画主视图再补左视图与俯视图 · 被遮挡轮廓画虚线 · 去掉一角等变形要注意斜面投影 29．（2025•东阿县模拟）将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（　　） A．右视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图 30．（2026•中阳县二模）榫卯结构是中国古代建筑中极具智慧的传统木作工艺．如图是一个经过加工的榫卯槽形构件的示意图及其主视图，则它的俯视图为（　　） A． B． C． D． 31．画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与 ________ 的长对正，主视图与 ________ 的高平齐，左视图与 ________ 的宽相等． 32．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱从三个不同的方向看到的形状图画出来，如图所示，则这堆货箱共有 _____ 个． 33．（2024秋•晋中期中）如图是由8个大小相同的小立方块搭成的几何体． （1）请画出从三个方向看到的该几何体的形状图； （2）要保持从正面和左面看到的该几何体的形状图不变，最多可以移走_____ 个小立方块． 34．（2025秋•息县校级期末）如图，由六个棱长为1cm的小正方体组成一个几何体． （1）分别画出这个几何体从正面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）的平面图形； （2）该几何体的表面积是_______ cm2． 35．（2025秋•宁阳县期末）根据要求完成下列题目： （1）图中有_____ 块小正方体； （2）请分别画出它从正面看、从左面看、从上面看的形状． 36．（2025秋•宁德期末）图1所示几何体是由七个大小相同的小立方块搭成． （1）请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； （2）请你将这七个小立方块重新搭成一个几何体，要求： ①从左面看这个几何体，看到的形状图如图2所示； ②所搭的几何体从正面、左面、上面看到的形状图面积之和最小． 请画出你所搭的新几何体从上面看到的形状图，并在所画的方格内标出该位置上小立方块的个数．（只要画出一种满足条件的图形） 37．（2025秋•淄博期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图，并回答问题． 若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图都不变，那么最多可以再添加_____ 个小正方体； （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点5】圆锥的计算（第38-43题） · 展开图扇形半径＝母线l · 弧长＝底面周长2πr · 侧面积πrl，全面积加底面积πr2 · 由圆心角θ求r= 38．（2026春•青浦区校级月考）如图所示，长方形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和长方形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，求圆锥的表面积．（保留π） 39．（2026春•闵行区校级期末）蒙古包，是镌刻着游牧智慧、承载着民俗信仰的传统民居瑰宝，也是国家级非物质文化遗产“蒙古包营造技艺”的核心载体．如图是某种蒙古包的示意图，其下半部为圆柱，顶部为圆锥，营造好支架后，顶毡覆盖两层羊毛毡，围毡覆盖三层羊毛毡．（门窗处也要覆盖，拼接处忽略不计） 圆柱形的蒙古包在大风中阻力小，风可以顺利地从蒙古包的两旁通过，减少大风对建筑物的直接作用，圆锥形的包顶不积雨雪，寒气不易侵入，是保暖防寒防雨雪的安全住所． （1）如图，若底面圆周长为25.12米，求这个蒙古包占地面积．（π取3.14） （2）若DO＝3米，DS＝3.5米，DA＝1.6米，求所需羊毛毡的面积．（结果保留π） 40．（2026春•肇源县月考）在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）．现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？（π取3.14） 41．（2025秋•从化区期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条以C为圆心的圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣6，2），圆心C的坐标为（﹣2，0），请在网格图中进行如下操作并解决以下问题： （1）连接AC、BC，求⊙C的半径以及∠ACB的度数； （2）若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径．（结果保留根号） 42．（2025秋•久治县期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为_______ cm，侧面积为_________ cm2（结果保留π）； （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 43．（2024秋•连云港期末）如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）． （1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为________ cm2（结果保留π）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm．为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角∠APA'的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，DE＝7.5cm，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线MN的最大长度． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•东河区二模）如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2025秋•南京期末）圆锥的母线长为3cm，侧面是一个圆心角为150°的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 _________ cm． 【作业 3】（2025秋•沙坪坝区校级月考）奇思用一些小正方体拼了一个立体图形，从前面和上面看到的都是，他拼这个立体图形至少用了_____ 个小正方体． 【作业 4】（2024秋•云冈区期末）如图是由8个大小相同的小正方体搭成的立体图形，在该立体图形中取走一个小正方体，使得到的新立体图形同时满足以下两个要求：（1）从前面看得到的平面图形不变；（2）从左面看得到的平面图形不变．在不改变其他小正方体位置的前提下，可取走的小正方体的标号是 _____________ ． 【作业 5】（2025秋•临淄区期末）如图所示，该几何体是由6个完全相同的棱长为1的小正方体搭成的． （1）请在方格纸中分别画出它从正面看与从左面看的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面看和从左面看的形状图均不变，最多可添加_____ 个小正方体． 【作业 6】（2025秋•高陵区期中）如图是一个几何体的示意图，请画出该几何体的主视图、左视图和俯视图． 【作业 7】（2023秋•细河区期末）如图1，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为2的小正方体堆成一个几何体． （1）在图2的网格中画出从正面、左面、上面看的形状图； （2）直接写出这个几何体的体积 _______ ． 【作业 8】（2025秋•竞秀区期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． （1）该几何体由_____ 个小立方块搭成； （2）图中已画出这个几何体从正面看到的形状图，请继续画出从左面、上面两个方向看到的形状图； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加_____ 个相同的小立方块． 复习建议 · 牢记三视图：主视、左视、俯视，长对正高平齐宽相等 · 常见几何体：圆柱圆锥球的三视图形状要熟 · 由俯视图定位置，主左视图定层数求小正方体个数 · 作图时看不见的轮廓用虚线 · 圆锥展开图弧长等于底面周长，侧面积πrl 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $